(共65张PPT)
第2课时 一元二次不等式的应用
第二章 §2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
学习目标
1.熟练掌握分式不等式的解法.
2.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系.
3.构建一元二次函数模型，解决实际问题.
课时对点练
一、解简单的分式不等式
二、二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
三、一元二次不等式的实际应用
随堂演练
内容索引
解简单的分式不等式
一
解下列不等式：
例1
原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0，
则x<－2.
故原不等式的解集为{x|x<－2}.
分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.
反思感悟
跟踪训练1
解下列不等式：
解得x≤－1或x>3.
即原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}.
可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，
解得－1
所以原不等式的解集为{x|－1二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
二
例2
已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2又由a<0知c<0，故不等式cx2＋bx＋a<0，
延伸探究
1.若本例中条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集.
2.若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是 ”.求不等
式cx2＋bx＋a<0的解集.
即2ax2＋5ax－3a>0.
又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0，
设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，
已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循
(1)根据解集来判断二次项系数的符号.
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式.
(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
反思感悟
已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集.
跟踪训练2
∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1,2.
代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0.
一元二次不等式的实际应用
三
(教材P54页例5改编)某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车刹车前的车速x km/h有如下关系：s＝－2x＋ x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？
例3
化简得x2－36x－405≥0，解得x≥45或x≤－9，
又∵x≥0，∴x≥45.
∴这辆汽车刹车前的车速至少为45 km/h.
解不等式应用题的步骤
反思感悟
某施工单位在对一个长800 m，宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围.
跟踪训练3
设花坛的宽度为x m，则草坪的长为(800－2x) m，
宽为(600－2x) m.
根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥ ×800×600，
整理得x2－700x＋60 000≥0,0＜x≤300，
解得x≥600(舍去)或x≤100，
由题意知x>0，所以0所以当x在0课堂
小结
1.知识清单：
(1)简单的分式不等式的解法.
(2)二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用.
(3)一元二次不等式的实际应用.
2.方法归纳：转化法、恒等变形法.
3.常见误区：
(1)解分式不等式要等价变形.
(2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义.
随堂演练
1.不等式 <0的解集为
A.{x|x>1} B.{x|x<－2}
C.{x|－21}
√
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2.若不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为 ，则a＋b的值为
A.5 B.－5 C.6 D.－6
√
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∴a＋b＝－5.
3.已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－20的解集为
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4
√
因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2所以a<0，且－2和1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实根，
1
2
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4
所以不等式cx2－ax＋b>0可化为－2ax2－ax＋a>0，
因为a<0，所以2x2＋x－1>0，即(2x－1)(x＋1)>0，
4.某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0_____________.
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4
{t|10≤
t≤15，t∈N}
z＝(t＋10)(－t＋35)，
依题意有(t＋10)·(－t＋35)≥500，
解得10≤t≤15，t∈N，所以解集为{t|10≤t≤15，t∈N}.
课时对点练
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基础巩固
1.若p： ≥0，q：x2－7x＋10<0，则p是q的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
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2.不等式 ≤0的解集是
A.{x|x<－1或－1C.{x|x<－1或x≥2} D.{x|－1√
∴－11
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4.某服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)的关系为p＝300－2x；生产x件的成本r＝500＋30x元，为使月获利不少于8 600元，则月产量x需满足
A.55≤x≤60 B.60≤x≤65 C.65≤x≤70 D.70≤x≤75
√
由题意可得(300－2x)x－(500＋30x)≥8 600，
即x2－135x＋4 550≤0，
则(x－65)(x－70)≤0，
故65≤x≤70.
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5.某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少 t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是
A.{t|1≤t≤3} B.{t|3≤t≤5}
C.{t|2≤t≤4} D.{t|4≤t≤6}
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设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.
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6.(多选)若不等式ax2－bx＋c>0的解集是{x|－1A.b<0且c>0
B.a－b＋c>0
C.a＋b＋c>0
D.不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－2√
√
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对于A，a<0，依题意知－1,2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝ ，－1×2＝ ，所以b＝a，c＝－2a，所以b<0，c>0，所以A正确；
对于B，由题意可知当x＝1时不等式成立，a－b＋c>0，所以B正确；
对于C，当x＝－1时ax2－bx＋c＝0，即a＋b＋c＝0，所以C错误；
对于D，由题得ax2＋bx＋c＞0可化为ax2＋ax－2a>0，因为a<0，所以x2＋x－2<0，所以－20的解集是{x|－2<
x<1}，所以D正确.
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7.写出一个一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件___________________.
因为ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正实数根和一个负实数根，设为x1，x2，
所以x1x2＜0，即a＜0，
故只需写出一个比a＜0范围小的范围即可.
a＜－1(答案不唯一)
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8.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是 ，则ax2－
bx＋c>0的解集为___________.
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所以不等式ax2－bx＋c>0，即为2x2－5x＋2<0，
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9.已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为 .
(1)求a，c的值；
解得a＝－6，c＝－1.
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由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
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10.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(01
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要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
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综合运用
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因为不等式解集为{x|－1＜x＜3}，故可得a＜0，且 ＝－1，－b＝3，则a＝－1，b＝－3；
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13.已知a∈Z关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是
A.13 B.18 C.21 D.26
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设y＝x2－6x＋a，如图，其图象为开口向上，对称轴为
x＝3的抛物线，
根据题意可得Δ＝36－4a＞0，解得a＜9，
因为y≤0的解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得
所以a＝6,7,8，所以符合题意的a的值之和6＋7＋8＝21.
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14.已知定义在R上的运算“ ”：x y＝x(1－y)，关于x的不等式(x－a) (x＋a)＞0，当a＝2时，不等式的解集为______________.
当a＝2时，不等式(x－a) (x＋a)＞0即为(x－2)(1－x－2)＞0，
即(x－2)(x＋1)＜0，
解得－1＜x＜2.
{x|－1＜x＜2}
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拓广探究
15.在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.则这次事故的主要责任方为________.
乙车
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由题意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2>12，
s乙＝0.05x＋0.005x2>10.
分别求解，得x甲<－40或x甲>30，
x乙<－50或x乙>40.
由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.
经比较知乙车超过限速，应负主要责任.
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16.某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东60°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？
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如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系.
∵AB＝400，∠BAx＝30°，
∴台风中心B的坐标为(200 ,－200)，x h后台风中心B到达点P(200 ，
40x－200)处.
由已知，A市受台风影响时，有AP≤350，
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整理得16x2－160x＋375≤0，
解这个不等式得3.75≤x≤6.25，
A市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h).
故在3.75 h后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5 h.
本课结束(共65张PPT)
第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
第二章 §2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
学习目标
1.从函数观点看一元二次方程.了解函数的零点与方程根的关系.
2.从函数观点看一元二次不等式.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
导语
同学们，我国历史上有很多杰出的数学家，比如祖冲之、秦九韶等，我们古代的数学重点在于“算”，可以说算学是异常的发达，经常令西方数学家瞠目结舌.既然要算，那么对于“二次方程”必然有所涉猎！比如我们所熟悉的《九章算术》，但是《九章算术》的一贯作风是给个问题，配个答案，剩下的自己去想，至于如何解方程，这就需要大家来解决了.实际上，对于求解一元二次方程方法有很多，比如我们所熟悉的求根公式、配方法，而比较好用的还是十字相乘法.
课时对点练
一、一元二次不等式的定义及解法
二、一元二次不等式的解法
三、含参的一元二次不等式的解法
随堂演练
内容索引
一元二次不等式的定义及解法
一
问题1 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？
提示 设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12－x)m.
由题意，得(12－x)x>20，其中x∈{x|0整理得x2－12x＋20<0，x∈{x|0求得不等式①的解集，就得到了问题的答案.
知识梳理
定义 一般地，我们把只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a≠0，a，b，c均为常数
未知数
2
分解下列因式：
(1)x2＋4x＋3；
例1
x2＋4x＋3＝(x＋1)(x＋3).
(2)5x2－6x＋1；
5x2－6x＋1＝(x－1)(5x－1).
(3)m2＋2mn－3n2；
m2＋2mn－3n2＝(m＋3n)(m－n).
(4)ax2＋(a－1)x－1(a≠0).
ax2＋(a－1)x－1＝(ax－1)(x＋1)(a≠0).
(1)判定能否使用十字相乘法分解因式时，使用Δ＝b2－4ac，当Δ为完全平方数时，可以在整数范围内对该多项式进行十字相乘.
(2)有时需对二次项系数和常数项进行多次拆分，直到符合要求为止.
反思感悟
跟踪训练1
因式分解：x2＋3x－10＝____________.
x2＋3x－10＝(x＋5)(x－2).
(x＋5)(x－2)
一元二次不等式的解法
二
问题2 如课本51页图2.3－1，二次函数y＝x2－12x＋20的图象与x轴有两个交点，这与方程x2－12x＋20＝0的根有什么关系？
提示 函数图象与x轴交点的横坐标正好是方程的根.
知识梳理
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使 的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的 .
ax2＋bx＋c＝0
零点
零点不是点，只是函数的图象与x轴交点的横坐标.
注意点：
问题3 你能从二次函数y＝x2－12x＋20的图象上找到x2－12x＋20<0的解集吗？
提示 从图象上看，位于x轴上方的函数值大于零，位于x轴下方的函数值小于零，故x2－12x＋20<0的解集为{x|2知识梳理
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 _______________ ____
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 __________ ____ ____
{x|xx2}
{x|x1
R
(1)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集.
(2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集.
注意点：
例2
(教材P52例1,2,3改编)解下列不等式：
(1)－2x2＋x－6<0；
原不等式可化为2x2－x＋6>0.
因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示).
观察图象可得，原不等式的解集为R.
(2)－x2＋6x－9≥0；
原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图所示，
根据图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}.
(3)x2－2x－3>0.
方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3.
函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示.
观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
反思感悟
解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；
跟踪训练2
方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}.
(2)(2－x)(x＋3)<0.
原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}.
含参的一元二次不等式的解法
三
解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R).
例3
原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
在解含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从以下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无根(Δ<0).
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1反思感悟
解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.
跟踪训练3
原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，
讨论a＋1与2(a－1)的大小.
当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1)；
当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解为x≠4；
当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a－1)或x综上，当a<3时，不等式的解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}；
当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}；
当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a－1)或x课堂
小结
1.知识清单：
(1)一元二次不等式的概念及解法.
(2)含参的一元二次不等式的解法.
2.方法归纳：数形结合法、分类讨论法.
3.常见误区：解含参数的二次不等式时找不到分类讨论的标准.
随堂演练
1.函数y＝x2－4x＋4的零点是
A.(2,0) B.(0,4) C.±2 D.2
√
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2.不等式3x2－2x＋1>0的解集为
A. B.
C. D.R
√
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因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，
所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R.
3.不等式3＋5x－2x2≤0的解集为
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3＋5x－2x2≤0 2x2－5x－3≥0
(x－3)(2x＋1)≥0 x≥3或x≤－ .
√
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课时对点练
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基础巩固
1.下列不等式①x2>0；②－x2－x≤5；③ax2>2；④x3＋5x－6>0；⑤mx2－5y<0；⑥ax2＋bx＋c>0.其中是一元二次不等式的有
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
√
根据一元二次不等式的定义，只有①②满足.
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2.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是
原不等式可化为(3x＋1)2≤0，
√
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3.不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是
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方法一 取x＝1检验，满足，排除A；
取x＝4检验，不满足，排除B，C.
方法二 原不等式可化为2x2＋7x－9≤0，
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5.若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B等于
A.{1,2,3} B.{1,2}
C.{4,5} D.{1,2,3,4,5}
√
又x∈N*且x≤5，则x＝1,2.
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6.(多选)函数y＝x2－4x＋3的零点为
A.(1,0) B.1
C.(3,0) D.3
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7.不等式x2－4x＋4>0的解集是_________.
原不等式可化为(x－2)2>0，解得x≠2.
{x|x≠2}
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9.已知不等式x2＋x－6<0的解集为A，不等式x2－2x－3<0的解集为B，求A∩B.
由x2＋x－6<0得－3∴A＝{x|－3由x2－2x－3<0，得－1∴B＝{x|－1∴A∩B＝{x|－11
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10.解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R).
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原不等式可化为(x－2a)(x＋a)<0.
对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.
①当a>0时，x1>x2，
不等式的解集为{x|－a②当a＝0时，原不等式化为x2<0，解集为 ；
③当a<0时，x1综上，当a>0时，不等式的解集为{x|－a当a＝0时，不等式的解集为 ；
当a<0时，不等式的解集为{x|2a1
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综合运用
11.设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是
A.{x|x<－n或x>m} B.{x|－nC.{x|x<－m或x>n} D.{x|－m√
方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，因为m＋n>0，所以m>－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象(图略)，得不等式的解集是{x|－n1
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12.在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为
A.{x|0B.{x|－2C.{x|x<－2或x>1}
D.{x|－1√
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根据给出的定义得，
x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)
＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，
又x⊙(x－2)<0，
则(x＋2)(x－1)<0，
故不等式的解集是{x|－21
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13.(多选)下列不等式的解集为R的有
A.x2＋x＋1≥0
C.x2＋6x＋10>0
D.2x2－3x＋4<1
√
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A中Δ＝12－4×1<0，满足条件；
C中Δ＝62－4×10<0，满足条件；
D中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能.
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14.关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为 ，则
m的取值范围是_________.
{m|m<0}
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由题意知m<0，
∴m的取值范围是{m|m<0}.
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拓广探究
15.设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A {x|1≤x≤3}，则a的取值
范围为__________.
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设y＝x2－2ax＋a＋2，
因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，
且A {x|1≤x≤3}，
所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0，
若A＝ ，则Δ＝4a2－4(a＋2)<0，
即a2－a－2<0，
解得－11
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16.解关于x的不等式x2－2ax＋2≤0.
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因为Δ＝4a2－8，所以当Δ<0，即－ 当Δ＝0，即a＝± 时，原不等式对应的方程有两个相等实根.
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