(共65张PPT)
第2课时 基本不等式在实际问题中的应用
第二章 §2.2 基本不等式
学习目标
1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.
2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.
3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题.
导语
同学们，数学是和生活联系非常紧密的学科，我们学习数学，也是为了解决生活中的问题，比如：“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，如图为水立方平面设计图，已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左、右两个矩形框架，两框架面积之和为18 000 m2，现地上部分要建在矩形ABCD上，已知两框架与矩形ABCD空白的宽度为10 m，两框架之间的中缝空白宽度为5 m，请问作为设计师的
你，应怎样设计矩形ABCD，才能使水立方占地面积最
小？要解决这个问题，还得需要我们刚学习过的基本不
等式哦，让我们开始今天的探究之旅吧！
一、基本不等式在生活中的应用
二、基本不等式在几何中的应用
课时对点练
随堂演练
内容索引
基本不等式在生活中的应用
一
问题 利用基本不等式求最大(小)值时，应注意哪些问题？
提示 一正：x，y都得是正数；
二定：积定和最小，和定积最大；
三相等：检验等号成立的条件是否满足实际需要.
(教材46页例3改编)小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度.
例1
设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y)m.
方法一 由已知xy＝16，
所以2(x＋y)≥16，
当且仅当x＝y＝4时，等号成立，
因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.
当且仅当x＝y＝4时，等号成立，
因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.
延伸探究 如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？
由已知得2(x＋y)＝12，故x＋y＝6，面积为xy，
可得xy≤9，
当且仅当x＝y＝3时，等号成立.
因此，当游乐园为边长为3 m的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2.
利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意.设变量，并理解变量的实际意义；
(2)构造定值.利用基本不等式求最值；
(3)检验.检验等号成立的条件是否满足题意；
(4)结论.
反思感悟
跟踪训练1
要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价.
设该长方体容器底面的长和宽分别为a m，b m，成本为y元，
由于长方体容器的容积为4 m3，高为1 m，
所以底面面积S＝ab＝4，y＝20S＋10[2(a＋b)]＝20(a＋b)＋80，
由基本不等式可得y＝20(a＋b)＋80≥20× ＋80＝160(元)，
当且仅当a＝b＝2时，等号成立，
因此，该容器的最低总造价为160元.
基本不等式在几何中的应用
二
如图所示，设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB′交DC于点P，设AB＝x.
(1)用x表示DP，并求出x的取值范围；
例2
矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，
∵AB>BC＝AD，得x>12－x，
∴6在△APC中，∠PAC＝∠PCA，所以AP＝PC，从而得DP＝PB′，
∴AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP，在Rt△ADP中，由勾股定理得(12－x)2＋DP2＝(x－DP)2，
(2)求△ADP面积的最大值及此时x的值.
在Rt△ADP中，
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
反思感悟
如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4米，AD＝3米，当BM＝______时，矩形花坛AMPN的面积最小.
跟踪训练2
4米
∴当BM＝4米时，矩形花坛AMPN的面积最小.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)基本不等式在生活中的应用.
(2)基本不等式在几何中的应用.
2.方法归纳：配凑法.
3.常见误区：生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围.
随堂演练
1.用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为
A.9 cm2 B.16 cm2
C.4 cm2 D.5 cm2
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设矩形模型的长和宽分别为x，y，则x>0，y>0，
由题意可得2(x＋y)＝8，
所以x＋y＝4，
当且仅当x＝y＝2时，等号成立，
所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.
2.港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行.刘先生在某段时间内共加油两次，期间燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是
A.采用第一种方案划算
B.采用第二种方案划算
C.两种方案一样
D.无法确定
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假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升.
所以无论油价如何变化，第二种方案都更划算.
3.某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则
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由题意得，A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，
则(1＋a)(1＋b)＝(1＋x)2，
4. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，矩形花园面积的最大值为______.
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400
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由题意设矩形花园的长为x>0，宽为y>0，矩形花园的面积为xy，根据题意作图，如图，因为花园是矩形，则△ADE与△ABC相似，所以 ，又因为AG＝BC＝40，
所以AF＝DE＝x，FG＝y，所以x＋y＝40，
当且仅当x＝y＝20时，矩形花园面积最大，最大值为400.
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基础巩固
1.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“____”的几何解释
A.如果a>b>0，那么
B.如果a>b>0，那么a2>b2
C.对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时
等号成立
D.对任意正实数a和b，有a＋b≥ ，当且仅当a＝b时等号成立
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可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c(c2＝a2＋b2)，
则外围的正方形的面积为c2，也就是a2＋b2，
四个阴影面积之和刚好为2ab，对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，
当且仅当a＝b时等号成立.
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2.汽车上坡时的速度为a，原路返回时的速度为b，且0＜a＜b，则汽车全程的平均速度比a，b的平均值
A.大 B.小
C.相等 D.不能确定
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3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是
A.6.5 m B.6.8 m
C.7 m D.7.2 m
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4. 如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的
A.最小长度为8
B.最小长度为
C.最大长度为8
D.最大长度为
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设BC＝a，CD＝b，
因为矩形的面积为4，所以ab＝4，
所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为
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5.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产x件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
A.30件 B.60件
C.80件 D.100件
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根据题意，生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是900＋x×
＝900＋ x2，设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y，
即每批生产产品60件时，平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.
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6.(多选)已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y(万元)与运营年数x的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是
A.车辆运营年数越多，收入越高
B.车辆在第6年时，总收入最高
C.车辆在前5年的平均收入最高
D.车辆每年都能盈利
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由题意可知，y＝－x2＋12x－25，是开口向下的二次函数，故A错误；
对称轴x＝6，故B正确；
当x＝1时，y＝－14，故D错误.
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7.矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为_____.
由题意，矩形中长为a，宽为b，且面积为64，即ab＝64，
32
当且仅当a＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32.
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8. 如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上、下空白各宽2 dm，左、右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是____ dm2.
56
当且仅当x＝ ，即x＝12时等号成立.即四周空白部
分面积的最小值为56 dm2.
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9. 如图，墙角线互相垂直，长为a m的木棒AB的两个端点分别在这两墙角线上，如何放置木棒才能使围成区域的面积最大？
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设OA＝x m，OB＝y m，因为OA⊥OB，所以OA2＋OB2＝AB2，即x2＋y2＝a2，
所以当OA＝OB＝ a m，即当放置木棒使A，B到O点的距离相等时，木棒围成区域的面积最大.
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10.为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，我校计划沿着围墙(足够长)划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建一个羊驼养殖场，规定ABCD的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形EFGH为羊驼养殖区，且点A，B，E，F四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设AB＝x(单位：米)，养殖区域EFGH的面积为S(单位：平方米).
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(1)将S表示为x的函数，并写出x的取值范围；
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(2)当AB为多长时，S取得最大值？并求出此最大值.
当且仅当x＝10 时，等号成立，经验证，符合题意，
即当AB＝10 米时，S取得最大值，最大值为(102－20 )平方米.
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综合运用
11.无字证明是指只用图象而无需文字解释就有不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，现有如图所示图形，在等腰Rt△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边上异于顶点的一个动点，设AD＝a，BD＝b，
则该图形可以完成的无字证明为
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12.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝ 求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为
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当且仅当7－b＝7－c，即b＝c＝4时，等号成立，
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13.某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，提价幅度较大的一种是
A.先提价p%，后提价q%(p≠q)
B.先提价q%，后提价p%(p≠q)
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设提价前的价格为1，由题意可知，A，B选项的两次提价后的价格均为(1＋p%)(1＋q%)；
∴提价幅度较大的为D选项.
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14.某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站____ km处.
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设仓库到车站的距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费用为y2，
把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，
∴当仓库建在离车站5 km处时两项费用之和最小.
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拓广探究
15.一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是
A.大于10 g B.大于等于10 g
C.小于10 g D.小于等于10 g
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由于天平两臂不等长，
可设天平左臂长为a(a>0)，右臂长为b(b>0)，则a≠b，
再设先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，则bx＝5a，ay＝5b，
因此，顾客购得的黄金大于10 g.
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16.某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(10－0.1x)万套.现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格.
(1)求每套丛书利润y与售价x的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？
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此时销量为10－0.1×80＝2(万套)，
总利润为2×55＝110(万元).
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(2)每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润.
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∵0∴100－x>0，
即每套丛书售价定为90元时，每套丛书的利润最大，为60元.
本课结束(共58张PPT)
第1课时 基本不等式
第二章 §2.2 基本不等式
学习目标
1.了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
导语
从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！
课时对点练
一、基本不等式的证明与理解
二、求简单代数式的最值
三、最值定理
随堂演练
内容索引
基本不等式的证明与理解
一
问题1 如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？
提示 正方形的边长AB＝ ，故正方形的面积为a2＋b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2＋
b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立，我们称该不等式为重要不等式.
问题2 现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用
分别替换上式中的a，b，能得到什么样结论？
问题3 上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明.
提示 方法一 (作差法)
方法二 (性质法)
方法三 (利用几何意义证明)
如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，
过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，
故有△ACD∽△DCB，故CD＝ ，由于CD小于或等于圆的半径，
故用不等式表示为 ，由此也可以得出圆的半径不小于半弦.
知识梳理
1.基本不等式：如果a>0，b>0，则___________，当且仅当 时，等号成立.
2.其中，______叫做正数a，b的算术平均数，____叫做正数a，b的几何平均数.
3.两个正数的算术平均数 它们的几何平均数.
a＝b
不小于
求简单代数式的最值
二
例1
因为x>0，
当且仅当x＝ ，即x＝2时等号成立，因此所求的最小值为4.
延伸探究
1.当x<0时，求x＋ 的最大值.
因为x<0，则－x>0，
故原式的最大值为－4.
因为x>1，故有x－1>0，
当且仅当x－1＝ ，即x＝3时等号成立.因此所求的最小值为5.
在利用基本不等式求最值时要注意三点
一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备，检验多项式取得最值时的x的值是否为已知范围内的值，三点缺一不可.
反思感悟
跟踪训练1
(多选)下面四个推导过程正确的有
√
√
A中，∵a，b为正实数，∴ ， 为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确；
B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，故B错误；
最值定理
三
问题4 你能写出基本不等式的几种变形吗？
由此我们发现若两个正数的和为定值时，我们可以求这两个数乘积的最大值，若两个数的乘积为定值时，我们可以求这两个数和的最小值.
知识梳理
最值定理
已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值 ；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积
xy有最大值 ，简记为：积定和最小，和定积最大.
(1)三个关键点：一正、二定、三相等.
①一正：各项必须为正；
②二定：各项之和或各项之积为定值；
③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备.
(2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配项等变换.
注意点：
例2
(1)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为
A.80 B.77
C.81 D.82
因为x>0，y>0，
√
当且仅当x＝y＝9时，等号成立，即(xy)max＝81.
(2)若m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是
A.4 B. C.9 D.18
因为m＞0，n＞0，mn＝81，所以m＋n≥2 ＝18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，故m＋n的最小值是18.
√
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求最值应注意以下几个方面：①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
反思感悟
(1)已知正数a，b满足ab＝8，则a＋2b取得最小值时a，b的值分别为
A.2,2 B.2,4 C.4,4 D.4,2
跟踪训练2
√
因为a＞0，b＞0，
所以a＋2b取得最小值时a，b的值分别为4,2.
由题意知1－2x>0，
当且仅当2x＝1－2x，即x＝ 时，等号成立.
所以y的最大值为 .
课堂
小结
1.知识清单：
(1)基本不等式的推导与证明.
(2)求简单代数式的最值.
(3)最值定理.
2.方法归纳：拼凑法.
3.常见误区：利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可，尤其是“当且仅当，等号成立”这八个字，更是不能缺少.
随堂演练
1.不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是
A.a＝±1 B.a＝1
C.a＝－1 D.a＝0
√
1
2
3
4
当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，
即a＝1时，等号成立.
2.已知x<0，则x＋ －2有
A.最大值0 B.最小值0
C.最大值－4 D.最小值－4
√
1
2
3
4
当且仅当－x＝－ ，即x＝－1时“＝”成立.
∴x＋ －2(x＜0)有最大值为－4.
3.下列结论正确的是
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√
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4
选项A不满足“取等号时的条件”，故不正确；
选项C不满足“各项必须为正”，故不正确；
选项D不满足“积为定值”，故不正确.
4.已知y＝4x＋ (x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a的值为____.
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课时对点练
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基础巩固
1.下列不等式中正确的是
√
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若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错；
由基本不等式可知D项正确.
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2.下列各式中最小值为2的是
√
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3.设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是
A.400 B.100 C.40 D.20
√
当且仅当x＝y＝20时，等号成立.
∴xy的最大值是400.
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5.(多选)下列不等式中正确的是
由基本不等式可知B，D正确.
√
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6.(多选)下列条件可使 ≥2成立的有
A.ab>0 B.ab<0
C.a>0，b>0 D.a<0，b<0
√
√
√
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7.已知01
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因为x>3，所以x－3>0，
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故当x＝1时，ymax＝1.
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综合运用
11.式子 的最小值为
A.3 B.4 C.6 D.8
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12.若0A.最小值0 B.最大值2
C.最大值 D.不能确定
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13.已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为
A.16 B.9 C.4 D.36
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14.已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为 _____.
因为x>0，y>0,2x＋3y＝6，
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拓广探究
15.(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S，l)的有
A.(1,4) B.(6,8)
C.(7,12) D.
√
√
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设矩形的长和宽分别为x，y，
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∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，
当且仅当3x＝2y，3x＋2y＝10，
本课结束
