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高中数学人教A版（2019）必修一 1.1.2 集合间的基本关系同步练习
一、单选题
1．（2021高一上·武汉期中）已知集合 ，那么 的子集的个数是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】集合 ，集合 的子集共有 个.
故答案为：A
【分析】 根据集合的元素数目与子集个数的关系，而A有3个元素，计算可得答案.
2．（2021高一上·南阳期中）集合 的真子集的个数是（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
【答案】D
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】∵集合 ，
∴集合 ，则集合A的真子集的个数是 .
故答案为：D.
【分析】将集合A化简得到集合A中元素个数，再利用n元素集合其真子集个数为求解。
3．（2021高一上·薛城期中）已知集合 ， ，则（ ）
A． B．A B C．B A D．
【答案】C
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】根据集合真子集的定义得：对任意的 ，均有 ，存在 ，使得 ，故B A.
故答案为：C.
【分析】由元素与集合之间的关系，结合已知条件即可得出答案。
4．（2021高一上·电白期中）已知集合 ，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】∵ ，∴ ，所以A、B、D不符合题意，
由空集是任何集合的子集，可得C符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系、集合间的关系，从而找出关系正确的选项。
5．（2022高三上·潮州期末）已知集合，．若，则m等于（ ）
A．0 B．0或1 C．0或2 D．1或2
【答案】C
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】因为，，且，
所以或2.
故答案为：C.
【分析】利用子集的定义直接求解，即可得出答案。
6．（2022·南平三模）设集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】由可得.
故答案为：D.
【分析】直接由求解即可.
7．（2022·湖南模拟）已知集合，集合，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】
，
，
，
且
，解得：
，即
的取值范围为
.
故答案为：D.
【分析】由集合包含关系可直接构造不等式组求得
的取值范围。
8．（2022·湘潭三模）已知集合，，若，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】 先化简集合A，再利用 即可求出 m的取值范围 .
9．（2021高一上·金台期中）下列表示 ① ，② ，③ ，④ 中，正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
【答案】C
【知识点】集合的含义；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】解：在①中， 中没有元素，{0}中有一个元素0，故{0}≠ ，故①错误；
在②中，{2}是{2，4，6}的子集，故②正确；
在③中，{2}是{x|x2-3x+2=0}的子集，故③错误；
在④中，0是{0}中的元素，即0∈{0}，故④正确.
故答案为：C.
【分析】根据空集，子集，元素与集合的关系等概念求解即可.
二、填空题
10．（2022·上海市模拟）设集合，，若，则实数
【答案】0，2
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】集合，，若，则且，
所以或2，
故答案为：0，2
【分析】由，可得且，即可求解。
11．（2021高一上·景德镇期中）集合 的非空子集个数为 .
【答案】15
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】因为
所以非空子集为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共15个，
故答案为：15
【分析】 先将集合用列举法表示，求出该集合中元素的个数，利用集合真子集的个数公式求出该集合的非空真子集个数.
12．（2021高一上·浙江期中）满足 的集合 的个数为 个.
【答案】8
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】由题意，元素 ，元素 是否在集合 中分别有2种情况，
根据分步计数原理，有 种情况，
故集合 的个数为8个。
故答案为：8。
【分析】利用已知条件结合集合间的关系，从而利用分步乘法计数原理，进而找出满足要求的集合M的个数。
13．满足 的集合M有 个.
【答案】7
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】由 ,可以确定集合M必含有元素1,2,且至少舍有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素： , , ；含有四个元素： , , ；含有五个元素： ,故满足题意的集合M共有7个。
故答案为：7。
【分析】利用已知条件结合集合间的包含关系，从而找出满足要求的集合M的个数。
14．若 ， ，且 ，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为 ， ，且 ，
所以集合 的范围要比集合 的小或者与集合 一样，
故实数 的取值范围是 。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合集合间的包含关系，再利用分类讨论的方法借助数轴，从而求出实数a的取值范围。
15．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为集合M有4个子集，所以集合M中包含两个元素，
所以 ，所以 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合子集的定义以及子集的个数求解公式，所以集合M中包含两个元素，从而求出集合M，进而求出实数m的取值范围。
三、解答题
16．
（1）写出集合{a，b，c，d}的所有子集；
（2）若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？
【答案】（1）集合 的所有子集有： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ；
（2）若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有 个子集， 个真子集.
【知识点】子集与真子集
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合子集的定义，从而写出集合{a，b，c，d}的所有子集。
（2）利用已知条件结合求子集个数的公式 和真子集个数公式 ，从而求出集合的子集个数和真子集个数。
17．（2021高一上·重庆月考）已知集合．
（1）若是的子集，且至少含有元素，写出满足条件的所有集合；
（2）若，且，求实数的取值集合．
【答案】（1）解：，，可能的集合为：，，，；
（2）解：当时，，满足；
当时，；若，则或或，
解得：或或；
综上所述：实数的取值集合为.
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即可求出元素与集合的关系，由此计算出结果即可。
(2)由已知条件结合集合之间的关系，然后对a分情况讨论，计算出结果即可。
18．（2021高一上·河北期中）设集合 ， .
（1）若 ，试判断集合 与 的关系；
（2）若 ，求实数 的取值集合.
【答案】（1）当 时， ，
因为 ，
所以B A.
（2）因为集合 至多有一个元素，由 ，所以
当 时， ；
当 时，所以 ；
当 时，所以 .
所以 .
【知识点】集合的包含关系判断及应用；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）利用a的值结合一元一次方程求解集的方法，从而求出集合B，再利用一元二次方程求解集的方法，从而求出集合A，再利用集合间的关系判断，从而判断出集合A和集合B的关系。
（2）利用已知条件结合集合间的包含关系，再结合分类讨论的方法，从而求出实数a的取值集合。
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高中数学人教A版（2019）必修一 1.1.2 集合间的基本关系同步练习
一、单选题
1．（2021高一上·武汉期中）已知集合 ，那么 的子集的个数是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
2．（2021高一上·南阳期中）集合 的真子集的个数是（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
3．（2021高一上·薛城期中）已知集合 ， ，则（ ）
A． B．A B C．B A D．
4．（2021高一上·电白期中）已知集合 ，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高三上·潮州期末）已知集合，．若，则m等于（ ）
A．0 B．0或1 C．0或2 D．1或2
6．（2022·南平三模）设集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·湖南模拟）已知集合，集合，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·湘潭三模）已知集合，，若，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021高一上·金台期中）下列表示 ① ，② ，③ ，④ 中，正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
二、填空题
10．（2022·上海市模拟）设集合，，若，则实数
11．（2021高一上·景德镇期中）集合 的非空子集个数为 .
12．（2021高一上·浙江期中）满足 的集合 的个数为 个.
13．满足 的集合M有 个.
14．若 ， ，且 ，则实数 的取值范围是 .
15．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m的取值范围为 .
三、解答题
16．
（1）写出集合{a，b，c，d}的所有子集；
（2）若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？
17．（2021高一上·重庆月考）已知集合．
（1）若是的子集，且至少含有元素，写出满足条件的所有集合；
（2）若，且，求实数的取值集合．
18．（2021高一上·河北期中）设集合 ， .
（1）若 ，试判断集合 与 的关系；
（2）若 ，求实数 的取值集合.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】集合 ，集合 的子集共有 个.
故答案为：A
【分析】 根据集合的元素数目与子集个数的关系，而A有3个元素，计算可得答案.
2．【答案】D
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】∵集合 ，
∴集合 ，则集合A的真子集的个数是 .
故答案为：D.
【分析】将集合A化简得到集合A中元素个数，再利用n元素集合其真子集个数为求解。
3．【答案】C
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】根据集合真子集的定义得：对任意的 ，均有 ，存在 ，使得 ，故B A.
故答案为：C.
【分析】由元素与集合之间的关系，结合已知条件即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】∵ ，∴ ，所以A、B、D不符合题意，
由空集是任何集合的子集，可得C符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系、集合间的关系，从而找出关系正确的选项。
5．【答案】C
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】因为，，且，
所以或2.
故答案为：C.
【分析】利用子集的定义直接求解，即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】由可得.
故答案为：D.
【分析】直接由求解即可.
7．【答案】D
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】
，
，
，
且
，解得：
，即
的取值范围为
.
故答案为：D.
【分析】由集合包含关系可直接构造不等式组求得
的取值范围。
8．【答案】A
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】 先化简集合A，再利用 即可求出 m的取值范围 .
9．【答案】C
【知识点】集合的含义；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】解：在①中， 中没有元素，{0}中有一个元素0，故{0}≠ ，故①错误；
在②中，{2}是{2，4，6}的子集，故②正确；
在③中，{2}是{x|x2-3x+2=0}的子集，故③错误；
在④中，0是{0}中的元素，即0∈{0}，故④正确.
故答案为：C.
【分析】根据空集，子集，元素与集合的关系等概念求解即可.
10．【答案】0，2
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】集合，，若，则且，
所以或2，
故答案为：0，2
【分析】由，可得且，即可求解。
11．【答案】15
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】因为
所以非空子集为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共15个，
故答案为：15
【分析】 先将集合用列举法表示，求出该集合中元素的个数，利用集合真子集的个数公式求出该集合的非空真子集个数.
12．【答案】8
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】由题意，元素 ，元素 是否在集合 中分别有2种情况，
根据分步计数原理，有 种情况，
故集合 的个数为8个。
故答案为：8。
【分析】利用已知条件结合集合间的关系，从而利用分步乘法计数原理，进而找出满足要求的集合M的个数。
13．【答案】7
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】由 ,可以确定集合M必含有元素1,2,且至少舍有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素： , , ；含有四个元素： , , ；含有五个元素： ,故满足题意的集合M共有7个。
故答案为：7。
【分析】利用已知条件结合集合间的包含关系，从而找出满足要求的集合M的个数。
14．【答案】
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为 ， ，且 ，
所以集合 的范围要比集合 的小或者与集合 一样，
故实数 的取值范围是 。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合集合间的包含关系，再利用分类讨论的方法借助数轴，从而求出实数a的取值范围。
15．【答案】
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为集合M有4个子集，所以集合M中包含两个元素，
所以 ，所以 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合子集的定义以及子集的个数求解公式，所以集合M中包含两个元素，从而求出集合M，进而求出实数m的取值范围。
16．【答案】（1）集合 的所有子集有： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ；
（2）若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有 个子集， 个真子集.
【知识点】子集与真子集
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合子集的定义，从而写出集合{a，b，c，d}的所有子集。
（2）利用已知条件结合求子集个数的公式 和真子集个数公式 ，从而求出集合的子集个数和真子集个数。
17．【答案】（1）解：，，可能的集合为：，，，；
（2）解：当时，，满足；
当时，；若，则或或，
解得：或或；
综上所述：实数的取值集合为.
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即可求出元素与集合的关系，由此计算出结果即可。
(2)由已知条件结合集合之间的关系，然后对a分情况讨论，计算出结果即可。
18．【答案】（1）当 时， ，
因为 ，
所以B A.
（2）因为集合 至多有一个元素，由 ，所以
当 时， ；
当 时，所以 ；
当 时，所以 .
所以 .
【知识点】集合的包含关系判断及应用；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）利用a的值结合一元一次方程求解集的方法，从而求出集合B，再利用一元二次方程求解集的方法，从而求出集合A，再利用集合间的关系判断，从而判断出集合A和集合B的关系。
（2）利用已知条件结合集合间的包含关系，再结合分类讨论的方法，从而求出实数a的取值集合。
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