(共59张PPT)
第2课时 奇偶性的应用
第三章 3.2.2 奇偶性
学习目标
1.掌握用奇偶性求解析式的方法.
2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式.
课时对点练
一、根据函数奇偶性求函数的解析式
二、利用函数奇偶性与单调性比较大小
三、利用函数的单调性与奇偶性解不等式
随堂演练
内容索引
根据函数奇偶性求函数的解析式
一
知识梳理
用奇偶性求解析式的步骤：
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
(2)利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式.
例1
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝－x2－2x－3.
即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0.
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝ ，求函数f(x)，g(x)
的解析式.
∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
①
②
延伸探究
1.在本例(1)中，把条件“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”，其余不变，求当x<0时，f(x)的解析式.
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(－x)，
所以f(x)＝x2＋2x＋3.
即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3.
2.在本例(2)中，把条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式.
∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
①
②
(1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式.
(2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解.
提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
反思感悟
(1)已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，当x∈(－∞，0)时，求f(x)的解析式.
跟踪训练1
设x<0，则－x>0，
则f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，
又f(x)在R上为偶函数，
∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝f(－x)＝x2－x－1.
(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式.
设x>0，则－x<0，
则f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.
又f(x)是R上的奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.
又∵函数的定义域为R，∴f(0)＝0，
利用函数奇偶性与单调性比较大小
二
问题 想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1,2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1,2)上的单调性如何？
提示 奇函数在(1,2)上单调递减，偶函数在(1,2)上单调递增.
知识梳理
1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a
2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a3.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a4.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a以上a，b符号相同.
单调递增
一致(相同)
单调递减
相反
－M
N
已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是
A.f(－0.5)C.f(0)例2
√
∵函数f(x)为奇函数，
且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)在R上单调递增，
∴f(－1)比较大小的求解策略
(1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小.
反思感悟
设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是
A.f(π)>f(－3)>f(－2) B.f(π)>f(－2)>f(－3)
C.f(π)跟踪训练2
√
由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)，f(x)单调递增，则x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|<|－3|<π，
∴f(π)>f(－3)>f(－2).
利用函数的单调性与奇偶性解不等式
三
设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)例3
因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减，
所以f(x)在[－2,2]上单调递减.
利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类
(1)利用图象解不等式；
(2)转化为简单不等式求解.
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解.
特别提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域.
反思感悟
已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若f(－3)＝0，则 <0的解集为________________.
跟踪训练3
∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减.
∴f(3)＝f(－3)＝0.
当x>0时，由f(x)<0，
解得x>3；
当x<0时，由f(x)>0，
解得－33}.
{x|－33}
课堂
小结
1.知识清单：
(1)利用奇偶性求函数的解析式.
(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式.
2.方法归纳：转化法、数形结合法.
3.常见误区：解不等式易忽视函数的定义域.
随堂演练
1.设函数f(x)＝ 若f(x)是奇函数，则g(－2)等于
A.－1 B.0 C.1 D.2
√
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由已知可得g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－(22－2×2)＝0.
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2.设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则
√
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∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(2)＝f(－2).
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3.已知函数f(x)＝ 为奇函数，则a＋b等于
A.－1 B.1
C.0 D.2
√
当x<0时，－x>0，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x).即ax2－bx＝－x2－x，∴a＝－1，b＝1.故a＋b＝0.
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4.已知定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是________.
由题意可知|a|<3，解得－3(－3,3)
课时对点练
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基础巩固
1.设函数f(x)＝ 为奇函数，则实数a 等于
A.－1 B.1
C.0 D.－2
√
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2.若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为
A.(－∞，0] B.[0，＋∞)
C.(－∞，＋∞) D.[1，＋∞)
√
因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，
即函数f(x)＝－2x2＋1，
所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增.
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3.如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1,3]上
A.单调递增且最小值为－5 B.单调递增且最大值为－5
C.单调递减且最小值为－5 D.单调递减且最大值为－5
√
∵f(x)为奇函数，
∴f(x)在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f(1)为最小值，
又已知f(－1)＝5，∴f(－1)＝－f(1)＝5，
∴f(1)＝－5.
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4.设函数f(x)＝ 且f(x)为偶函数，则g(－2)等于
A.6 B.－6 C.2 D.－2
√
g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.
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5.若奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有
A.最大值－ B.最大值
C.最小值－ D.最小值
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方法二 (直接法)当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－x(1－x).
又f(－x)＝－f(x)，
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6.(多选)一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图所示，下列说法正确的是
A.这个函数有三个单调递增区间
B.这个函数有两个单调递减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值7
D.这个函数在其定义域内有最小值－7
√
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根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出函数在[－7,0]上的图象，如图所示，
可知这个函数有三个单调递增区间；有三个单
调递减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.
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7.若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是_______________.
∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，
即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，
∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.
∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(2)即f(－2)f(－2)1
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9.已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.
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∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
由f(1－x)＋f(1－2x)<0，得
f(1－x)<－f(1－2x)，即f(1－x)又∵f(x)在(－1,1)上是减函数，
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10.已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，试问F(x)
＝ 在(－∞，0)上单调递增还是单调递减？证明你的结论.
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F(x)在(－∞，0)上单调递减.
证明如下：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1则有－x1>－x2>0.
因为y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，
所以f(－x2)又因为f(x)是奇函数，
所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)， ②
由①②得f(x2)>f(x1)>0.
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即F(x1)>F(x2)，
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综合运用
11.已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2 022)＝k，则f(－2 022)等于
A.k B.－k
C.1－k D.2－k
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方法一 令g(x)＝ax3＋bx(ab≠0)，则g(x)是奇函数，
从而f(－2 022)＝g(－2 022)＋1
＝－g(2 022)＋1.
又因为f(2 022)＝k，所以g(2 022)＝k－1，
从而f(－2 022)＝－(k－1)＋1＝2－k.
方法二 因为f(－x)＋f(x)＝－ax3－bx＋1＋ax3＋bx＋1＝2，
所以f(－2 022)＋f(2 022)＝2.
又因为f(2 022)＝k，所以f(－2 022)＝2－k.
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12.设奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(1)＝0，则不等式
<0的解集为
A.(－1,0)∪(1，＋∞) B.(－∞，－1)∪(0,1)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－1,0)∪(0,1)
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∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减且f(1)＝0，
∵奇函数的图象关于原点对称，
∴在(－∞，0)上f(x)单调递减且f(－1)＝0，
综上，不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
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13.若函数y＝f(x)是奇函数，且函数F(x)＝af(x)＋bx＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则函数y＝F(x)在(－∞，0)上有
A.最大值－8 B.最小值－8
C.最小值－6 D.最小值－4
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∵y＝f(x)和y＝x都是奇函数，
∴T(x)＝af(x)＋bx也为奇函数.
又∵F(x)＝af(x)＋bx＋2在(0，＋∞)上有最大值8，
∴T(x)＝af(x)＋bx在(0，＋∞)上有最大值6，
∴T(x)＝af(x)＋bx在(－∞，0)上有最小值－6，
∴F(x)＝af(x)＋bx＋2在(－∞，0)上有最小值－4.
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14.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.
∵f(x)为偶函数，∴f(x－1)＝f(|x－1|)，
又f(2)＝0，f(x－1)>0，∴f(|x－1|)>f(2).
∵|x－1|,2∈[0，＋∞)，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
∴|x－1|<2，即－2∴x的取值范围为(－1,3).
(－1,3)
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拓广探究
15.已知定义在R上的奇函数满足f(x＋8)＝f(x)，且在区间[0,2]上单调递增，则
A.f(25)B.f(25)C.f(－1)D.f(－1)√
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∵f(x＋8)＝f(x)，
∴f(25)＝f(17)＝f(9)＝f(1)，
同理f(80)＝f(0)，
又∵奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递增，
∴f(x)在区间[－2,2]上单调递增，
∴f(－1)即f(－1)1
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16.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足下面两个条件：①对于任意的x，y∈R，均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)；②当x＞0时，f(x)＜0，且f(1)＝－2.试求函数f(x)在[－3,3]上的值域.
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任取x1，x2，且－3≤x1＜x2≤3，则x2－x1＞0，f(x2－x1)＜0，
∴f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，
∴f(x)在[－3,3]上单调递减，
又f(1)＝－2，f(2)＝f(1)＋f(1)＝－4，
∴f(3)＝f(1)＋f(2)＝－2－4＝－6，又f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－3)＝－f(3)＝6，又f(x)在[－3,3]上单调递减，
∴函数f(x)在[－3,3]上的值域为[－6,6].
本课结束(共60张PPT)
第1课时 奇偶性的概念
第三章 3.2.2 奇偶性
学习目标
1.了解函数奇偶性的定义.
2.掌握判断和证明函数奇偶性的方法.
3.应用函数的奇偶性解决简单的求值问题.
导语
古语有云：“夫美者，上下，内外，大小，远近皆无害焉，故曰美.”大家知道，我国的建筑，无论宫殿、庙宇、亭台、园林，无不有着对称之美，还能给人以稳重、博大、端庄的感觉，你能说出生活中和对称有关的例子吗？而对称美在数学中更是体现的淋漓尽致，今天我们来探究数学中的对称美.
课时对点练
一、函数奇偶性的概念
二、函数奇偶性的判断
三、奇、偶函数的图象及应用
随堂演练
四、利用函数的奇偶性求值
内容索引
函数奇偶性的概念
一
问题1 观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
提示 这两个函数图象都关于y轴对称.
问题2 如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况.
提示 可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
f(x)＝x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
g(x)＝2－|x| … －1 0 1 2 1 0 －1 …
问题3 观察函数f(x)＝x和g(x)＝ 的图象，你能发现这两个函数图象有什
么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？并自主探究结果.
提示 可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形.
知识梳理
偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈
I，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数.
奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈
I，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数.
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
(1)函数的奇偶性是函数的整体性质.
(2)先判断定义域是否关于原点对称，如果 x∈I，都有－x∈I，即便定义域关于原点对称，还需判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数.
(3)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称.
注意点：
(4)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0.
(5)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数.
注意点：
函数奇偶性的判断
二
判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)＝－|x|；
例1
函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝－|－x|＝－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数.
函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数.
函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，∵ x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，
∴f(x)是奇函数.
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
反思感悟
(2)图象法：
反思感悟
判断下列函数的奇偶性.
跟踪训练1
(2)f(x)＝x2(x2＋2).
f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.
∵f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数.
奇、偶函数的图象及应用
三
已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示.
(1)请补全函数y＝f(x)的图象；
例2
由题意作出函数图象如图.
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；
由图可知，单调递增区间为(－1,0)，(1，＋∞).
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2延伸探究 若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
(1)由题意作出函数图象如图所示.
(2)由图可知，单调递增区间为(－1,1).
(3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－22}.
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称.
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.
反思感悟
定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示.
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
跟踪训练2
由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示.
(2)比较f(1)与f(3)的大小.
观察图象，知f(3)利用函数的奇偶性求值
四
(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a
＝____，b＝____.
例3
0
(2)已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝_____.
令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，
又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.
又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7.
7
利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数.
(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
反思感悟
(1)已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是
A.4 B.3 C.2 D.1
跟踪训练3
√
因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.
－1
课堂
小结
1.知识清单：
(1)函数奇偶性的概念.
(2)奇函数、偶函数的图象特征.
2.方法归纳：特值法、数形结合法.
3.常见误区：忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称.
随堂演练
1.函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于
A.－1 B.0
C.1 D.无法确定
√
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∵奇函数的定义域关于原点对称，
∴a－1＝0，即a＝1.
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2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是
选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；
选项C，D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；
选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.
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3.(多选)下列函数是奇函数的是
A.y＝x(x∈[0,1]) B.y＝3x2
C.y＝ D.y＝x|x|
√
利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；
又奇函数需满足f(－x)＝－f(x)，排除选项B.
√
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4.已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是_____.
由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
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基础巩固
1.已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
√
∵F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
又x∈(－a，a)关于原点对称，
∴F(x)是偶函数.
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2.若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为R上的奇函数，则a的值为
A.0 B.－1 C.1 D.2
√
∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)＝0，得a＝1.
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3.若函数f(x)满足 ＝1，则f(x)的图象的对称轴是
A.x轴 B.y轴
C.直线y＝x D.不能确定
√
∴其图象的对称轴为y轴.
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4.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为
A.－2 B.2
C.1 D.0
√
f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)
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5.已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－ ，若f(2)＋f(0)＝1，则f(－3)等于
A.－4 B.－3 C.－2 D.1
√
因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，
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6.(多选)下列函数中为奇函数的是
A.f(x)＝x3 B.f(x)＝x5
√
选项ABC中的函数满足定义域关于原点对称，且f(－x)＝－f(x)，由奇函数的定义可知选ABC.
√
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7.设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是_________________________.
因为偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)<0的解集.
因为当x∈[0,5]时，f(x)<0的解集为{x|2所以当x∈[－5,0]时，f(x)<0的解集为{x|－5≤x<－2}.
所以f(x)<0的解集是{x|－5≤x<－2或2{x|－5≤x<－2或21
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8.已知函数f(x)是定义在[－3,0)∪(0,3]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是___________________.
因为当0[－3，－1)∪(1,3]
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9.判断下列函数的奇偶性.
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f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称.
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f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，
所以f(x)是偶函数.
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10.(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；
奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于原点的对称点为P′(x，－f(－x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.
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(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.
偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴的对称点为P′(x，f(－x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3).
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综合运用
11.已知f(x)＝ax3＋bx2是定义在[a－1,3a]上的奇函数，那么a＋b等于
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∵f(x)＝ax3＋bx2是定义在[a－1,3a]上的奇函数，
再由奇函数的定义得f(－x)＝－f(x)，
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12.函数f(x)＝ 是
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
√
若x是有理数，则－x也是有理数，
∴f(－x)＝f(x)＝1；若x是无理数，则－x也是无理数，
∴f(－x)＝f(x)＝0.
∴函数f(x)是偶函数.
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13.(多选)对于定义在R上的函数f(x)，则下列判断正确的是
A.若函数f(x)满足f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数
B.若函数f(x)满足f(－2)≠f(2)，则f(x)不是偶函数
C.若函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)是R上的单调增函数
D.若函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)不是R上的单调减函数
√
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A选项，若f(x)＝x(x2－4)，则f(－2)＝0，f(2)＝0，故f(－2)＝f(2)，又f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－x[(－x)2－4]＝－x(x2－4)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A错误；
B选项，依据偶函数的定义知，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，则可知满足f(2)≠f(－2)的函数必然不是偶函数，故B正确；
C选项，若f(x)＝x2，则f(2)＝4，f(1)＝1，故f(2)＞f(1)，但函数f(x)＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，故C错误；
D选项，因为2＞1，f(2)＞f(1)，所以f(x)不是R上的单调减函数，故D正确.
14.已知定义域为[a－4,2a－2]的奇函数f(x)＝2 023x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为______.
因为奇函数的图象关于原点对称，
所以a－4＋2a－2＝0，
所以a＝2，
因为函数f(x)是奇函数，
所以f(0)＝0，
即b＋2＝0，故b＝－2，
所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝f(2)－f(2)＝0.
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拓广探究
故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]
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16.已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
(1)求证：f(x)是奇函数；
由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，
所以f(0)＝0.
所以f(x)＋f(－x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数.
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(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12).
由(1)知f(x)为奇函数.
所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a.
又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，
所以f(12)＝－4a.
本课结束