2022-2023学年人教A版2019高中数学 必修1 3.4 函数的应用(一) 课件 （67张PPT）

(共67张PPT)
§3.4　函数的应用(一)
第三章　函数的概念与性质
学习目标
1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题.
2.能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题.
课时对点练
一、一次函数模型的应用
二、二次函数模型的应用
三、分段函数模型的应用
随堂演练
内容索引
一次函数模型的应用
一
　　为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.
(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
例1
由图象可设y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1＝k1x＋30，y2
＝k2x，得
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.
当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致；
当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜；
当x>90时，y1一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解.
反思感悟
　　　某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大.
跟踪训练1
设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸，
每月所获利润是y元，
则每月售出报纸共(20x＋10×250)份；
每月退回报社报纸共10×(x－250)份.
依题意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250).
即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)，
化简得y＝1.6x＋800，其中250≤x≤400，
因为此一次函数的k＝1.6>0，
所以y是一个在定义域内单调递增的函数，再由250≤x≤400知，
当x＝400时，y取得最大值，
此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元).
所以买进400份报纸所获利润最大，获利1 440元.
二次函数模型的应用
二
　　某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
例2
根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，
得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N).
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润.
所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N).
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
因为w＝－3x2＋360x－9 600
＝－3(x－60)2＋1 200，
所以当x<60时，w随x的增大而增大.
又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元.
利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
反思感悟
　　　 据市场分析，某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点.
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式；
跟踪训练2
设y＝a(x－15)2＋17.5(a≠0)，
将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5，
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
设最大利润为Q(x)，
所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.
分段函数模型的应用
三
　　中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本C(x)(万元).当年产量不足80台
时，C(x)＝ x2＋40x，当年产量不小于80台时，C(x)＝101x＋ －2 180，
若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.
(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式；
例3
(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润.
当x＝60时，y取得最大值为1 300，
综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1 500万元.
应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
(3)分段函数的值域或最值求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.
反思感悟
　　　 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且日销售量近似满足g(t)＝80－2t，
价格近似满足f(t)＝
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；
跟踪训练3
由已知得，
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
由(1)知，①当0≤t≤10时，
y＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－5)2＋1 225，
函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0，5]上单调递增，在t∈(5,10]上单调递减，
∴ymax＝1 225(当t＝5时取得)，
ymin＝1 200(当t＝0或10时取得)；
②当10函数图象开口向上，对称轴为t＝45，
该函数在t∈(10,20]上单调递减，
∴y<1 200，
ymin＝600(当t＝20时取得).
由①②知ymax＝1 225(当t＝5时取得)，
ymin＝600(当t＝20时取得).
课堂
小结
1.知识清单：
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
分段函数模型 f(x)＝
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)
2.方法归纳：配方法、判别式法、换元法.
3.常见误区：函数的实际应用问题易忽略函数的定义域.
随堂演练
1.某商店同时卖出两件外套，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店
A.不亏不盈 B.盈利37.2元 C.亏损14元 D.盈利14元
√
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设两件外套的成本分别为a，b元，
∴2×168－(a＋b)＝336－350＝－14，
∴此时商店亏损14元.
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2.据调查，某存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元.若自行车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是
A.y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000) B.y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
C.y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000) D.y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
√
因为自行车为x辆，所以电动车为(4 000－x)辆，
存车总收入y＝0.2x＋0.3(4 000－x)＝－0.1x＋1 200.
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3.在某年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x.已知该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y关于x的函数关系式是
A.y＝m(1－x)2 B.y＝m(1＋x)2
C.y＝2m(1－x) D.y＝2m(1＋x)
√
第一次降价后价格为m(1－x)，第二次降价后价格变为y＝m(1－x)(1－x)＝m(1－x)2.
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4.某药厂研制出一种新型疫苗，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为______万元.
由已知得，当投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，
代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，
故函数关系式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125.
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基础巩固
1.一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是
A.y＝2t B.y＝120t
C.y＝2t(t≥0) D.y＝120t(t≥0)
√
因为90 min＝1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120(km/h)，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是y＝120t(t≥0).
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2.小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q＝100－5x，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为
A.15元 　　 B.13元 　　 C.11元 　　 D.10元
√
设每天获利y元，则y＝(100－5x)(x－6)－100＝－5(x－13)2＋145，
由x>0，Q＝100－5x≥0，得0故当x＝13时，每天获利最大.
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3.某品种鲜花进货价5元/支，据市场调查，当销售价格x(元/支)在x∈[5,15]时，每天售出该鲜花支数p(x)＝ ，若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为
A.9元　　 B.11元　 　C.13元 　　D.15元
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4.甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是
A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲先到达终点
√
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5. 某医学团队研制出预防某疾病的新药，服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效.设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为
A.上午10：00 B.中午12：00
C.下午4：00 D.下午6：00
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由图象知，
当0≤x≤4时，设直线y＝k1x，把点(4,320)代入得k1＝80，所以y＝80x；
当41
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当0≤x≤4时，令80x≥240，得3≤x≤4，
当4所以3≤x≤8，
故第二次服药最迟的时间应为8小时后，即下午4：00.
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6.(多选)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
则下列说法正确的是
A.买小包装实惠
B.买大包装实惠
C.卖3小包比卖1大包盈利多
D.卖1大包比卖3小包盈利多
√
型号 小包装 大包装
质量 100克 300克
包装费 0.5元 0.7元
销售价格 3.0元 8.4元
√
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大包装300克8.4元，则等价于100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故A错误，B正确；
卖1大包盈利8.4－0.7－1.8×3＝2.3(元)，卖3小包盈利3×(3－0.5－1.8)＝2.1(元)，
则卖1大包比卖3小包盈利多，故C错误，D正确.
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7.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为
______________________.
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设解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
其中x为每件产品的定价(单位：元)，y为每天售出的件数(单位：件)，
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8. 小明自小不爱数学，成年后还做过数学噩梦，心狂跳不止：梦见数学考试了，水池有个进水管，5小时可注满，池底有一个出水管，8小时可放完满池水.若同时打开进水管和出水管，多少小时可注满空池？“这题也太变态了，你到底想放水还是注水？”小明质疑这类问题的合理性.其实这类放水、注水问题只是个数学模型，用来刻画“增加量－消耗量＝改变量”，这类数量关系可以用于处理现实生活中的大量问题.例如，某仓库从某时刻开始4小时内只进货不出货，在随后的8小时内同时进出货，接着按此进出货速度，不进货，直到把仓
库中的货出完.假设每小时进、出货量是常数，仓库中的货物量y(吨)与时间x(时)之间的部分关系如图，那么从不进货起____小时后该仓库内的货恰好运完.
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由图象可知，在0到4小时进货20吨，故进货速度是每小时5吨，
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9.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示.
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
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由表中数据可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，
设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，
在此情况下的日均销售量为480－40(x－1)＝(520－40x)(桶).
令520－40x>0，则0y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200
＝－40(x－6.5)2＋1 490,0易知，当x＝6.5时，y有最大值.
所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润.
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
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10.经研究发现，学生的注意力与老师的授课时间有关，开始授课时，学生的注意力逐渐集中，到达理想的状态后保持一段时间，随后开始逐渐分散，用f(x)表示学生的注意力，x表示授课时间(单位：分)，实验结果表明f(x)与x有如下关系：
(1)开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中？能维持多长时间？
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由题意得，当0当10≤x≤16时，函数f(x)取得最大值，此时f(x)＝59；
当16所以开始授课后10分钟，学生的注意力最集中，能维持6分钟.
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(2)若讲解某一道数学题需要55的注意力以及10分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题？
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当0解得9.2≤x<10，集中注意力时间共10－9.2＝0.8(分钟)；
当10≤x≤16时，f(x)＝59≥55，集中注意力时间共6分钟；
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综合运用
11.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为
设年平均增长率为x，
则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，
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12.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为
A.3.50分钟
B.3.75分钟
C.4.00分钟
D.4.25分钟
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根据图象，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，
即最佳加工时间为3.75分钟.
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13.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费______元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了____千米.
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设出租车行驶x千米时，付费y元，
当x＝5.6时，y＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元).
由y＝22.6，知x>8，
由8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，
解得x＝9.
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14. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图)，则客车经过___年可使营运的年平均利润最大.
由图得y＝－(x－6)2＋11，
5
故客车经过5年可使营运的年平均利润最大.
拓广探究
15.某信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密的方法是英文的a，b，c，…，z的26个字母(不论大小写)依次对应1,2,3，…，26这26个自然数.
通过变换公式：
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love
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∵明文译成的密文是shxc，
设密文s对应的明文为α，则f(α)＝19，
同理可以确定出h对应的明文为o，x对应的明文为v，c对应的明文为e，
∴原来的明文是love.
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16.荷兰阿斯麦尔公司(ASML)是全球高端光刻机霸主，最新的EUV(极紫外光源)具备7 nm工艺.芯片是手机中的重要部件，除此以外还有如液晶屏、电池等配件.如果某工厂一条手机配件生产线的产量ω(单位：百个)
与生产成本x(单位：百元)满足如下关系：ω(x)＝ 此
外，还需要投入其他成本(如运输、包装成本等)2x百元，已知这种手机配件的市场售价为16元/个(即16百元/百个)，且市场需要始终供不应求.记这条生产线获得的利润为L(x)(单位：百元).
(1)求L(x)的函数表达式；
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L(x)＝16ω(x)－2x－x＝
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(2)当投入的生产成本为多少时，这条生产线获得的利润最大？最大利润是多少？
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所以L(x)max＝L(2)＝74；
因为75>74，
所以当投入的生产成本为300元时，这条生产线获得的利润最大，最大利润为7 500元.
本课结束