2022-2023学年人教A版2019高中数学必修1 第三章　函数的概念与性质 习题课 反比例函数、对勾函数 课件 （75张PPT）

(共75张PPT)
习题课　反比例函数、对勾函数
第三章　函数的概念与性质
学习目标
1.掌握反比例函数和对勾函数的图象和性质.
2.能通过构造函数解决实际问题.
课时对点练
一、反比例函数的图象和性质
二、对勾函数的图象和性质
三、对勾函数的综合运用
随堂演练
内容索引
反比例函数的图象和性质
一
问题1　反比例函数的一般形式是什么？
问题2　反比例函数的图象会过坐标原点吗？
提示　不会，因为x≠0.
　　画出反比例函数y＝ 的图象.
(1)求函数的定义域和值域；
例1
函数的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为{y|y≠0}.
(2)判断函数的单调性和奇偶性.
令y＝f(x)，当k>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，没有单调递增区间，证明如下：
当x>0时， x1，x2∈(0，＋∞)且x1∵k>0，x1>0，x2>0，x1∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
同理当x<0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减.
当k<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，没有单调递减区间(证明略).
f(x)为奇函数.
研究反比例函数的几个方面
(1)函数的定义域和值域可以由图象直接得到.
(2)由图象或者单调性的定义可以判断函数的单调性，但一定要注意两个单调递增(减)区间的连接方法.
(3)由图象或者奇偶性的定义可以判断函数的奇偶性.
(4)函数图象关于(0,0)中心对称.
反思感悟
　　　 作出y＝ (－2≤x<1且x≠0)的图象，并指出其值域和单调区间.
跟踪训练1
由题意知函数y＝ (－2≤x<1且x≠0)的图象为反比例函数图象的一部分，
所以该函数图象如图：
由图象可知，函数y＝ (－2≤x<1且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪(2，＋∞).
单调递减区间为[－2,0)和(0,1)，没有单调递增区间.
对勾函数的图象和性质
二
问题3　观察函数y＝x＋ 解析式的特点，你想到了什么？
提示　学习了幂函数，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行相关的运算，得到了新的函数y＝x＋ .
问题4　大家讨论一下，如何作出该函数的图象？
提示　借助计算机软件，我们绘制出它的图象.
问题5　观察函数图象，你能发现函数图象有什么特点吗？
提示　发现该函数图象介于y＝x和y轴之间，且图象无限接近y＝x和y轴，函数图象像两个勾子一样，故称此类函数为“对勾函数”.
问题6　结合函数的解析式和函数图象，你能得出f(x)＝x＋ 的哪些性质？
提示　(1)定义域：∵x≠0，
(5)最大值、最小值：由函数的值域可知，函数无最大、最小值，但是当x＞0时，函数有最小值为2，当x＜0时，函数有最大值为－2.
(6)对称性：由函数的奇偶性可知，函数图象关于(0,0)成中心对称.
　　探究函数f(x)＝x＋ (a>0)的性质，并画出它的简图(单调性需证明，
其余性质列出即可).
例2
(1)定义域：{x|x≠0}；
(3)奇偶性：奇函数；
所以x1－x2<0,0所以f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2).
因为x1－x2<0，x1x2>a，
所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)其图象如图所示.
延伸探究　当a<0时，探究该函数的性质，并画出函数的简图(单调性需证明，其余性质列出即可).
(1)定义域：{x|x≠0}；
(2)值域：R；
(3)奇偶性：奇函数；
(4)函数f(x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1因为0所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
同理可知，函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递增.
其简图如图所示.
(1)x∈[1,3]，f(x)的最小值是____；
跟踪训练2
2
∵f(x)在[1,3]上单调递增，∴f(x)的最小值为f(1)＝2.
∴最小值为f(1)＝2，
对勾函数的综合运用
三
问题7　应用基本不等式求最值应注意哪些？
提示　一正，二定，三相等.
(1)当a＝4时，求函数f(x)在x∈(0，＋∞)上的最小值；
例3
∴f(x)的最小值为2.
(2)当a>0时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
设f(x)的最小值为g(a)，
求对勾函数的最值问题，可以利用函数的单调性研究，也可以利用基本不等式.
反思感悟
(1)已知x＞0，求y＝ 的最大值，并求此时x的值.
跟踪训练3
(2)已知x≥2，求y＝x＋ 的最小值(提示：利用图象助解).
课堂
小结
1.知识清单：
(1)反比例函数的图象和性质.
(2)对勾函数的图象和性质.
2.方法归纳：分类讨论、数形结合.
3.常见误区：研究函数的性质一定先确定函数的定义域.
随堂演练
1.函数y＝ ，当x>0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是
A.m<3 B.m>3
C.m<－3 D.m>－3
√
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在反比例函数y＝ 中，若k>0，在x>0时，y随x的增大而减小，若k<0，
在x>0时，y随x的增大而增大，所以由题意得m－3<0，m<3.
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2.(多选)已知函数y＝ ，下列结论中正确的是
A.其图象经过点(3,1)
B.其图象分别位于第一、三象限
C.当x>0时，y随x的增大而减小
D.当x>1时，y>3
√
√
√
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反比例函数y＝ ，当x＝3时，y＝1，故A正确；
因为y＝ 分子大于0，所以图象在第一、三象限，故B正确；
反比例函数在第一、三象限上都单调递减，所以C正确；
因为在(0，＋∞) 上，y＝ 单调递减，所以当x>1时，01
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3.已知点P(a，m)，Q(b，n)都在函数 的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是
A.m＋n＜0 B.m＋n＞0
C.m＞n D.m＜n
√
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∵a＜0，
∴P(a，m)在第二象限，
∴m＞0.
∵b＞0，
∴Q(b，n)在第四象限，
∴n＜0.
∴n＜0＜m，即m＞n.
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(0,2)
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∴实数t的取值范围为(0,2).
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基础巩固
A.A＝B B.A＝C
C.B＝C D.A＝B＝C
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2. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数，其图象如图所示，则这个函数的解析式为
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3.函数f(x)＝x＋ 在区间[1,3]上的最大值是
A.3 　　B.5 　　C.4　　 D.
√
由对勾函数的图象的特点可知，x＝2时函数有最小值，x＝1时，函数有最大值为5.
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4.函数f(x)＝x＋ (a>0，x∈R，x≠0)的奇偶性为
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.无法判断
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5.函数g(x)＝x＋ 的单调递减区间为
A.(－2,0)∪(0,2) B.(－2,2)
C.(－2,0)和(0,2) D.(－∞，－2)和(2，＋∞)
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则函数在区间(1，＋∞)上单调递减.
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再向上平移1个单位长度得到的，
∴对称中心为(－1,1).
(－1,1)
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8.在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋a与函数y＝ 的图象有两个公共点，
则实数a的取值范围是 ____________.
a<－2或a>2
函数y＝－x＋a与反比例函数y＝ 的图象有两个公共点，
则方程组有两个解，即方程①有两个不同的解，
Δ＝a2－4>0，a<－2或a>2.
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9.作出函数y＝ 的图象，并写出函数的单调区间和值域.
函数在(－∞，2)和(2，＋∞)上单调递减.
故单调递减区间为(－∞，2)和(2，＋∞)，无单调递增区间.值域为(－∞，1)∪(1，＋∞).
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10.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与(4x＋1)成正比；若在距离车站10 km处建仓库，则y1与y2分别为2万元和8.2万元.记两项费用之和为w.
(1)求w关于x的解析式；
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∵每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，
∵每月库存货物费y2(单位：万元)与(4x＋1)成正比，
∴可设y2＝(4x＋1)k2，
又∵在距离车站10 km处建仓库，则y1与y2分别为2万元和8.2万元，
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(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值.
∴这家公司应该把仓库建在距离车站5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为8.2万元.
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综合运用
11.函数f(x)＝ (x∈R)的值域是
A.(0,1) B.(0,1]
C.[0,1) D.[0,1]
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∵x＜0，
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13.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h的速度送达灾区，已知运送的路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 ，那么这批物资全部到达灾区最少需要
A.5 h 　　B.10 h　　 C.15 h 　　D.20 h
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设这批物资全部到达灾区的时间为t h，
故这批物资全部到达灾区最少需要10 h.
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14.函数f(x)＝x－ 的单调递增区间为_____________________.
画出函数图象如图，可知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞).
(－∞，0)和(0，＋∞)
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拓广探究
15.已知函数f(x)＝ 若存在0＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则x1x2x3x4的取值范围是__________.
(96,100)
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可得函数图象如图所示.
由图可知，当y∈(4,5)时，存在0不妨令此时y＝a，则对于x1，x2满足方程x＋ ＝a，即x2－ax＋4＝0，所以x1x2＝4；对于x3，x4满足方程－x2＋10x－20＝a，即－x2＋10x－20－a＝0，所以x3＋x4＝10，则有x4＝10－x3，
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∴x1x2x3x4＝4x3x4＝4x3(10－x3)＝－4(x3－5)2＋100，
其中x3∈(4,5)，则－4(x3－5)2＋100∈(96,100)，
即x1x2x3x4∈(96,100).
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因为x∈[0,1]，则t＝2x＋1∈[1,3].
由已知性质可知u(t)在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增.
所以f(x)max＝－3，所以值域为[－4，－3].
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(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值.
因为g(x)＝－x－2a为减函数，所以当x∈[0,1]时，g(x)∈[－1－2a，－2a].
因为对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，
所以f(x)的值域是g(x)值域的子集，
本课结束