22.1.4 用待定系数法求二次函数解析式 同步跟踪测试（含答案）

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22.1.4.2 用待定系数法求二次函数解析式
一、选择题
1．二次函数的图象经过（0，3），（﹣2，﹣5），（1，4）三点，则它的解析式为（　　）
A．y=x2+6x+3 B．y=﹣3x2﹣2x+3 C．y=2x2+8x+3 D．y=﹣x2+2x+3
2．已知抛物线经过点（0，4），（1，﹣1），（2，4），那么它的对称轴是直线（　　）
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=3 D．x=﹣3
3．抛物线y=ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3
4．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（　　）
A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1 C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣3
5．根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的解析式为（　　）2-1-c-n-j-y
x … ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣1 ﹣ ﹣2 ﹣ …
A．y=x2﹣x﹣ B．y=x2+x﹣
C．y=﹣x2﹣x+ D．y=﹣x2+x+
6．图（1）是一个横断面为抛 ( http: / / www.21cnjy.com )物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣x2 D．y=x2
7．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x+2 C．y=﹣x2﹣x+1 D．y=﹣x2+x+2
8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（，a）在（　　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题：
9．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为　　 ．21*cnjy*com
10．与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，顶点为（3，1）的二次函数解析式为　　 ．
11．若抛物线y=x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是　　 ．
12．已知二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值1，则a　　b．
13．抛物线y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则此抛物线的解析式为　　 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
14．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象关于原点O（0，0）对称的图象的解析式是　　 ．
15．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式　　．
16．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法中正确的是　　 ．（填写序号）
①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）； ②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；
③抛物线的对称轴是直线；　 　　④在对称轴左侧，y随x增大而增大．
17．已知抛物线y=ax ( http: / / www.21cnjy.com )2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，顶点C到x轴的距离为2，则此抛物线的解析式为　　 ．21·世纪*教育网
18．已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数解析式为　 　．【来源：21cnj*y.co*m】
三、解答题：
19．求出符合条件的二次函数解析式：
（1）二次函数图象经过点（﹣1，0），（1，2），（0，3）；
（2）二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，6），且经过点（﹣2，10）；
（3）二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），与y轴交点的纵坐标为9．
　
20．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．
( http: / / www.21cnjy.com / )
21．已知二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴的交点为（0，﹣2），求此二次函数的解析式．www.21-cn-jy.com
　
22．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C（0，﹣2），过点A、C画直线．www-2-1-cnjy-com
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
23．已知抛物线与x轴交于A、B两点．
（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．
22.1.4.2 用待定系数法求二次函数解析式参考答案
一、选择题
1．二次函数的图象经过（0，3），（﹣2，﹣5），（1，4）三点，则它的解析式为（　D　）
A．y=x2+6x+3 B．y=﹣3x2﹣2x+3 C．y=2x2+8x+3 D．y=﹣x2+2x+3
2．已知抛物线经过点（0，4），（1，﹣1），（2，4），那么它的对称轴是直线（　B　）
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=3 D．x=﹣3
3．抛物线y=ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（　B　）21世纪教育网版权所有
A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3
4．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（　C　）
A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1 C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣3
5．根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的解析式为（　A　）2·1·c·n·j·y
x … ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣1 ﹣ ﹣2 ﹣ …
A．y=x2﹣x﹣ B．y=x2+x﹣
C．y=﹣x2﹣x+ D．y=﹣x2+x+
6．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱 ( http: / / www.21cnjy.com )桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　C　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣x2 D．y=x2
7．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（　D　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x+2 C．y=﹣x2﹣x+1 D．y=﹣x2+x+2
8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（，a）在（　A　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题：
9．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为　y=﹣x2+4x﹣3　．21·cn·jy·com
10．与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，顶点为（3，1）的二次函数解析式为　y=（x﹣3）2+1　．【出处：21教育名师】
11．若抛物线y=x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是　4　．
12．已知二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值1，则a　＞　b．
13．抛物线y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则此抛物线的解析式为　y=﹣x2+2x+3　．
( http: / / www.21cnjy.com / )
14．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象关于原点O（0，0）对称的图象的解析式是　y=﹣x2﹣2x+3　．【版权所有：21教育】
15．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式　y=（x﹣2）2﹣1　．21教育名师原创作品
16．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法中正确的是　①③④　．（填写序号）
①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）； ②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；
③抛物线的对称轴是直线；　 　　④在对称轴左侧，y随x增大而增大．
17．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，顶点C到x轴的距离为2，则此抛物线的解析式为　y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣　．
18．已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数解析式为　y=﹣x2+x或y=x2+x．　．
三、解答题：
19．求出符合条件的二次函数解析式：
（1）二次函数图象经过点（﹣1，0），（1，2），（0，3）；
（2）二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，6），且经过点（﹣2，10）；
（3）二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），与y轴交点的纵坐标为9．
解：（1）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，
根据题意得，解得，
所以二次函数解析式为y=﹣2x2+x+3；
（2）二次函数解析式为y=a（x+3）2+6，
把（﹣2，10）代入得a×（﹣2+3）2+6=10，解得a=4，
所以二次函数解析式为y=4（x+3）2+6；
（3）设二次函数解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
把（0，9）代入得a×1×（﹣3）=9，解得a=﹣3，
所以二次函数解析式为y=﹣3（x+1）（x﹣3）=﹣3x2+6x+9．　
20．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．
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解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0）
设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5），
把（0，3）代入得a×3×（﹣5）=3，解得a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣（x+3）（x﹣5）=﹣x2+x+3．　
21．已知二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴的交点为（0，﹣2），求此二次函数的解析式．21教育网
解：∵二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣5），
把（0，﹣2）代入得a 1 （﹣5）=﹣2，解得a=，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣5）=x2﹣x﹣2．　
22．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C（0，﹣2），过点A、C画直线．21cnjy.com
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长．
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解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（2，0），
∴设该二次函数的解析式为：y=a（x﹣2）（x+1）（a≠0）．
将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0﹣2）（0+1），
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）（x+1），即y=x2﹣x﹣2；
（2）如图．由（1）知，抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2，则C（0，﹣2）．
设OP=x，则PA=PC=x+1，
在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，
解得，x=，即OP=．
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23．已知抛物线与x轴交于A、B两点．
（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．
解:（1）证明：∵m＞0，
∴x=﹣=﹣＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）解：设抛物线与x轴交点为A（x1，0），B（x2，0），
则x1+x2=﹣m＜0，x1 x2=﹣m2＜0，
∴x1与x2异号，
又∵=＞0，
∴OA＞OB，
由（1）知：抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴x1＜0，x2＞0，
∴OA=|x1|=﹣x1 ，
OB=x2，
代入得： =，=，
从而，解得m=2，经检验m=2是原方程的根，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；
（3）解：当x=0时，y=﹣m2 ∴点C（0，﹣ m2），
∵△ABC是直角三角形，∴AB2=AC2+BC2，
∴（x1﹣x2）2=x12+（﹣m2）2+x22+（﹣m2）2
∴﹣2x1 x2=m4 ∴﹣2（﹣m2）=m4， 解得m=，
∴S△ABC=×AB OC=|x1﹣x2| =×2m×m2=．
　
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