1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系 同步测试-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案）

1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系
一、单选题
1．若，分别为平面，的一个法向量，则（ ）．
A． B．与相交但不垂直
C． D．或与重合
2．已知直线的方向向量，平面的一个法向量为，则线面的位置关系是（ ）
A．平行 B．在平面内 C．垂直 D．平行或在平面内
3．如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（ ）
A． B． C． D．
4．在直三棱柱中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是( )
A． B． C． D．
5．已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．设，是两条直线，，分别为直线a，b的方向向量，α，β是两个平面，且，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．若空间两直线与的方向向量分别为和，则两直线与垂直的充要条件为（ ）
A．，，（）
B．存在实数k，使得
C．
D．
8．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（ ）．
A．（1，，4） B．（，1，）
C．（2，，1） D．（1，2，）
二、多选题
9．（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直
B．若直线的方向向量，平面的法向量，则
C．若平面，的法向量分别为，，则
D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
10．已知直线过点，平行于向量，平面过直线与点，则平面的法向量可能是（ ）．
A． B．
C． D．
11．已知点P是平行四边形所在的平面外一点，如果，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．是平面的一个法向量 D．
12．如图，在长方体中，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，，，三点共线
B．当时，
C．当时，平面
D．当时，
三、填空题
13．若为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，已知，则的值为__________．
14．已知直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量，若l⊥α，则m+n=____.
15．在三棱锥中，，，，，则直线SC与BC的位置关系是______.
16．在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于___________.
四、解答题
17．在棱长为1的正方体中，分别是 的中点.
(1)判断向量与 是否共面；
(2)求证：平面.
18．如图所示，在棱长为1的正方体，中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系．
(1)求证：；
(2)若、E、F、四点共面，求证：．
19．已知直线经过点，平行于向量，直线经过点，平行于向量，求与两直线，都平行的平面的一个法向量的坐标．
20．已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，.（1）求证：是平面的法向量；
（2）求平行四边形的面积.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D D C D C C
题号 7 8 9 10 11 12
答案 C B AD ABC ABC ACD
13．3.75
14．-16
15．垂直
16．2
17．(1)因为，所以向量与 共面；
(2)
，
因为，
所以，即，
，
所以，即，
又因为， 平面，
所以平面.
18．（1）由证明；
（2）根据、E、F、四点共面，设求解；
(1)
解：由已知得，，，，
则，，
∴，
∴，
即．
(2)
，，．
设，
由解得，．
所以．
19．由题设，直线、的方向向量分别为、，而，
所以直线、不平行，
设与两直线，都平行的平面的一个法向量，
所以，令，则.
故与两直线，都平行的平面的一个法向量的坐标.
20．（1）∵，
.
∴，，又，∴平面，
∴是平面的法向量.
（2）∵ ，，
∴，
∴，
故， .