2022-2023学年人教A版2019高中数学 必修1 §1.4.2 充要条件 课件（59张PPT）

(共59张PPT)
1.4.2　充要条件
第一章　§1.4　充分条件与必要条件
学习目标
1.理解充要条件的意义.
2.会判断一些简单的充要条件问题.
3.能对充要条件进行证明.
导语
同学们，上节课，我们学习了充分条件与必要条件，让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论，但生活中还有一些实例，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”像这种条件和结论唯一的结构，其实在我们数学上，也有很多类似的问题，让我们一探究竟吧！
课时对点练
一、充要条件
二、充要条件的证明
三、充分不必要、必要不充分、充要条件的应用
随堂演练
内容索引
充要条件
一
问题1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0；
(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集.
提示　不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；
命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；
命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题.
问题2　你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？
提示　首先原命题和逆命题都是成对出现的，不能说单独的一个命题是逆命题.
判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件.
知识梳理
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件.
p q
q p
p q
充要
充要条件的判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件.
注意点：
　　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).
∴p是q的充分不必要条件.
例1
(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
∵－1≤x≤5 x≥－1且x≤5，
∴p是q的充要条件.
(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
由q：(x＋2)2≠y2，
得x＋2≠y且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，
故p是q的必要不充分条件.
(4)p：a是自然数；q：a是正数.
判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.
(3)等价法：即利用p q与q p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法.
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 …
pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性.
反思感悟
　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).
(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；
跟踪训练1
充要条件；
(2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；
必要不充分条件；
(3)p：A∩B＝ ，q：A与B之一为空集；
(4)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
必要不充分条件；
充分不必要条件.
充要条件的证明
二
　　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.
例2
必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根，
∴ac<0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根.
综上，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.
充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性.
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.
反思感悟
跟踪训练2
　　　 求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
当x＝0时，y＝0，函数图象过原点.
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
充分不必要、必要不充分、充要条件的应用
三
　　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
例3
p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
解得m≤3.
又m>0，
所以实数m的取值范围为{m|0延伸探究　
1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
所以A?B.
解得m≥9，
即实数m的取值范围为{m|m≥9}.
2.本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).
故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
反思感悟
应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
　　　在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M，若问题中的a不存在，说明理由.
问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的________？
跟踪训练3
由题意知A＝{x|0≤x≤4}，
若选①，则A是B的真子集，
所以1－a≤0且1＋a≥4(两等号不能同时取得)，
又a>0，解得a≥3，
所以a存在，且a的取值集合M＝{a|a≥3}.
若选②，则B是A的真子集，
所以1－a≥0且1＋a≤4(两等号不能同时取得)，
又a>0，解得0所以a存在，且a的取值集合M＝{a|0若选③，则A＝B，
所以1－a＝0且1＋a＝4，
又a>0，方程组无解，
所以不存在满足条件的a.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)充要条件概念的理解.
(2)充要条件的证明.
(3)充分不必要、必要不充分、充要条件的应用.
2.方法归纳：等价转化.
3.常见误区：条件和结论辨别不清.
随堂演练
1.“x>0”是“x≠0”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
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由“x>0” “x≠0”，反之不一定成立.
因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件.
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2.“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，
则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，
但当x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立.
因此“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的必要不充分条件.
3.“aA.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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4.函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________.
函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，
m＝－2
反之，若m＝－2，
则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称.
课时对点练
1.“1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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基础巩固
设A＝{x|1故“12.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
√
若x＝1，则x2－2x＋1＝0；
若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.故“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件.
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3.设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.
当x≤2时不一定有0≤x≤2，
而当0≤x≤2时一定有x≤2，
∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件.
4.已知a，b是实数，则“a<0，且b<0”是“ab(a－b)>0”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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已知a，b是实数，则若a<0，且b<0，则不一定有ab(a－b)>0，比如当a0，则a－b和ab同号，当a>b>0时满足ab(a－b)>0，当b0，故不能确定a和b的正负.故是既不充分也不必要条件.
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5.(多选)下列选项中正确的是
A.点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在⊙O外的充要条件
B.两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件
C.A∪B＝A是B A的必要不充分条件
D.x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件
√
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6.(多选)使“x∈{x|x≤0或x>2}”成立的一个充分不必要条件是
A.x≥0 B.x<0或x>2
C.x∈{－1,3,5} D.x≤0或x>2
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从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集，只有B，C满足题意.
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7.已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
必要不充分
由两三角形对应角相等 △ABC≌△A1B1C1；
反之由△ABC≌△A1B1C1 ∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.
由x∈B，显然可得x∈A∪B；
反之，由A B，则A∪B＝B，
所以由x∈A∪B可得x∈B，
故x∈B是x∈A∪B的充要条件.
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8.对于集合A，B及元素x，若A B，则x∈B是x∈A∪B的______条件.
充要
9.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
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充分性：因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，
得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，
所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
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10.设命题p： ≤x≤1；命题q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
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由p是q的充分不必要条件，可知A?B，
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综合运用
11.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是
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对于A，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；
对于B，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；
对于C，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；
对于D，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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13.集合A，B之间的关系如图所示，p：a∈ UB，q：a∈A，则p是q的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
由图可知A是B的补集的真子集，则p是q的必要不充分条件.
14.已知“p：x>m＋3或x1
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m≤－7或m≥1
因为p是q成立的必要不充分条件，
所以m＋3≤－4或m≥1，故m≤－7或m≥1.
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拓广探究
15.“已知四边形ABCD且A，B，C，D四点共圆”是“∠A＋∠C＝180°”成立的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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16.求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0.
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(1)充分性：当a＝1时，方程ax2＋2x＋1＝0的实根是x1＝x2＝－1，只有一个负实数根；
当a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实根是x＝－ ；
当a＜0时，方程ax2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4a＞0，
且x1x2＝ ＜0，方程两根一正一负.
所以当a＝1或a≤0时，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根.
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(2)必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根，则
①当a＝0时，x＝－ ，符合题意.
②当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，Δ＝4－4a≥0，解得a≤1；
当a＝1时，方程的解为－1，符合题意；
当a＜1且a≠0时，方程有两个不相等的实数根x1，x2，若方程只有一个负实数根，
则x1x2＝ ＜0，即a＜0.
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所以当关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根时，a＝1或a≤0.
综上，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0.
本课结束