(共57张PPT)
4.2.2 指数函数的图象与性质(一)
第四章 §4.2 指数函数
学习目标
1.掌握指数函数的图象和性质.
2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题.
导语
请同学们口答指数函数的定义和指数函数的解析式的特征.大家有没有用我们昨天学习的方法和你的家长讨论零花钱的事情？一般来说，函数的图象与性质紧密联系，图象可反映函数的性质，所以我们今天学习指数函数的图象和性质.
课时对点练
一、指数函数的图象
二、与指数函数有关的定义域(值域)问题
三、指数函数图象的应用
随堂演练
内容索引
指数函数的图象
一
问题1 用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指
数函数y＝2x与y＝ 的图象.
x －2 －1 0 1 2
y＝2x
y＝
1 2 4
4 2 1
问题2 通过图象，分析y＝2x与y＝ 的性质并完成下列表格.
函数 y＝2x y＝
定义域 _______ _______
值域 _________ _________
单调性 _______ _______
最值 _______ _______
x∈R
x∈R
(0，＋∞)
(0，＋∞)
增函数
减函数
无最值
无最值
奇偶性 _____________ _____________
特殊点 ______ ______
y的变换情况 当x<0时， ； 当x>0时，_____ 当x<0时， ；
当x>0时，______
非奇非偶函数
非奇非偶函数
(0，1)
(0，1)
0
y>1
y>1
0问题3 比一比y＝2x与y＝ 的图象有哪些相同点？有哪些不同点？
提示 相同点：定义域、值域、最值的情况、奇偶性、经过一个共同点；
不同点：单调性、函数值的变化.我们还发现y＝2x与y＝ 这两个底数互
为倒数的函数图象关于y轴对称.
问题4 再选取底数，a＝3，a＝4，a＝ ，a＝ ，在同一个坐标系中画出
相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置和变化趋势，它们有哪些共性？
提示
知识梳理
指数函数的图象和性质
a>1 0图象
性质 定义域 R 值域 __________ (0，＋∞)
性质 最值 _______ 过定点 过定点 ，即x＝ 时，y＝__ 函数值 的变化 当x<0时， ； 当x>0时，_____ 当x>0时， ；
当x<0时，____
单调性 在R上是_______ 在R上是_______
奇偶性 _____________ 对称性 y＝ax与y＝ 的图象关于y轴对称 无最值
(0,1)
0
1
00y>1
y>1
增函数
减函数
非奇非偶函数
(1)函数图象只出现在x轴上方.
(2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0,1).
(3)当0(4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴.
(5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.
注意点：
如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是
A.aB.bC.1D.a例1
√
作直线x＝1，由下到上分别与②，①，④，③相交，所以b解决指数函数图象问题的注意点
(1)熟记当底数a>1和0(2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”.
反思感悟
由于0作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象.
已知0跟踪训练1
√
与指数函数有关的定义域(值域)问题
二
求下列函数的定义域：
(1)y＝23－x；
例2
R
(2)y＝32x＋1；
R
(4) .
{x|x≠0}.
R
定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合.
注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集.
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域时要注意分类讨论.
反思感悟
求函数y＝ 的定义域、值域.
跟踪训练2
函数的定义域为R.
又∵3x>0，∴1＋3x>1，
∴函数的值域为(0,1).
指数函数图象的应用
三
(1)若函数f(x)＝2ax＋m－n(a>0，且a≠1)的图象恒过点(－1,4)，则m＋n等于
A.3 B.1 C.－1 D.－2
例3
√
由函数f(x)＝2ax＋m－n(a>0，且a≠1)的图象恒过(－1,4)，得m－1＝0,
2·am－1－n＝4，
解得m＝1，n＝－2，
∴m＋n＝－1.
(2)要使g(x)＝3x＋1＋t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为
A.t≤－1 B.t<－1
C.t≤－3 D.t≥－3
√
∵函数g(x)＝3x＋1＋t的图象过定点(0,3＋t)，且为增函数，要使g(x)的图象不经过第二象限，则3＋t≤0，解得t≤－3.
与指数函数相关的图象问题
(1)定点问题：令函数解析式中的指数为0，即可求出横坐标，再求纵坐标即可.
(2)平移问题：对于横坐标x满足“左加右减”.
反思感悟
(1)函数f(x)＝2ax＋1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是___________.
跟踪训练3
(－1，－1)
因为y＝ax的图象过定点(0,1)，
所以令x＋1＝0，
即x＝－1，
则f(－1)＝－1，
故f(x)＝2ax＋1－3的图象恒过定点(－1，－1).
(2)已知直线y＝2a与函数y＝|2x－2|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围.
函数y＝|2x－2|的图象如图所示.要使直线y＝2a与该图象有两个公共点，则有0<2a<2，即0课堂
小结
1.知识清单：
(1)指数函数的图象.
(2)指数函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性及过定点.
(3)函数图象的应用.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：形如函数y＝af(x)(a>0且a≠1)过定点的问题，要使f(x)＝0.
随堂演练
1.函数f(x)＝πx与g(x)＝ 的图象关于
A.原点对称 B.x轴对称
C.y轴对称 D.直线y＝－x对称
√
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2.指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则
A.a<0，b<0
B.a<0，b>0
C.01
D.0√
结合指数函数图象的特点可知01.
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3.函数f(x)＝3－ax＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点
A.(－1,2) B.(1,2) C.(－1,1) D.(0,2)
√
∵y＝ax的图象恒过定点(0,1)，
∴令x＋1＝0，即x＝－1，则f(－1)＝2.
故f(x)＝3－ax＋1的图象恒过定点(－1,2).
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4.函数 的定义域为___________.
由x2－1≠0，得x≠±1，
∴函数 的定义域为{x|x≠±1}.
{x|x≠±1}
课时对点练
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基础巩固
1.函数y＝2x＋1的图象是
当x＝0时，y＝2，且函数单调递增.
√
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2.函数 的定义域是
A.R B.{x|x≠1}
C. {x|x≠0} D.{x|x≠0且x≠1}
√
要使 有意义，
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3.函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是
当a>1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a>1，此时两函数的图象大致为选项A.
√
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4. 函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是
A.a>1，b<0 B.a>1，b>0
C.00 D.0√
从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0又当x＝0时，f(x)<1，即a－b<1＝a0，∴－b>0，即b<0.
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5.设函数f(x)＝ 则满足f(x＋1)A.(－∞，0) B.(0，＋∞) C.(－∞，1) D.(0,1)
√
显然函数f(x)在R上单调递减，
∵f(x＋1)∴x＋1>2x，
解得x<1.
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6.(多选)若a>1，－1A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
∵a>1，且－1∴函数的图象如图所示.
故图象过第一、二、三象限.
√
√
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7.函数f(x)＝2·ax－1＋1的图象恒过定点________.
令x－1＝0，得x＝1，又f(1)＝2×1＋1＝3，
所以f(x)的图象恒过定点(1,3).
(1，3)
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8.若指数函数f(x)＝(a2－1)x在R上为减函数，则a的取值范围为_________
___________.
由题意得，
0即110
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9.已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝ ＋2的图象？并画出相应
图象.
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10.画出函数y＝|2x－1|的函数图象，根据图象写出函数的定义域、值域、单调区间和最值.
图象如图所示，定义域为R；值域为{y|y≥0}；单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)；有最小值为0，无最大值.
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综合运用
11.已知函数f(x)＝ 若存在x1，x2，x3(x1＝f(x2)＝f(x3)，则f(x1＋x2＋x3)的取值范围是
A.(0,1] B.[0,1]
C.(－∞，1] D.(－∞，1)
√
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作出f(x)的大致图象如图，交点横坐标为x1，x2，x3，自左向右依次排列，
由图可知，x1，x2关于x＝－1对称，x3>0，即x1＋x2＝－2，则x1＋x2＋x3>－2.
由图象知，当x>－2时，f(x)∈[0,1]，
所以f(x1＋x2＋x3)∈[0,1].
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12.函数f(x)＝ 的图象大致为
由指数函数的图象知B正确.
√
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13.若函数f(x)＝ ＋m－1的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围为
A.m<1 B.m≤1
C.0√
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14.已知实数a，b满足等式 ，给出下列五个关系式：①0②a2
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故①，②，⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③，④.
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拓广探究
15.已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是
√
由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0又因为函数图象过点(0,1＋b)(其中1＋b<0)，所以A项正确.
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16.已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1).
(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；
由图①知f(x)的图象过点(2,0)，(0，－2)，
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(2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；
由图②知f(x)单调递减，所以0又f(0)<0，即a0＋b<0，所以b<－1.
故a的取值范围为(0,1)，
b的取值范围为(－∞，－1).
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(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围.
故m的取值范围为[3，＋∞)∪{0}.
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本课结束(共62张PPT)
4.2.2 指数函数的图象与性质(二)
第四章 §4.2 指数函数
学习目标
1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式.
2.能利用函数的单调性求简单的函数定义域与值域的问题.
课时对点练
一、利用单调性比较大小
二、简单的指数不等式的解法
三、定区间上的值域问题
随堂演练
内容索引
四、指数函数图象和性质的综合运用
利用单调性比较大小
一
(1)1.11.1，1.10.9；
例1
因为y＝1.1x是增函数，1.1>0.9，故1.11.1>1.10.9.
(2)0.1－0.2，0.10.9；
因为y＝0.1x是减函数，－0.2<0.9，故0.1－0.2>0.10.9.
(3)30.1，π0.1；
因为y＝x0.1在(0，＋∞)上单调递增，3<π，故30.1<π0.1.
(4)1.70.1，0.91.1；
因为1.70.1>1.70＝1，0.91.1<0.90＝1，故1.70.1>0.91.1.
(5)0.70.8，0.80.7.
取中间值0.70.7，因为0.70.8<0.70.7<0.80.7，故0.70.8<0.80.7(也可取中间值0.80.8，即0.70.8<0.80.8<0.80.7).
一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断.
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断.
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断.
反思感悟
(1)下列大小关系正确的是
A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4
C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43
跟踪训练1
√
0.43<0.40＝1＝π0＝30<30.4.
(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是
A.aC.b√
∵1.50.6>1.50＝1,0.60.6<0.60＝1，
故1.50.6>0.60.6，
又函数y＝0.6x在R上是减函数，且1.5>0.6，
∴0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6.
即b简单的指数不等式的解法
二
例2
∴3x－1≥－1，∴x≥0，
故原不等式的解集是{x|x≥0}.
(2)已知 0，a≠1)，求x的取值范围.
分情况讨论：①当00，a≠1)在R上是减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，
∴x2－4x－5>0，
解得x<－1或x>5；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，
∴x2－3x＋1∴x2－4x－5<0，解得－1综上所述，当0x的取值范围是{x|x<－1或x>5}；
当a>1时，x的取值范围是{x|－1(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x) f(x)>g(x)(a>1)或f(x)反思感悟
(1)求下列函数的定义域.
跟踪训练2
由2x－1≥0解得x≥0，
(2)不等式23－2x<0.53x－4的解集为________.
原不等式可化为23－2x<24－3x，
因为函数y＝2x是R上的增函数，
所以3－2x<4－3x，解得x<1，则不等式的解集为{x|x<1}.
{x|x<1}
定区间上的值域问题
三
例3
√
关于定区间上的值域问题
(1)求定区间上的值域关键是确定函数的单调性，如果底数中含字母，则分a>1,0(2)特别地，如果是最大值与最小值的和，则不需要讨论，因为无论单调递增还是递减，最值总在端点处取到.
反思感悟
跟踪训练3
√
x2＋1≤4－2x，解得－3≤x≤1，所以2－3≤2x≤2，
指数函数图象和性质的综合运用
四
(1)判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
例4
所以a＝1，所以f(x)＝ ，
该函数是减函数，证明如下：
任取x1，x2∈R，x1 f(x2)－f(x1)＝
＝ .
因为x1所以 <0， >0，
所以f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)所以该函数在定义域R上是减函数.
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围.
由f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，
得f(t2－2t)<－f(2t2－k).
因为f(x)是奇函数，所以f(t2－2t)由(1)知，f(x)是减函数，所以t2－2t>k－2t2，
即3t2－2t－k>0对任意t∈R恒成立，
函数性质的综合应用
(1)解题过程中要关注、体会性质的应用，如果性质应用不充分，会导致解题步骤烦琐或无法求解，如本题中奇偶性、单调性的应用，可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题.
(2)一元二次不等式的恒成立问题，可以结合相应的一元二次函数的图象，转化为等价的条件求解，恒成立问题还可以利用分离参数、转化为最值问题等方法求解.
反思感悟
设a>0，函数f(x)＝ 是定义域为R的偶函数.
(1)求实数a的值；
跟踪训练4
又a>0，所以a＝1.
(2)求f(x)在[0,1]上的值域.
设任意的x1，x2∈[0，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝
因为0≤x1所以 .
又因为x1＋x2>0，所以 ，
所以 ，
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)比较大小.
(2)解不等式、方程.
(3)定区间上的值域问题.
(4)指数函数性质的综合运用.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：研究y＝af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是0随堂演练
1.已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为
A.m>n B.mC.m＝n D.不能确定
√
1
2
3
4
因为函数y＝0.3x在定义域R上是减函数，且0.3m>0.3n，所以m1
2
3
4
A.奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B.偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C.奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D.偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
√
由x∈R且f(－x)＝f(x)知f(x)是偶函数，
1
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A.(－3,0] B.(－3,1]
C.(－∞，－3)∪(－3,0] D.(－∞，－3)∪(－3,1]
√
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4.不等式 的解集为________.
且 ，
所以x2－2x－2即x2－3x＋2<0，
解得1(1,2)
课时对点练
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基础巩固
1.方程42x－1＝16的解是
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3.已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在(0,2)上的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的大致图象是
因为函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在(0,2)上的值域是(1，a2)，又指数函数是单调函数，所以a>1.由底数大于1的指数函数的图象上升，且在x轴上方，可知B正确.
√
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4.函数f(x)＝3－x在[－2,1]上的值域是
√
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5.函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是
A.6 B.1 C.3 D.
√
函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上单调递增，当x＝1时，ymax＝3.
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6.设a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>a>b D.b>c>a
√
因为y＝ (x>0)为增函数，所以a>c.
所以a>c>b.
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7.已知函数f(x)＝ 为奇函数，则n的值为_____.
因为f(x)为定义在R上的奇函数，
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由题意得2x－1－8≥0，即2x－1≥8＝23，
∴x－1≥3，解得x≥4.
[4，＋∞)
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9.比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5<3.2，
∴1.52.5<1.53.2.
(2)0.6－1.2和0.6－1.5；
∵函数y＝0.6x在R上是减函数，－1.2>－1.5，
∴0.6－1.2<0.6－1.5.
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由指数函数的性质知1.50.3>1.50＝1，
又0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2.
(3)1.50.3和0.81.2.
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10.已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x－1)1
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设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，
所以f(x)＝2x，
又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，
因此由g(2x－1)得2x－1>3x，解得x<－1.所以x的取值范围为(－∞，－1).
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综合运用
11.(多选)以下关于数的大小的结论中正确的是
A.1.72.5<1.73 B.0.8－0.1<0.8－0.2
C.1.50.4<0.82.6 D.
√
√
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∵函数y＝1.7x在R上为增函数，2.5<3，
∴1.72.5<1.73，A正确；
∵函数y＝0.8x在R上为减函数，－0.1>－0.2，
∴0.8－0.1<0.8－0.2，B正确；
∵1.50.4>1.50＝1,0.82.6<0.80＝1，
∴1.50.4>0.82.6，C错误；
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∴ ，D错误.
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12.(多选)已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是
A.a＝b＝0 B.a√
如图，观察易知，a√
√
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13.设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，若f(x－2)>0，则x的取值范围是
A.(－∞，0) B.(0,4)
C.(4，＋∞) D.(－∞，0)∪(4，＋∞)
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当x≥0时，令f(x)＝2x－4>0，解得x>2.
又∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴其图象关于y轴对称，∴不等式f(x)>0在R上的解集为(－∞，－2)
∪(2，＋∞).
∴不等式f(x－2)>0等价为x－2∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)，解得x∈(－∞，0)∪(4，＋∞).
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14.函数f(x)＝ (a>0，且a≠1)是R上的减函数，则a的取值
范围是_______.
由题意知f(x)是R上的减函数，
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拓广探究
15.定义运算：a b＝ 则函数f(x)＝3－x 3x的值域为________.
函数f(x)的图象如图，
由图可知f(x)的值域为(0,1].
(0，1]
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16.已知函数f(x)＝2－x.
由题意知f(0)－ ＝1－20＝0.
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(2)若函数h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)，g(x)满足下列条件：
①h(x)为偶函数；
②h(x)≥2且 x∈R使得h(x)＝2；
③g(x)>0且g(x)恒过(0,1)点.
写出一个符合题意的函数g(x)，并说明理由.
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满足题意的函数g(x)＝2x.
证明如下：①因为h(x)＝2x＋2－x，
所以h(－x)＝2－x＋2－(－x)＝2－x＋2x＝h(x)，
所以h(x)＝2x＋2－x为偶函数.
即x＝0时等号成立.
③g(x)＝2x>0，g(x)恒过(0,1)点.
本课结束