2022-2023学年人教A版2019高中数学 必修1 4.3.1 对数的概念 课件（66张PPT）

(共66张PPT)
4.3.1　对数的概念
第四章　§4.3　对数
学习目标
1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.
2.会进行对数式与指数式的互化.
3.会求简单的对数值.
导语
大家阅读课本128页的“阅读与思考”(大约3分钟)，可以发现，对数的出现是基于当时天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展的需要而出现的.经过不断发展，人们发现，对数与指数存在互逆的关系，然而更有意思的是“对数源出于指数”，而对数的发明却先于指数，对数是用来解决指数所不能解决的问题，让我们一起来发现对数与指数的关系吧！
课时对点练
一、对数的概念
二、对数与指数的互相转化
三、对数的计算
随堂演练
内容索引
四、利用对数性质求值
对数的概念
一
问题1　我们知道若2x＝4，则x＝2；若3x＝81，则x＝4；若 ＝128，则
x＝－7等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x＝3，1.11x＝2，10x＝5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？
提示　用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解.
知识梳理
对数的定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中a叫做对数的 ，N叫做 .
底数
真数
x＝logaN
(1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换.
(2)logaN的读法：以a为底N的对数.
注意点：
　　若对数式log(t－2)3有意义，则实数t的取值范围是
A.[2，＋∞) B.(2,3)∪(3，＋∞)
C.(－∞，2) D.(2，＋∞)
例1
√
要使对数式log(t－2)3有意义，
解得t>2，且t≠3.
所以实数t的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞).
关于对数式的范围
反思感悟
解得34.
　　　 在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为
A.(－∞，3] B.(3,4)∪(4，＋∞)
C.(4，＋∞) D.(3,4)
跟踪训练1
√
对数与指数的互相转化
二
问题2　现在你能解指数方程2x＝3，1.11x＝2，10x＝5了吗？
提示　x＝log23；x＝log1.112；x＝log105.
知识梳理
两类特殊对数
(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N.
(2)以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N.
　　将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4；
例2
24＝16.
(2)　　　　 ；
(3)ln 10＝2.303；
e2.303＝10.
(4)43＝64；
log464＝3.
(6)10－3＝0.001.
lg 0.001＝－3.
指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
反思感悟
　　　 下列指数式与对数式互化不正确的一组是
A.100＝1与lg 1＝0 B. 与
C.log39＝ 与 D.log55＝1与51＝5
跟踪训练2
√
因为 化为对数式应为log93＝ ，故C不正确.
对数的计算
三
问题3　你能把20＝1,21＝2，log2x＝log2x化成对数式或指数式吗？
提示　log21＝0；log22＝1； ＝x.
知识梳理
对数的性质
(1)loga1＝ (a>0，且a≠1).
(2)logaa＝ (a>0，且a≠1).
(3)0和负数 .
(4)对数恒等式： ＝ ；logaax＝ (a>0，且a≠1，N>0).
0
没有对数
1
N
x
　　求下列各式的值.
①log981＝____.
例3
设log981＝x，所以9x＝81＝92，
故x＝2，即log981＝2.
2
②log0.41＝____.
设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，
故x＝0，即log0.41＝0.
0
③ln e2＝_____.
设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2.
2
对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解.
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.
②利用幂的运算性质和指数的性质计算.
反思感悟
　　　 求下列各式的值：
(1)log28；
跟踪训练3
设log28＝x，则2x＝8＝23.
∴x＝3.∴log28＝3.
(3)ln e；
ln e＝1.
(4)lg 1.
lg 1＝0.
利用对数性质求值
四
　　求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
例4
∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，
∴x＝51＝5.
(2)log3(lg x)＝1；
∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.
(3)　　　　；
(5)logx16＝－4.
延伸探究　把本例(1)中的“log2(log5x)＝0”改为“log2(log5x)＝1”，求x的值.
因为log2(log5x)＝1，
所以log5x＝2，
则x＝52＝25.
利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算.
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解.
反思感悟
　　　 求下列各式中x的值.
(1) ；
跟踪训练4
(2)logx49＝4；
(3)lg 0.000 01＝x；
由10x＝0.000 01＝10－5，得x＝－5.
(5)log8[log7(log2x)]＝0；
由log8[log7(log2x)]＝0，
得log7(log2x)＝1，即log2x＝7，∴x＝27.
(6)log2[log3(log2x)]＝1.
由log2[log3(log2x)]＝1，
得log3(log2x)＝2，
∴log2x＝9，∴x＝29.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)对数的概念.
(2)自然对数、常用对数.
(3)指数式与对数式的互化.
(4)对数的性质.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围.
随堂演练
1.对数log(a＋3)(5－a)中实数a的取值范围是
A.(－∞，5) B.(－3,5)
C.(－3，－2)∪(－2,5) D.(－3，＋∞)
√
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3
4
要使对数log(a＋3)(5－a)有意义，
1
2
3
4
A. B.
根据对数的定义知选C.
√
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3.已知 ＝c，则有
A.a2b＝c B.a2c＝b
C.bc＝2a D.c2a＝b
√
由题意得(a2)c＝b，即a2c＝b.
1
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4
4.计算：3log22＋2log31－3log77＋3ln 1＝___.
原式＝3×1＋2×0－3×1＋3×0＝0.
0
课时对点练
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基础巩固
1.logab＝1成立的条件是
A.a＝b B.a＝b且b>0
C.a>0，a≠1 D.a>0，a＝b≠1
√
由logab＝1得，
a>0且a＝b≠1.
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2.使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为
√
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3.已知logx16＝2，则x等于
A.4 　　B.±4 　　 C.256 　　 D.2
√
由logx16＝2，得x2＝16＝(±4)2，
又x>0，且x≠1，∴x＝4.
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4.已知　　　　 ，则x等于
A.－8 　　 B.8　　 C.4 　　 D.－4
√
由题意得　　＝81，即 ＝34，则x＝8.
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5.对于a>0且a≠1，下列说法正确的是
①若M＝N，则logaM＝logaN；
②若logaM＝logaN，则M＝N；
③若logaM2＝logaN2，则M＝N；
④若M＝N，则logaM2＝logaN2.
A.①② B.②③④
C.② D.②③
√
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①中，若M，N小于或等于0时，logaM＝logaN不成立；
②正确；
③中，M与N也可能互为相反数；
④中，当M＝N＝0时不正确.
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6.(多选)下列等式正确的有
A.lg(lg 10)＝0 B.lg(ln e)＝0
C.若lg x＝10，则x＝10 D.若ln x＝e，则x＝e2
√
A项，lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A正确；
B项，lg(ln e)＝lg 1＝0，故B正确；
C项，若lg x＝10，则x＝1010，故C错误；
D项，若ln x＝e，则x＝ee，故D错误.
√
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7.若a＝log23，则2a＋2－a＝_____.
∵a＝log23，∴2a＝ ＝3，
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8.若 ，则x＝___.
由题意得 ，
∴ ，
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9.将下列指数式、对数式互化.
(1)35＝243；
log3243＝5.
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(3) ；
27＝128.
(4)log2128＝7.
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10.若 ， ＝m＋2，求 的值.
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∵ ，
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综合运用
11.若 ，则x，y，z之间满足
A.y7＝xz B.y＝x7z
C.y＝7xz D.y＝z7x
√
∴y＝(xz)7＝x7z.
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12.化简 等于
A.14 　　B.0 　　C.1　　 D.6
√
原式＝　　　　　　　　＝4－32－(－2)＋3＝0.
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13.设f(log2x)＝2x(x>0)，则f(2)的值是
A.128 　　 B.16 　　 C.8　　 D.256
√
由log2x＝2可知x＝4，
所以f(2)＝24＝16.
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14.若a＝lg 2，b＝lg 3，则　　　的值为____.
∵a＝lg 2，∴10a＝2.∵b＝lg 3，
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拓广探究
15.若a>0， ＝ ，则 等于
A.2 　　 B.3 　　 C.4 　　D.5
√
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所以x＝3.
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16.若 ，试确定x，y，z
的大小关系.
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由 ＝0，
得 ＝1，log3y＝ ， .
由 ，
得 ，log2x＝ ， .
由 ，
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得 ，log5z＝ ， ，
∵310>215>56，
∴y>x>z.
本课结束