(共57张PPT)
第2课时 换底公式
第四章 4.3.2 对数的运算
学习目标
1.掌握换底公式及其推论.
2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
课时对点练
一、对数的换底公式
二、对数运算性质的综合运用
三、实际问题中的对数运算
随堂演练
内容索引
对数的换底公式
一
问题1 上节课我们学习了对数的运算性质，但对于一些式子，比如log48，log93等式子的化简求值问题还不能做到，你能解决这个问题吗？
问题2 是否对任意的logab都可以表示成logab＝ (a>0，且a≠1；b>0；
c>0，且c≠1)？说出你的理由.
提示 依据当a>0，且a≠1时，ax＝N logaN＝x推导得出.
知识梳理
1.对数换底公式：logab＝ (a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0).
2.对数换底公式的重要推论
(1)logaN＝ (N>0，且N≠1；a>0，且a≠1).
(2) (a>0，且a≠1，b>0).
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1).
(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义.
(2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab
＝ 或logab＝ .
注意点：
(1)计算：(log43＋log83)(log32＋log92)；
例1
(2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值.
方法一 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
方法二 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
延伸探究 若本例(2)条件不变，求log915(用a，b表示).
因为18b＝5，所以log185＝b.
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
反思感悟
(1) 的值是
跟踪训练1
√
方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，
方法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，
对数运算性质的综合运用
二
(1)设3a＝4b＝36，求 的值；
例2
方法一 由3a＝4b＝36，
得a＝log336，b＝log436，
方法二 由3a＝4b＝36，两边取以6为底的对数，得alog63＝blog64＝log636＝2，
令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，
∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，
y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
反思感悟
跟踪训练2
∵3a＝5b＝c，∴c>0，
∴a＝log3c，b＝log5c，
由logc15＝2得c2＝15，
实际问题中的对数运算
三
某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%.若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 ，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为(已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
A.6 B.7 C.8 D.9
例3
√
设至少需要过滤n次，
又n∈N，所以n≥8.
所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求.
关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算.
(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算.
反思感悟
标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况.而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，下列数据
最接近 的是(lg 3≈0.477)
A.10－37 B.10－36 C.10－35 D.10－34
跟踪训练3
√
课堂
小结
1.知识清单：
(1)换底公式.
(2)对数的实际应用.
2.方法归纳：换底公式、转化法.
3.常见误区：要注意对数的换底公式的结构形式，易混淆.
随堂演练
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√
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2.已知2x＝3， ，则x＋2y的值为
A.3 B.8
C.4 D.log48
√
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3.已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36等于
√
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基础巩固
1.化简得log832的值为
√
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2.log29×log34等于
√
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3.已知x，y为正实数，则
A.2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B.2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C.2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D.2lg(xy)＝2lg x·2lg y
√
2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy).故选D.
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4.已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则
A.a＝bc B.b2＝ac
C.c＝ab D.c2＝ab
√
由题意，令log2a＝log3b＝log6c＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝6k，
∴c＝6k＝(2×3)k＝2k×3k＝ab.
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5. 等于
原式=
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6.(多选)若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系正确的有
√
√
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7.若ln 3＝a，则log9e＝_____.
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8.设log23·log36·log6m＝log4(2m＋8)，则实数m＝____.
所以m2＝2m＋8，解得m＝4或m＝－2(负值舍去).
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9.计算下列各式的值：
(1) ；
原式＝log535＋log550－log514＋
＝log553－1＝2.
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(2)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258).
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设xa＝yb＝zc＝k，k>0，则a＝logxk，b＝logyk，c＝logzk.
所以logk(xy)＝logkz，即z＝xy.
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综合运用
11.设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于
√
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∴lg 3＝3plg 2.
∴lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)，
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13.根据有关资料，汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.则下列各数中与
最接近的是
(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
√
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∵汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.
两边取常用对数，可得lg ＝lg 1010－lg 36－lg 230≈10－6×0.48－30×0.30＝－1.88.
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又b＝log74，
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拓广探究
A.4 B.0 C.1 D.2
√
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16.已知logax＋3logxa－logx y＝3(a>1)，若设x＝at，试用a，t表示y.
由换底公式，
所以logay＝(logax)2－3logax＋3.
当x＝at时，logax＝logaat＝t(t≠0)，
所以loga y＝t2－3t＋3.
所以y＝ (t≠0).
本课结束(共56张PPT)
第1课时 对数的运算
第四章 4.3.2 对数的运算
学习目标
1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件.
2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
导语
同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史，人类的祖先，从数手指开始，逐渐积累经验，堆石子、数贝壳、树枝、竹片，而后有刻痕计数、结绳计数等，后来创造文字、数字及计数用具，如算盘、计算器等.从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，再多的手指头也算不过来了，怎么办？比如天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起了重要作用.
课时对点练
一、对数的运算性质
二、对数运算性质的运用
三、利用对数的运算性质化简、求值
随堂演练
内容索引
对数的运算性质
一
问题1 将指数式M＝ap，N＝aq化为对数式，结合指数运算性质MN＝apaq＝ap＋q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)
提示 由M＝ap，N＝aq得p＝logaM，q＝logaN.
由MN＝ap＋q得p＋q＝loga(M·N).
从而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0).
问题2 结合问题1，若 ，又能得到什么结论？
问题3 结合问题1，若Mn＝(ap)n＝anp(n∈R)，又能有何结果？
提示 由Mn＝anp，得logaMn＝np＝nlogaM(n∈R).
知识梳理
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(MN)＝ .
(2) ＝ .
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).
logaM＋logaN
logaM－logaN
(1)性质的逆运算仍然成立.
(2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义.
(3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*.
注意点：
求下列各式的值.
(1)ln e2；
例1
ln e2＝2ln e＝2.
(3)lg 50－lg 5.
对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
反思感悟
求下列各式的值：
(1)log3(27×92)；
跟踪训练1
方法一 log3(27×92)＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7.
方法二 log3(27×92)＝log3(33×34)＝log337＝7log33＝7.
(2)lg 5＋lg 2；
lg 5＋lg 2＝lg(5×2)＝lg 10＝1.
(4)log35－log315.
对数运算性质的运用
二
例2
＝lg 3＋lg 22－1＋lg 2
＝lg 3＋3lg 2－1＝b＋3a－1.
b＋3a－1
用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；
跟踪训练2
lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.
利用对数的运算性质化简、求值
三
计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
例3
原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55
＝2log55＝2.
利用对数运算性质化简求值
(1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式的逆用；
(2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用；
(3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简.
反思感悟
计算下列各式的值：
跟踪训练3
原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)对数的运算性质.
(2)对数运算性质的运用.
(3)利用对数的运算性质化简、求值.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则.
随堂演练
1.若a>0，且a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式：
①(logax)n＝nlogax；
②(logax)n＝logaxn；
1
2
3
4
其中正确的有
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
√
根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知③与⑤正确.
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2.2log510＋log50.25等于
A.0 B.1 C.2 D.4
√
原式＝log5100＋log50.25＝log525＝2.
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∵lg 3＝a，lg 7＝b，
√
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基础巩固
1.log242＋log243＋log244等于
A.1 B.2
C.24 D.
√
原式＝log24(2×3×4)＝log2424＝1.
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2.已知3a＝2，那么log38－2log36用a表示是
A.a－2 B.5a－2
C.3a－(1＋a)2 D.3a－a2
√
因为3a＝2，所以a＝log32，
所以log38－2log36＝log323－2(log32＋1)＝log32－2＝a－2.
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4.下列计算正确的是
A.(a3)2＝a9 B.log26－log23＝1
C. D.log3(－4)2＝2log3(－4)
√
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由题意，根据实数指数幂的运算，可得(a3)2＝a6， ＝a0＝1，所以A，C不正确；
根据对数的化简，可得log3(－4)2＝2log3(－4)，而log3(－4)无意义，所以D不正确.
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5.若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于
∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，
∴由根与系数的关系得lg a＋lg b＝2，
∴lg(ab)＝2，
∴ab＝100.
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6.(多选)已知f(x)＝log5x，则对任意的a，b∈(0，＋∞)，下列关系成立的是
A.f(ab)＝f(a)＋f(b) B.f(ab)＝f(a)f(b)
C. ＝f(a)＋f(b) D. ＝f(a)－f(b)
√
∵f(x)＝log5x，a，b∈(0，＋∞)，
∴f(ab)＝log5(ab)＝log5a＋log5b＝f(a)＋f(b)，
√
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8.设alog34＝2，则4－a＝____.
因为alog34＝2，则log34a＝2，则4a＝32＝9，
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10.计算下列各式的值：
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原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－
＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.
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综合运用
11.如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0的两根为α，β，则α·β的值是
A. B.lg 35
C.lg 7·lg 5 D.35
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由题意知，lg α，lg β是一元二次方程x2＋(lg 7＋lg 5)x＋lg 7·lg 5＝0的两根，
依据根与系数的关系得lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)，lg(α·β)＝lg(7×5)－1，
∴α·β＝ .
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12.已知xlog32＝1，则2x＋2－x的值是
√
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13.已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4(a，b，c，x>0且a，b，c，x≠1)，则logx(abc)等于
x＝a2＝b＝c4，所以(abc)4＝x7，
所以 ，
√
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14.若x满足(log2x)2－log2x2－3＝0，则x＝______.
由题意，方程可化为(log2x)2－2log2x－3＝0.
令t＝log2x，则t2－2t－3＝0，
解得t＝3或t＝－1，
即log2x＝3或log2x＝－1，
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拓广探究
15.已知函数f(x)的定义域为R且满足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(4＋x)，若f(1)＝6，则f(log2128)＋f(log216)等于
A.6 B.0 C.－6 D.－12
√
因为函数f(x)的定义域为R且满足f(－x)＝－f(x)，所以f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)＝－6，
故f(7)＝f(4＋3)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－6，f(4)＝f(0)＝0，
所以f(log2128)＋f(log216)＝f(log227)＋f(log224)＝f(7)＋f(4)＝－6＋0＝－6.
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16.已知lg 2＝a，lg 3＝b.
(1)求lg 72，lg 4.5；
lg 72＝lg(23×32)＝3lg 2＋2lg 3＝3a＋2b；
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(2)若lg x＝a＋b－2，求x的值.
lg x＝a＋b－2＝lg 2＋lg 3－2
本课结束
