2022-2023学年人教A版2019高中数学 必修1 4.4.1 对数函数的概念 课件（55张PPT）

(共55张PPT)
4.4.1　对数函数的概念
第四章　 §4.4　对数函数
学习目标
1.理解对数函数的概念.
2.会求与对数函数有关的定义域问题.
3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.
导语
通过前面的学习，我们知道了“对数源出于指数”，然而对数的发明先于指数，对数的出现是基于当时天文、航海等发展的需要，大家知道，我国在探索太空、大洋等方面取得了很大的成就，比如2020年11月24日，我国成功发射嫦娥五号探测器，12月17日凌晨嫦娥五号携带月球土壤样品安全着陆，大家知道吗？指挥本次月球探索的是一位24岁的小姑娘，同学们好好学习吧，说不定下一个指挥探索别的星球的人就是你哦.
课时对点练
一、对数函数的概念及应用
二、求函数的定义域
三、对数函数模型的应用
随堂演练
内容索引
对数函数的概念及应用
一
问题　我想问一下同学们，今天你向家长要零花钱了吗？构造向家长要零花钱的函数y＝2x.
提示　根据指数与对数的相互转化，我们知道y＝2x可以化为x＝log2y，根据对数的运算，我们便可得到是在第20天和30天获得上述钱数.
x 1 2 3 … 10 …
y 2 4 8 … 1 024 … 1 048 576 1 073 741 824
在学习指数函数时，我们想知道的是，第几天我们能获得多少零花钱，而现在，我们知道的是，当你获得1 024元的时候，是在第10天，同学们可以大胆猜测一下，你在第几天可以获得1 048 576元和1 073 741 824元？
知识梳理
一般地，函数 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 .
y＝logax(a>0，且a≠1)
(0，＋∞)
(1)对数函数的系数为1.
(2)真数只能是一个x.
(3)底数与指数函数的范围相同.
(4)对于函数y＝2log2x等这一类的函数，根据对数的运算法则，它可以化为对数函数，因为它与对数函数 有相同的定义域和对
应关系，故函数相等.
注意点：
(1)给出下列函数：
① ；②y＝log3(x－1)；
③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx.
其中是对数函数的有
A.1个 　　B.2个 　　C.3个 　　 D.4个
例1
√
只有④满足对数函数的定义.
(2)已知对数函数f(x)的图象过点P(8,3)，则　　 ＝_____.
设对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
∵f(x)的图象过点P(8,3)，
∴3＝loga8，∴a3＝8，a＝2.
∴f(x)＝log2x，
－5
判断一个函数是否为对数函数的方法
判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数.
(3)对数的真数仅有自变量x.
反思感悟
(1)下列函数是对数函数的是______(填序号).
①y＝loga(5＋x)(a>0且a≠1)；② ；
③y＝log3(－x)；④y＝ (x>0且x≠1).
跟踪训练1
②
①和③中自变量不是x，所以不是对数函数，④中底数是x，不是常数；
②符合对数函数的特征，所以是对数函数.
设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
求函数的定义域
二
例2
所以函数的定义域为(－1,1).
(－1,1)
求对数型函数的定义域需注意：
(1)真数大于0.
(2)对数出现在分母上时，真数不能为1.
(3)底数上含有自变量时，大于零且不等于1.
反思感悟
跟踪训练2
(－1,0)∪(0,3]
对数函数模型的应用
三
　　某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励.记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元).
(1)写出奖金y关于销售利润x的解析式；
例3
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，
即log5(x－9)＝2，
∴x－9＝52，解得x＝34.
∴老江的销售利润是34万元.
利用指数、对数函数解决应用问题
(1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围；
(2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax；
(3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算.
反思感悟
　　　 我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农(Shannon)公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信
道中，计算最大信息传送速率C的公式 ，其中W是信道
带宽(赫兹)，S是信道内所传信号的平均功率(瓦)，N是信道内部的高斯噪
声功率(瓦)，其中 叫做信噪比.根据此公式，在不改变W的前提下，将信
噪比从99提升至λ，使得C大约增加了60%，则λ的值大约为
(参考数据：100.2≈1.58)
A.1 559 　　B.3 943 　　 C.1 579 　　D.2 512
跟踪训练3
√
∴λ≈1 579.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)对数函数的概念和定义域.
(2)对数函数模型的简单应用.
2.方法归纳：待定系数法，转化法.
3.常见误区：易忽视对数函数底数有限制条件.
随堂演练
1.下列函数是对数函数的是
A.y＝log2x B.y＝ln(x＋1)
C.y＝logxe D.y＝logxx
√
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由对数函数的特征可得只有A选项符合.
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2.函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是
A.[1，＋∞) B.(1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(－∞，1]
√
由x－1>0，得x>1.
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3.某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为
A.300只 　　 B.400只　　 C.500只 　　 D.600只
√
由题意，知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，
则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.
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设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，∵loga9＝2，
∴a2＝9，∴a＝3(a＝－3舍去)，
∴f(x)＝log3x，
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基础巩固
1.函数y＝log(a－3)(7－a)中，实数a的取值范围是
A.(－∞，7) B.(3,7)
C.(3,4)∪(4,7) D.(3，＋∞)
√
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2.(多选)下列函数表达式中，是对数函数的有
A.y＝logex B.
C.y＝log4x2 D.y＝log2(x＋1)
√
A，B项中的函数是对数函数；
C，D项中的真数不是x，故不是对数函数.
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3.已知函数f(x)＝ 的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则
M∩N等于
A.{x|x>－1} B.{x|x<1}
C.{x|－1√
∵M＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，
N＝{x|1＋x>0}＝{x|x>－1}，
∴M∩N＝{x|－11
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4.已知对数函数的图象过点M(9，－2)，则此对数函数的解析式为
A.y＝log2x B.y＝log3x
C. D.
设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，
∵对数函数的图象过点M(9，－2)，∴loga9＝－2，
√
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5.设函数f(x)＝ 则f(f(10))的值为
A.lg 101 B.1
C.2 D.0
√
f(f(10))＝f(lg 10)＝f(1)＝12＋1＝2.
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6.“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是
A.y＝log1.05x B.y＝log1.005x
C.y＝log0.95x D.y＝log0.995x
√
由题意得x＝(1＋5‰)y＝1.005y，化为对数函数得y＝log1.005x.
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7.函数f(x)＝logax＋a2－2a－3为对数函数，则a＝____.
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8.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元.若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为______万元.
由题意得5＝2log4x－2，
即7＝log2x，得x＝128.
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9.求下列函数的定义域：
(1)y＝log5(1－x)；
要使函数式有意义，需1－x>0，
解得x<1，
所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x<1}.
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(2)y＝log(3x－1)5；
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解得x<4，且x≠3，
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10.已知函数f(x)＝lg(x＋1)－lg(1－x).
(1)求函数f(x)的定义域；
故函数f(x)的定义域为(－1,1).
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由(1)知函数的定义域为(－1,1)，关于原点对称.
因为f(－x)＝lg(1－x)－lg(1＋x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数.
(2)判断函数f(x)的奇偶性.
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综合运用
11.函数y＝ 的定义域为
A.(－∞，2) B.(2，＋∞)
C.(2,3)∪(3，＋∞) D.(2,4)∪(4，＋∞)
√
解得x>2，且x≠3，即函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞).
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12.下列函数相等的是
A.y＝log3x2与y＝2log3x
B.y＝lg 10x与y＝10lg x
C.y＝log3x2与y＝2log3|x|
D.y＝lg x与y＝ln x
√
由函数的三要素可知，只有C成立.
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设f(x)＝logax(a>0且a≠1).
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∴
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14.函数f(x)＝ 的定义域为R，则实数k的取值范围是______.
[0,3)
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依题意，得2kx2－kx＋ >0的解集为R，
即不等式2kx2－kx＋ >0恒成立，
当k＝0时， >0恒成立，∴k＝0满足条件；
解得0综上，k的取值范围是[0,3).
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拓广探究
15.设函数 ，则f(10)的值是
A.1 B.－1
C.10 D.
√
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16.已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1).当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围.
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设t(x)＝3－ax，
∵a>0，且a≠1，
∴t(x)＝3－ax为减函数，
则当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a.
∵当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，
即当x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立.
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