(共55张PPT)
4.4.2 对数函数的图象和性质(二)
第四章 §4.4 对数函数
学习目标
1.进一步掌握对数函数的图象和性质.
2.利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题.
3.了解反函数的概念和图象特点.
课时对点练
一、与对数函数有关的定义域问题
二、与对数函数有关的综合性问题
三、反函数
随堂演练
内容索引
与对数函数有关的定义域问题
一
求下列函数的定义域：
例1
要使函数式有意义，则lg(2－x)≥0，
故函数的定义域为(－∞，1].
要使函数式有意义，则log3(3x－2)≠0，
解得x<4，且x≠3.
故函数的定义域为(－∞，3)∪(3，4).
(1)对数函数的真数大于0.
(2)求定义域的常用方法是解不等式(组)，有时在解不等式时，还要考虑函数的单调性.
(3)有时求定义域比较特殊，其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉，每去掉一层对数符号都要考虑函数的单调性，最后求出x的取值范围.
反思感悟
求下列函数的定义域：
跟踪训练1
与对数函数有关的综合性问题
二
例2
已知函数f(x)＝log2(x＋1)－2.
(1)若f(x)>0，求x的取值范围；
函数f(x)＝log2(x＋1)－2，
∵f(x)>0，即log2(x＋1)－2>0，
∴log2(x＋1)>2，∴x＋1>4，
∴x>3.∴x的取值范围是(3，＋∞).
(2)若x∈(－1，3]，求f(x)的值域.
∵x∈(－1，3]，∴x＋1∈(0，4]，
∴log2(x＋1)∈(－∞，2]，
∴log2(x＋1)－2∈(－∞，0].
∴f(x)的值域为(－∞，0].
求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解.
反思感悟
已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋ln(x－1)的图象经过点(3，3ln 2).
(1)求a的值，及f(x)的定义域；
跟踪训练2
由题意可得ln(3a＋1)＋ln(3－1)＝3ln 2，
即ln(3a＋1)＝2ln 2，所以3a＋1＝4，
解得a＝1，
则f(x)＝ln(x＋1)＋ln(x－1).
所以f(x)的定义域为(1，＋∞).
由(1)可得f(x)＝ln(x＋1)＋ln(x－1)＝ln(x2－1)，x＞1，
不等式f(x)≤ln(2x)可化为ln(x2－1)≤ln(2x)，
因为y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，
(2)求关于x的不等式f(x)≤ln(2x)的解集.
反函数
三
问题 在同一坐标系下，画出函数y＝2x与y＝log2x的图象，观察两函数图象的关系.
提示
知识梳理
反函数：指数函数 (a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.它们的定义域与值域正好互换.
y＝ax
若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(f(2))的值为
A.16 B.0 C.1 D.2
例3
√
函数y＝2x的反函数是y＝log2x，
即f(x)＝log2x.
∴f(f(2))＝f(log22)＝f(1)＝log21＝0.
反思感悟
互为反函数的函数的性质
(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数.
(2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换.
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.
跟踪训练3
所以反函数的定义域为x∈[－1，4].
√
课堂
小结
1.知识清单：
(1)利用对数函数的单调性求函数的定义域.
(2)求简单对数的值域、最值、奇偶性问题.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：求对数型函数的定义域时，有时需求几部分的交集.
随堂演练
A.(0，2) B.(0，2]
C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)
√
1
2
3
4
∴函数f(x)的定义域为(2，＋∞).
2.函数y＝x＋log2x(x≥1)的值域为
A.(1，＋∞) B.(－∞，1)
C.[1，＋∞) D.[－1，＋∞)
√
1
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4
√
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4
由题意得f(x)在[0，1]上单调递增或单调递减，
∴f(x)的最大值或最小值在端点处取得，
即f(0)＋f(1)＝a，
1
2
3
4
由题意得f(x)＝logax(a>0，且a≠1，x>0)，
课时对点练
1.已知函数f(x)＝log2x，若函数g(x)是f(x)的反函数，则f(g(2))等于
A.1 B.2 C.3 D.4
√
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基础巩固
∵g(x)是f(x)的反函数，∴g(x)＝2x，∴g(2)＝22＝4，则f(g(2))＝f(4)＝log24＝2.
√
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当x＝10a时，有y＝lg(10a)＝1＋lg a＝1＋b，所以点(10a，1－b)不在此函数的图象上，B不正确；
当x＝a2时，有y＝lg a2＝2lg a＝2b，所以点(a2，2b)在此函数的图象上，D正确.
√
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4.设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则当x<0时，f(x)的解析式为
A.－log2x B.log2(－x)
C.－log2(－x) D.logx2
√
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当x<0时，－x>0，f(－x)＝log2(－x).
又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－log2(－x).
5.某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
(参考数据：lg 1.08≈0.033，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
A.2020年 B.2021年 C.2022年 D.2023年
√
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√
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(0，1)∪(1，2]
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4
∵a>1，∴f(x)＝logax在[a，2a]上单调递增，
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9.已知f(x)＝lg(2＋x)＋lg(2－x).
(1)求函数f(x)的定义域；
所以函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}.
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(2)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；
f(x)为偶函数，证明如下：
因为函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}，关于原点对称，
又f(－x)＝lg[2＋(－x)]＋lg[2－(－x)]＝lg(2－x)＋lg(2＋x)＝f(x)，
所以函数f(x)＝lg(2＋x)＋lg(2－x)为偶函数.
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函数f(x)的定义域是R，
f(－x)＝log2[1＋(－x)2]＝log2(1＋x2)＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数.
10.已知函数f(x)＝log2(1＋x2).
求证：(1)函数f(x)是偶函数；
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(2)函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增.
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设x1，x2为区间(0，＋∞)内的任意两个实数，且x1
所以f(x1)√
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综合运用
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12.函数f(x)＝lg|x|为
A.奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
B.奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
C.偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
D.偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
√
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已知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以它是偶函数；
当x>0时，f(x)＝lg x在区间(0，＋∞)上单调递增，又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上单调递减.
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√
∴f(x)为奇函数.
14.如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y＝logax(a>1)的图象上，则实数a的值为________.
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设B(x，2logax)，∵BC平行于x轴，∴C(x′，2logax)，即logax′＝2logax，∴x′＝x2，
∴正方形ABCD的边长＝|BC|＝x2－x＝2，解得x＝2.
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拓广探究
15.已知f(x)＝|log3x|，若f(a)>f(2)，则a的取值范围为__________________.
作出函数f(x)的图象，如图所示，
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16.已知函数f(x)＝ 的图象关于原点对称，其中a为常数.
(1)求a的值；
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∵函数f(x)的图象关于原点对称，
∴函数f(x)的定义域关于原点对称，
∴(x－1)(1－ax)>0，
令(x－1)(1－ax)＝0，
经验证，a＝－1满足题意.
又当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋ ∴m≥－1.
即实数m的取值范围是[－1，＋∞).
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(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋ ∵f(x)＋ ＝ ＋ ＝ ，
∴当x>1时， <－1，
本课结束(共69张PPT)
4.4.2 对数函数的图象和性质(一)
第四章 §4.4 对数函数
学习目标
1.初步掌握对数函数的图象和性质.
2.会类比指数函数研究对数函数的性质.
3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.
导语
同学们，还记得我们是如何研究指数函数的吗？实际上，研究对数函数的思路和研究指数函数的思路是一致的，我们可以用类比的方法来研究对数函数.请同学们看下面的问题1.
课时对点练
一、对数函数的图象和性质
二、利用单调性比较对数值的大小
三、利用单调性解对数不等式
随堂演练
内容索引
对数函数的图象和性质
一
问题1 请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一坐标系下画出对数函数y＝log2x和 的函数图象.
提示 描点、连线.
x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 …
y＝log2x … …
… …
－2 －1 0 1 2 3 4 5
2 1 0 －1 －2 －3 －4 －5
问题2 通过观察函数y＝log2x和 的图象，分析性质，并完成下表：
函数 y＝log2x
定义域 _____________ _____________
值域 ____ ____
单调性 ________ ________
最值 ________ ________
x∈(0，＋∞)
x∈(0，＋∞)
增函数
减函数
无最值
无最值
R
R
奇偶性 _____________ _____________
特殊点 _____ _____
y的变 化情况 当01时，_____ 当0当x>1时，_____
对称性 y＝log2x和 的图象关于x轴对称 非奇非偶函数
非奇非偶函数
(1,0)
(1,0)
y<0
y>0
y>0
y<0
问题3 为了更好地研究对数函数的性质，我们再选取底数a＝3,4, 你
能在同一坐标系下作出它们的函数图象吗？
提示
知识梳理
对数函数的图象和性质
y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0图象
定义域 __________ 值域 R (0，＋∞)
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
最值 _______________ 奇偶性 ______________ 共点性 图象过定点 ，即x＝1时，y＝0 函数值 特点 当x∈(0,1)时，y∈ ； 当x∈[1,＋∞)时，y∈_________ 当x∈(0,1)时,y∈ ； 当x∈[1,＋∞)时，y∈_______ 对称性 函数y＝logax与 的图象关于 对称 无最大、最小值
非奇非偶函数
(1,0)
(－∞，0)
[0，＋∞)
(0，＋∞)
(－∞,0]
x轴
(1)函数图象只出现在y轴右侧.
(2)对任意底数a，当x＝1时，y＝0，故过定点(1,0).
(3)当0(4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴.
(5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
注意点：
(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则
A.0B.0C.a>b>1
D.b>a>1
例1
作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0√
(2)若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b＝____，c＝_____.
∵函数的图象恒过定点(3,2)，
∴将(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c，
得2＝loga(3＋b)＋c.
又当a>0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，
∴c＝2,3＋b＝1，∴b＝－2，c＝2.
－2 2
(3)已知f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象.
因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，
所以函数f(x)＝log5|x|的图象如图所示.
延伸探究
1.在本例中，若条件不变，试画出函数g(x)＝loga|x－1|的图象.
因为f(x)＝log5|x|，所以g(x)＝log5|x－1|，
如图，g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的.
2.在本例中，若条件不变，试画出函数h(x)＝|logax|的图象.
因为a＝5，所以h(x)＝|log5x|.h(x)的图象如图中实线部分所示.
对数型函数图象的变换方法
(1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x>0)的图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称.
(2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可.
(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律.
(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称.
反思感悟
(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为
跟踪训练1
√
∵函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)是偶函数，
∴f(x)的图象关于y轴对称，
当x>0时，f(x)＝logax＋1单调递增；
当x<0时，f(x)＝loga(－x)＋1单调递减，
又∵图象过(1,1)，(－1,1)两点，
结合选项可知选C.
(2)画出函数y＝|log2(x＋1)|的图象，并写出函数的值域及单调区间.
函数y＝|log2(x＋1)|的图象如图所示.
由图象知，其值域为[0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0]，单调递增区间是(0，＋∞).
利用单调性比较对数值的大小
二
比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；
例2
因为y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，1.9<2，
所以log31.9(2)log23，log0.32；
因为log23>log21＝0，log0.32所以log23>log0.32.
(3)logaπ，loga3.14(a>0，且a≠1)；
当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，
则有logaπ>loga3.14；
当0则有logaπ综上所述，当a>1时，logaπ>loga3.14；
当0(4)log50.4，log60.4.
在同一直角坐标系中，作出y＝log5x，y＝log6x的图象，再作出直线x＝0.4(图略)，观察图象可得log50.4比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同，找中间量.
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
反思感悟
比较大小：
(1)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)；
跟踪训练2
当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又5.1<5.9，所以loga5.1当0又5.1<5.9，所以loga5.1>loga5.9.
综上，当a>1时，loga5.1当0loga5.9.
利用单调性解对数不等式
三
解下列关于x的不等式：
(1) ；
例3
所以原不等式的解集为{x|0(2)loga(2x－5)>loga(x－1)；
综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；
对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解.
(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.
反思感悟
(1)求满足不等式log3x<1的x的取值集合；
跟踪训练3
∵log3x<1＝log33，
又函数y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数，
∴x的取值集合为{x|0(2)已知log0.7(2x)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
解得x>1.
∴x的取值范围是(1，＋∞).
课堂
小结
1.知识清单：
(1)对数函数的图象及性质.
(2)利用对数函数的图象及性质比较大小.
(3)利用单调性解对数不等式.
2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法.
3.常见误区：作对数函数图象时易忽视底数a>1与0随堂演练
1.函数y＝loga(x－1)(01
2
3
4
∵0又函数y＝loga(x－1)的图象是由y＝logax的图象向右平移1个单位长度得到的，故A正确.
√
1
2
3
4
2.若a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
√
∵a＝20.2>1>b＝log43.2>0>c＝－1，
∴a>b>c.
1
2
3
4
3.不等式 的解集为
√
1
2
3
4
4.若 ，则实数a的取值范围是__________________.
当a>1时，满足条件；
课时对点练
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基础巩固
1. 函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是
A.1C.c√
令函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx取同样的函数值1，得到的自变量的值恰好分别是a，b，c，d.直线y＝1从左到右依次与上述四个函数的图象交于A(c，1)，B(d，1)，C(a，1)，D(b，1)(图略)，从而得出c1，b>1，d<1，c<1，∴c1
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2.若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是
A.(－∞，7] B.(2,7]
C.[7，＋∞) D.(2，＋∞)
√
由lg(2x－4)≤1，得0<2x－4≤10，即21
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3.设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则
A.bC.c√
∵a＝log37，∴1∵b＝21.1，∴b>2.
∵c＝0.83.1，∴01
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4.函数f(x)＝logax(0A.0 B.1 C.2 D.a
√
∵0∴f(x)＝logax在[a2，a]上单调递减，
∴f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2.
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5.函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是
√
由f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，且f(－x)＝lg(|－x|－1)＝lg(|x|－1)＝f(x)，得f(x)是偶函数，由此知C，D错误；
又当x>1时，f(x)＝lg(x－1)在(1，＋∞)上单调递增，所以B正确.
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6.(多选)已知a>0，b>0，且ab＝1，a≠1，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx在同一坐标系中的图象可能是
∵g(x)＝－logbx＝ ＝logax，
∴f(x)和g(x)的单调性相同，
结合选项可知A，B正确.
√
√
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7.函数y＝loga(x－4)＋2(a>0且a≠1)恒过定点_______.
令x－4＝1得x＝5，此时y＝loga1＋2＝2，
所以函数y＝loga(x－4)＋2恒过定点(5,2).
(5,2)
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8.若正实数x，y满足x＋y＝1，则log2x＋log2y的最大值为_____.
－2
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9.比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2；
因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，
又0.3<2，所以ln 0.31
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(2)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)；
当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又3.1<5.2，所以loga3.1当0又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2.
综上所述，当a>1时，loga3.1当0loga5.2.
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即log30.2(3)log30.2，log40.2；
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因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，又π>3，
所以log3π>log33＝1.
同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.
(4)log3π，logπ3.
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10.已知f(x)＝|lg x|，且 >a>b>1，试借助图象比较f(a)，f(b)，f(c)的大小.
先作出函数y＝lg x的图象，再将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，于是得f(x)＝|lg x|的图象(如图)，由图象可知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.
∴f(c)>f(a)>f(b).
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综合运用
11.已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是
A.x2C.x1√
分别作出这三个函数的大致图象，如图所示.
由图可知，x21
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12.若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是
由f(x)的图象可知0∴g(x)的图象应为D.
√
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13.设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系是
A.f(a＋1)C.f(a＋1)≥f(b＋2) D.f(a＋1)>f(b＋2)
√
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因为函数f(x)是偶函数，所以b＝0，
又函数在(－∞，0)上单调递增，所以函数在(0，＋∞)上单调递减，则0因为f(a＋1)＝loga|a＋1|，f(b＋2)＝loga2，
且1所以f(a＋1)>f(b＋2).
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14.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增， ＝0，
则不等式 的解集为__________________.
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∵f(x)是R上的偶函数，
∴它的图象关于y轴对称.
∵f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)在(－∞，0]上单调递减，
∴ 或 ，
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拓广探究
15.已知f(x)＝ 的值域为R，那么实数a的取值范围是
________.
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要使函数f(x)的值域为R，
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16.若不等式x2－logmx<0在 内恒成立，求实数m的取值范围.
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由x2－logmx<0，得x21
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