2022-2023学年人教A版2019高中数学 必修1 4.5.1 函数的零点与方程的解 课件（66张PPT）

(共66张PPT)
4.5.1　函数的零点与方程的解
第四章　 §4.5 函数的应用(二)
学习目标
1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.
2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.
3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.
导语
同学们，我国古代数学家对部分方程的求解问题给出了比较系统的求解方法，比如：大约在公元50～100年间编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程的具体求解方法，11世纪的时候，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法，13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次方程正解的方法，今天，让我们站在这些数学巨人的肩上，来探究方程的解与函数零点的关系吧.
课时对点练
一、函数的零点与方程的解
二、函数零点存在定理
三、函数零点个数的问题
随堂演练
内容索引
函数的零点与方程的解
一
问题1　观察下列三组方程与函数：
方程 函数
x2－2x－3＝0 y＝x2－2x－3
x2－2x＋1＝0 y＝x2－2x＋1
x2－2x＋3＝0 y＝x2－2x＋3
利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系.
提示　方程x2－2x－3＝0的根为－1,3，函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于点(－1,0)，(3,0)；
x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为1，函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有唯一交点(1,0)；
x2－2x＋3＝0没有实根，函数y＝x2－2x＋3的图象与x轴无交点.
问题2　问题1中的函数的零点是函数图象与x轴的交点坐标吗？
提示　不是，零点不是点，零点是函数图象与x轴的交点的横坐标.
1.概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系：
知识梳理
f(x)＝0
x轴
f(x)=0
(1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标.
(2)求零点可转化为求对应方程的解.
(3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解.
注意点：
例1
√
√
探究函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
反思感悟
求下列函数的零点：
跟踪训练1
当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3(x＝1舍去)；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
(2)f(x)＝(lg x)2－lg x.
令(lg x)2－lg x＝0，则lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10，
∴函数f(x)的零点是1,10.
函数零点存在定理
二
问题3　探究函数y＝x2＋4x－5的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况，并说明函数图象在零点附近有什么变化规律？
函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，且有
，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内 有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
知识梳理
连续不断
f(a)f(b)<0
至少
f(c)＝0
(1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且 .
(2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，__________是函数有零点的充分不必要条件.
(3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点.
注意点：
f(a)f(b)<0
f(a)·f(b)<0
例2
(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的是
A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点
B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点
C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点
D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点
√
√
√
由题知f(0)f(1)<0，
所以根据函数零点存在定理可得，f(x)在区间(0,1)上一定有零点，
又f(1)f(2)>0，
因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点.
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)
内必有零点.
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
反思感悟
跟踪训练2
A.(0,1) B.(1,10)
C.(10,100) D.(100，＋∞)
√
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在定义域内单调递增，
∴在(1,10)内，函数f(x)存在零点.
函数零点个数的问题
三
问题4　你现在能说出问题1中的三个函数的零点的个数吗？是怎么判断的？
提示　第一个函数有两个零点，第二个函数有一个零点，第三个函数没有零点.可以直接求解或利用二次函数的判别式判断个数，对于一般的函数可利用函数图象判断与x轴的交点个数.
例3
判断下列函数的零点的个数.
即f(x)零点的个数为0.
(2)f(x)＝ln x＋x2－3.
在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点.
从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数f(x)＝ln x＋x2－3有一个零点.
方法二　由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
所以f(1)f(2)<0，
方法一　函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，
所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点的个数.
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是连续的，
所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，所以零点只有一个.
反思感悟
判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程的解，转化为解方程，有几个不同的实数解就有几个零点.
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.
(3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)内零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.
跟踪训练3
√
令y＝|f(x)|－1＝0，得|f(x)|＝1，
即f(x)＝1或f(x)＝－1.
当x＞0时，由ln x＝1或ln x＝－1，
当x≤0时，由kx＋2＝1或kx＋2＝－1，
则函数y＝|f(x)|－1的零点个数是4.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)函数的零点的定义.
(2)函数的零点与方程的解的关系.
(3)函数零点存在定理.
(4)函数零点个数的判断.
2.方法归纳：定理法、方程法、数形结合法.
3.常见误区：零点理解成点；零点个数问题不能转化成函数图象交点个数的问题.
随堂演练
1.函数f(x)＝log2x的零点是
A.1 B.2 C.3 D.4
√
1
2
3
4
令f(x)＝log2x＝0，解得x＝1.
√
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2
3
4
易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
f(1)＝2－1＝1>0，
3.对于函数f(x)，若f(－1)f(3)<0，则
A.方程f(x)＝0一定有一实数解
B.方程f(x)＝0一定无实数解
C.方程f(x)＝0一定有两实根
D.方程f(x)＝0可能无实数解
√
1
2
3
4
∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管有f(－1)f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1，3)上可能无实数解.
1
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4
∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
4.函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有____个.
3
课时对点练
1.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是
A.若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B.若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C.若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
D.若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
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基础巩固
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对于选项A，可能存在；
对于选项B，必存在但不一定唯一；
选项D显然不成立.
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令y＝0，得选项A和C中的函数的零点均为1和－1；
只有选项D中函数无零点.
3.函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间
A.(5,6) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2)
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f(3)＝log33－8＋2×3＝－1<0，
f(4)＝log34－8＋2×4＝log34>0.
又因为f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
所以其零点一定位于区间(3,4).
4.已知f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于
A.0 B.1
C.－1 D.不能确定
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因为奇函数的图象关于原点对称，
所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.
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当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.
综上所述，函数f(x)的零点为0.
6.(多选)下列图象表示的函数中有两个零点的有
√
√
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根据零点的定义，零点是函数图象与x轴的交点的横坐标，
选项A中函数图象与x轴没有交点，即函数没有零点；
选项B中函数图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点；
选项C，D中函数图象与x轴有两个交点，即函数有两个零点.
7.已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1
的零点是____________.
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由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2,3，
即为函数g(x)的零点.
8.请写出同时满足以下条件的一个函数：______________________.
①该函数的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线；
②该函数是偶函数；
③该函数恰有2个零点.
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f(x)＝x2－1(答案不唯一)
因为函数为定义在R上的偶函数，且恰有两个零点，故可取f(x)＝x2－1(答案不唯一).
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9.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点.
(1)f(x)＝－x2＋2x－1；
令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1，
所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.
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(2)f(x)＝x4－x2；
令f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝1或x＝－1，
故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.
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(3)f(x)＝4x＋5；
令4x＋5＝0，则4x＝－5，
因为4x>0，－5<0，所以方程4x＋5＝0无实数解.
所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点.
(4)f(x)＝log3(x＋1).
令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，
所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.
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10.函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是－1和2，判断函数g(x)＝ax3＋bx＋4的零点所在的大致区间.
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∵－1和2是函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点，
∴－1和2是x2＋ax＋b＝0的两个实数解，
∴－1＋2＝－a，－1×2＝b，即a＝－1，b＝－2.
∴g(x)＝－x3－2x＋4.
∵g(1)＝1，g(2)＝－8，g(1)g(2)<0，
∴y＝g(x)在区间(1,2)内有零点.
又∵y＝g(x)在R上是单调函数，
∴y＝g(x)只有一个零点.
综上可知，函数g(x)的零点所在的大致区间为(1,2).
11.已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a)f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上
A.至少有一实数解 B.至多有一实数解
C.没有实数解 D.必有唯一的实数解
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综合运用
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由题意知函数f(x)为连续函数，
∵f(a)f(b)＜0，
∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点，
又∵函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，
∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点，
故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]
内必有唯一的实数解.
A.函数y＝f(x)在区间[1,6]上有3个零点
B.函数y＝f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点
C.函数y＝f(x)在区间[1,6]上至多有3个零点
D.函数y＝f(x)在区间[1,2]上无零点
12.已知函数y＝f(x)的图象是条连续不断的曲线，有如下对应值，则下列说法正确的是
√
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x 1 2 3 4 5 6
y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88
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由表可知f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0.
由函数零点存在定理，知函数y＝f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上分别至少存在1个零点，所以函数y＝f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点.
虽然f(1)f(2)>0，但函数y＝f(x)在[1,2]上也有可能存在零点.
x 1 2 3 4 5 6
y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88
A.2 B.3 C.4 D.2或3或4
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14.已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________.(用“<”连接)
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a画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，
观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a1
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拓广探究
(－8，－4]
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由解析式可得图象如图所示，
∴(x1＋x2)·f(x3)∈(－8，－4].
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16.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0;
当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x).
所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.
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(2)画出函数f(x)的图象，并写出单调区间；
图象如图所示，
单调递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)；
单调递减区间为(－1,1).
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(3)若y＝f(x)与y＝m有3个交点，求实数m的取值范围.
因为方程f(x)＝m有三个不同的解，由图象可知， －1本课结束