2022-2023学年人教A版2019高中数学 必修1 4.1.1 n次方根与分数指数幂 课件（61张PPT）

(共61张PPT)
4.1.1　n次方根与分数指数幂
第四章　§4.1　指数
学习目标
1.理解n次方根、根式的概念.
2.能正确运用根式运算性质化简求值.
3.会对分式和分数指数幂进行转化.
4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质.
导语
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数
的诞生.这就是本节课我们要学习的根式.
课时对点练
一、n次方根
二、分数指数幂
三、有理数指数幂的运算性质
随堂演练
内容索引
n次方根
一
问题1　如果x2＝a，那么x叫做a的什么？这样的x有几个？x3＝a呢？
提示　如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，这样的x有两个；如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，这样的x有一个.
问题2　类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、10次方根等，你认为n次方根应该是什么？
提示　比如(±2)4＝16，我们把±2叫做16的4次方根；(±3)4＝81，我们把±3叫做81的4次方根；(－2)5＝－32，我们把－2叫做－32的5次方根；(±2)10＝1 024，我们把±2叫做1 024的10次方根等.类比上述过程，我们可以得到：如果2n＝a，那么我们把2叫做a的n次方根.
知识梳理
1.n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的 ，其中n>1，且n∈N*.
2.n次方根的性质
n为奇数 n为偶数 a∈R a>0 a＝0 a<0
x＝____ x＝_____ x＝0 不存在
n次方根
3.根式
式子 叫做 ，这里n叫做 ，a叫做 .
4.根式的性质
(1) 没有偶次方根.
(2)0的任何次方根都是0，记作 ＝ .
(3) ＝ (n∈N*，且n>1).
(4) ＝|a|＝
根式
根指数
被开方数
负数
0
a
，a≥0，
－a，a<0
a
(n为大于1的偶数).
注意点：
　　(1)化简下列各式：
例1
原式＝(－2)＋(－2)＝－4.
原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.
∵－3∴当－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
延伸探究　在本例(2)中，若将“－3∵x≤－3，
∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
反思感悟
　　　 化简下列各式：
跟踪训练1
∵a≤1，
分数指数幂
二
知识梳理
根式与分数指数幂的互化
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是： ＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是： (a>0，m，n∈N*，
且n>1)；
(3)0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 .
0
没有意义
(4)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).
(1)分数指数幂 不可理解为 个a相乘，它是根式的一种写法.
(2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数.
注意点：
　　(1)化简　　　 的结果是
例2
原式
√
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.都不对
原式
√
原式
√
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 分数指数的分子.
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
反思感悟
跟踪训练2
原式
原式
有理数指数幂的运算性质
三
(1) ＝_____.(式中字母均是正数)
例3
原式
(2)计算：
关于指数式的化简、求值问题
(1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减.
(2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错.
反思感悟
(1) ；
跟踪训练3
原式
(2) (x，y>0).
原式＝ ＝x2y.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)n次方根的概念、表示及性质.
(2)根式的概念及性质.
(3)分数指数幂与根式的相互转化.
(4)分数指数幂的运算性质.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：
随堂演练
1. 运算的结果是
A.2 B.－2
C.±2 D.不确定
√
1
2
3
4
＝2.
1
2
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4
∴4a－1<0，
√
1
2
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4
3.在①a2n·an＝a3n；②22×33＝65；③32×32＝81；④a2·a3＝5a；
⑤(－a)2·(－a)3＝a5中，计算正确的式子有
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
√
1
2
3
4
①a2n·an＝a3n，正确；
②65＝25×35，故22×33≠65，故②错误；
③32×32＝9×9＝81，正确；
④a2·a3＝a5，故④错误；
⑤(－a)2·(－a)3＝(－a)5，故⑤错误.
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4
＝4－4－4＝－4.
－4
课时对点练
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基础巩固
1.若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是
当a<0时，a的偶次方根无意义.
√
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A.[2，＋∞) B.[2,4)∪(4，＋∞)
C.(－∞，2)∪(2，＋∞) D.(－∞，4)∪(4，＋∞)
√
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4.下列等式一定成立的是
A. B.
C.(a3)2＝a9 D.
√
同底数幂相乘，指数相加，故A，B错误；
因为(am)n＝amn，3×2＝6，故C错误；
同底数幂相除，指数相减，故D正确.
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5.若a>0，将 表示成分数指数幂，其结果是
A. 　　　 B.　　　 C. 　　　 D.
√
由题意得
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6.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是
√
D. (x>0)
√
√
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A项错误， (x≥0)，而 (x≤0)；
D项正确， (x>0).
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x＝－1
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9.化简下列各式：
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当1≤x<3时，
当x≥3时，
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10.(1)化简： (a>0，b>0)；
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(2)求值： .
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综合运用
11.已知m10＝2，则m等于
∵m10＝2，∴m是2的10次方根.
又∵10是偶数，
∴2的10次方根有两个，且互为相反数.
√
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12.若 有意义，则x的取值范围是
将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x>0，
√
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A. 　B. 　 C. 　 D.
√
原式
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14.如果45x＝3,45y＝5，那么2x＋y＝____.
由45x＝3，得(45x)2＝9.又45y＝5，则452x×45y＝9×5＝45＝451，即452x＋y＝451，∴2x＋y＝1.
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拓广探究
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设ax＝by＝cz＝k，
则k>0，a＝ ，b＝ ，c＝ ，
因此abc＝ ＝k0＝1.
本课结束