2022-2023学年人教A版2019高中数学必修1 5.2.2 同角三角函数的基本关系 课件（66张PPT）

(共66张PPT)
5.2.2　同角三角函数的基本关系
第五章　§5.2　三角函数的概念
学习目标
1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.
2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.
导语
“一支竹篙啊，难渡汪洋海，众人划桨哟，开动大帆船，一棵小树呀，弱不禁风雨，百里森林哟，并肩耐岁寒，耐岁寒，一加十，十加百，百加千千万，你加我，我加你，大家心相连，同舟共济海让路，号子嘛一喊浪靠边，百舸嘛争流千帆进，波涛在后岸在前……”伴随着一首经典老歌，让我们感触很深，歌词中每一句都流露出了“团结就是力量，团结就是胜利”，就像是我们数学中的每一个知识点一样，彼此紧密联系，比如我们刚学过的正弦、余弦和正切函数，它们之间到底有什么样的联系呢，让我们一起去发现.
课时对点练
一、利用同角三角函数的关系求值
二、利用同角三角函数的关系化简
三、一般恒等式的证明
随堂演练
内容索引
利用同角三角函数的关系求值
一
问题1　观察下表，你能发现什么？
提示　对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1.
问题2　若P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，则角α的三个三角函数值之间有什么联系？
提示　若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦；因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2＋y2＝1.
知识梳理
tan α
1
注意点：
例1
∴α是第二或第三象限角.
当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0，
当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0，
反思感悟
反思感悟
跟踪训练1
已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值.
∵sin α＋3cos α＝0，
∴sin α＝－3cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，
即10cos2α＝1，
又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限.
当角α的终边在第二象限时，
当角α的终边在第四象限时，
利用同角三角函数的关系化简
二
问题3　你能发现同角三角函数的哪些变形形式？
利用上述变换我们可以对三角函数式进行化简，也就是代数式的恒等变换，要使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数种类尽可能的少，式子中尽量不含根号，能求值的尽量求值.
提示　sin2α＋cos2α＝1
例2
化简：
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切都化为正弦、余弦，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
反思感悟
跟踪训练2
＝1＋1＝2.
一般恒等式的证明
三
例3
所以原等式成立.
所以原等式成立.
反思感悟
证明三角恒等式常用的方法
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简.
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异.
注意点：
(1)证明三角恒等式的实质：清楚等式两端的差异，有目的地化简.
(2)基本原则：由繁到简.
(3)常用方法：从左向右证，从右向左证，左右同时证.
跟踪训练3
所以原等式成立.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)同角三角函数的基本关系.
(2)利用同角三角函数的基本关系求值、化简与证明.
2.方法归纳：由部分到整体、整体代换法.
3.常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论.
随堂演练
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基础巩固
由条件知α是第四象限角，所以sin α<0，
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原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)
＝sin2α＋cos2α＝1.
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因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，
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由sin2α＋cos2α＝1，得1－cos2α＝sin2α，
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当x为第一象限角时，sin x＞0，cos x＞0，则f(x)＝2＋1＝3，
当x为第二象限角时，sin x＞0，cos x＜0，则f(x)＝2－1＝1，
当x为第三象限角时，sin x＜0，cos x＜0，则f(x)＝－2－1＝－3，
当x为第四象限角时，sin x＜0，cos x＞0，则f(x)＝－2＋1＝－1.
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7.化简(1＋tan215°)·cos215°＝ .
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8.设a>0且a≠1，若loga(sin x－cos x)＝0，则sin8x＋cos8x＝ .
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因为a>0且a≠1，若loga(sin x－cos x)＝0，
则sin x－cos x＝a0＝1，
所以(sin x－cos x)2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x＝1，
又sin2x＋cos2x＝1，所以sin xcos x＝0，
又由(sin2x＋cos2x)2＝sin4x＋cos4x＋2sin2x·cos2x＝1，
得sin4x＋cos4x＝1，
所以sin8x＋cos8x＝(sin4x＋cos4x)2－2sin4x·cos4x＝(sin4x＋cos4x)2＝1.
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∴α是第二或第三象限角.
当α是第二象限角时，则
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因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cos α<0.
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综合运用
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∵α是第二象限角，且tan α＝m，
∴m<0，sin α>0，cos α<0，mcos α＝sin α，
代入平方关系得到m2cos2α＋cos2α＝1，
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解得m＝8.
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(2)任取一个α的值，分别计算sin4α－cos4α，sin2α－cos2α，你又有什么发现？
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(3)证明： x∈R，sin2x－cos2x＝sin4x－cos4x.
对于任意实数x，都有sin2x－cos2x＝(sin2x－cos2x)·(sin2x＋cos2x)＝sin4x－cos4x.
本课结束