2022-2023学年人教A版2019高中数学 必修1 5.1.1 任意角 课件（66张PPT）

(共66张PPT)
5.1.1　任意角
第五章　§5.1　任意角和弧度制
学习目标
1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.
2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.
3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题.
导语
同学们，钟表是帮助我们掌握时间的好帮手，生活中我们经常听到时钟慢了5分钟，或时钟快了30分钟，应该如何校准？再比如，我们一节课45分钟，时针、分针以及秒针分别旋转了多少度？再比如在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题都和角度是分不开的，为了研究这些问题，我们开始今天的新课.
课时对点练
一、任意角的概念
二、象限角
三、终边相同的角
随堂演练
四、区域角以及终边在已知直线上的角的表示
内容索引
任意角的概念
一
问题1　在初中是如何定义角的？角的范围是多少？
提示　角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0°～360°.
1.角的概念
角可以看成一条 绕着它的端点 所成的 .
2.角的表示
知识梳理
如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边： ，终边：
，顶点： .
OA
射线
旋转
图形
OB
O
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按______方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按______方向旋转形成的角
零角 一条射线____做任何旋转形成的角
3.角的分类
逆时针
顺时针
没有
4.任意角
我们把角的概念推广到了 ，包括 、 和 .
5.相反角
我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为 .
任意角
正角
－α
负角
零角
若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为
A.120° B.－120°
C.－60° D.60°
√
由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，
例1
正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正数和负数的规定一样.
反思感悟
经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是
A.60°，720° B.－60°，－720°
C.－30°，－360° D.－60°，720°
跟踪训练1
√
象限角
二
问题2　现在，我们把角的概念推广到了任意角，如何更形象地表示一个角？
提示　我们通常在直角坐标系内讨论角，为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.
(1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限.
(2)每一个象限都有正角和负角.
(3)无法比较两个象限角的大小.
注意点：
(多选)在①160°；②480°；③－960°；④1 530°下列四个角中，属于第二象限角的是
A.160° B.480° C.－960° D.1 530°
例2
√
√
√
A中，160°很显然是第二象限角；
B中，480°＝120°＋360°是第二象限角；
C中，－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；
D中，1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角.
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.
反思感悟
(多选)下列叙述不正确的是
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B.钝角是第二象限角
C.第二象限角比第一象限角大
D.小于180°的角是钝角、直角或锐角
跟踪训练2
√
√
√
直角不属于任何一个象限，故A不正确；
钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；
由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正确；
由于零角和负角也小于180°，故D不正确.
终边相同的角
三
问题3　给定一个角，它的终边是否唯一？若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？
提示　给定一个角，它的终边唯一；两角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°的终边和390°的终边相同，它们正好相差了360°.
终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
知识梳理
已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角.
(1)最小的正角；
例3
因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，
即－1 845°角与－45°角的终边相同，
所以与角α终边相同的角的集合是
{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，
最小的正角为315°.
(2)最大的负角；
最大的负角为－45°.
(3)－360°～720°之间的角.
－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.
反思感悟
终边相同的角的表示
(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式.
(2)终边相同的角相差360°的整数倍.
若角2α与240°角的终边相同，则α等于
A.120°＋k·360°，k∈Z
B.120°＋k·180°，k∈Z
C.240°＋k·360°，k∈Z
D.240°＋k·180°，k∈Z
跟踪训练3
√
角2α与240°角的终边相同，
则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，
则α＝120°＋k·180°，k∈Z.
区域角以及终边在已知直线上的角的表示
四
已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.
例4
终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，
因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.
反思感悟
(1)象限角的判定方法
①根据图象判定.利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.
②将角转化到0°～360°范围内.在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的.
反思感悟
(2)表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.
已知，如图所示.(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
跟踪训练4
终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}.
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是{α|210°＋k·360°≤α≤300°
＋k·360°，k∈Z}.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)正角、负角、零角的概念.
(2)终边相同的角的表示.
(3)象限角、区域角的表示.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k∈Z.
随堂演练
1.“α是锐角”是“α是第一象限角”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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√
因为α是锐角能推出α是第一象限角，
但是反之不成立，例如400°是第一象限角，但不是锐角，
所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件.
2.2 022°是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
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2 022°＝5×360°＋222°，
所以2 022°角的终边与222°角的终边相同，为第三象限角.
3.与－460°角终边相同的角可以表示成
A.460°＋k·360°，k∈Z B.100°＋k·360°，k∈Z
C.260°＋k·360°，k∈Z D.－260°＋k·360°，k∈Z
因为－460°＝260°＋(－2)×360°，
故与－460°角终边相同的角可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.
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4.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是_________________________________________.
{α|45°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z}
观察图形可知，角α的集合是
{α|45°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z}.
课时对点练
1.如果角α的终边上有一点P(0，－3)，那么α
A.是第三象限角 B.是第四象限角
C.是第三或第四象限角 D.不是象限角
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基础巩固
点P(0，－3)在y轴负半轴上，故α的终边为y轴的负半轴.
2.若α是第四象限角，则180°－α是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
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可以给α赋一特殊值－60°，
则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角.
3.时针走过2小时40分，则分针转过的角度是
A.80° B.－80° C.960° D.－960°
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由于时针、分针都是顺时针旋转，
∴时针走过2小时40分，分针转过的角度为－2×360°－240°＝－960°.
4.下面各组角中，终边相同的是
A.390°，690° B.－330°，750°
C.480°，－420° D.3 000°，－840°
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因为－330°＝－360°＋30°，750°＝2×360°＋30°，
所以－330°与750°终边相同.
5.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是
A.{α|－45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α≤315°}
C.{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}
D.{α|120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}
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如题图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|－45°＋k·360°
≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}.
6.(多选)下列四个角为第二象限角的是
A.－200° B.100° C.220° D.420°
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－200°＝－360°＋160°，在0°～360°范围内，与－200°终边相同的角为160°，它是第二象限角，同理100°为第二象限角，220°为第三象限角，420°为第一象限角.
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∵1 112°＝360°×3＋32°，
∴1 112°的终边与32°的终边相同，均为第一象限角.
7.1 112°角是第_____象限角.
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8.在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为 ____________.
120°，300°
与角－60°的终边在同一条直线上的角可表示为β＝－60°＋k·180°，k∈Z.
∵所求角在0°～360°范围内，
∴0°≤－60°＋k·180°≤360°，k∈Z，
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∴k＝1或2.
当k＝1时，β＝120°；
当k＝2时，β＝300°.
9.已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
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α＝－1 910°＝－6×360°＋250°，它是第三象限角.
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
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令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，
取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角.
当n＝－1时，θ＝250°－360°＝－110°；
当n＝－2时，θ＝250°－720°＝－470°.
故θ＝－110°或θ＝－470°.
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10.在平面直角坐标系中，用阴影表示下列集合：
(1){α|30°＋k·360°≤α≤60°＋k·360°，k∈Z}；
根据任意角的定义，画出集合{α|30°＋k·360°≤α
≤60°＋k·360°，k∈Z}对应的区域如图阴影部分(含边界)所示.
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(2){α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}.
根据任意角的定义，画出集合{α|30°＋k·180°
≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}对应的区域如图阴影部分(含边界)所示.
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综合运用
11.(多选)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的终边落在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
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当k＝2m＋1(m∈Z)时，
α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，
故α为第三象限角；
当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，
故α为第一象限角.
故α的终边落在第一或第三象限.
12.终边与坐标轴重合的角α的集合是
A.{α|α＝k·360°，k∈Z}
B.{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}
C.{α|α＝k·180°，k∈Z}
D.{α|α＝k·90°，k∈Z}
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终边在坐标轴上的角为90°的整数倍，
所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}.
13.已知α为锐角，则2α为
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第一或第二象限角 D.小于180°的正角
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因为α为锐角，
所以0°<α<90°，则0°<2α<180°.
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14.若α为△ABC的一个内角，且4α与120°的终边相同，则α＝__________.
120°或30°
∵4α＝120°＋k·360°，k∈Z，
∴α＝30°＋k·90°，k∈Z，
又∵0°<α<180°，
∴当k＝1时，α＝120°；当k＝0时，α＝30°.
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拓广探究
15.角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为
A.α＋β＝k·360°，k∈Z
B.α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z
C.α－β＝180°＋k·360°，k∈Z
D.α－β＝k·360°，k∈Z
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方法一　(特值法)令α＝30°，β＝150°，
则α＋β＝180°.
方法二　(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，
即α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z.
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∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z).
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)，
∴2α的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上.
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方法二　将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示.
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将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示.
本课结束