2022-2023学年人教A版2019高中数学 必修1 5.2.1 三角函数的概念 课件（62张PPT）

(共62张PPT)
5.2.1　三角函数的概念
第五章　§5.2　三角函数的概念
学习目标
1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数的定义.
2.掌握利用诱导公式一求给定角的三角函数值并能确定函数值的符号.
导语
游乐园是人们常去的地方，各种神奇的游乐器械吸引着人们去玩耍，尤其是那高大的摩天轮，带着人们在空中旋转，既好玩又刺激，我们假设一摩天轮的中心离地面h米，它的半径为r米，按逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，我们建立如图所示的直角坐标系，假设
你现在的位置在A处，经过30秒，你离地面有多高？经过210秒呢？经过570秒呢？带着这些问题，开始我们今天的新课.
课时对点练
一、三角函数的概念
二、正弦、余弦、正切函数值在各个象限内的符号
三、公式一
随堂演练
内容索引
三角函数的概念
一
问题1　初中我们学习过锐角的三角函数，正弦、余弦和正切，这三个三角函数分别是怎样定义的？
提示　在初中，我们是在直角三角形中定义的，正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边.
问题2　之前学习了任意角，我们也把任意角放到了平面直角坐标系中，那么角的终边和单位圆是否有交点？交点唯一吗？
提示　有交点，交点唯一.
条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)
定义 正弦 把点P的 叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝_____
余弦 把点P的 叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝______
任意角的三角函数的定义
知识梳理
纵坐标y
sin α
横坐标x
cos α
定义 正切 把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的正切，记作tan α，即 ＝___________
三角函数 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数y＝sin x，x∈R
余弦函数y＝cos x，x∈R
正切函数y＝tan x，x≠ ＋kπ，k∈Z
tan α(x≠0)
(1)三角函数值是比值，是一个实数.
(2)三角函数值的大小只与角的大小有关.
注意点：
例1
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值.
反思感悟
反思感悟
(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论.
跟踪训练1
√
√
解得x2＝1，∴x＝±1.
解得x2＝1，又x<0，∴x＝－1.
正弦、余弦、正切函数值在各个象限内的符号
二
问题3　根据三角函数的定义，大家猜测一下三角函数值在各个象限内的符号.
提示　三角函数值的符号是根据三角函数的定义和各象限内的坐标符号
导出的.根据三角函数的定义可知 ，正弦的
符号取决于纵坐标y的符号，余弦的符号取决于横坐标x的符号，正切的符号是由纵坐标y和横坐标x共同决定的，同号为正，异号为负.
知识梳理
正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
1.图示：
2.口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
例2
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
√
由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角.
综上可知，α是第三象限角.
(2)(多选)下列选项中，符号为负的是
A.sin(－100°) B.cos(－220°)
C.tan 10 D.cos π
√
√
√
判断三角函数值符号的两个步骤
(1)定象限：确定角α所在的象限.
(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断.
反思感悟
已知点P(sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
跟踪训练2
√
∵点P(sin α，cos α)在第三象限，
公式一
三
问题4　终边相同的角的三角函数值有何关系？
提示　由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等.
知识梳理
终边相同的角的同一三角函数的值 .
即
相等
sin(α＋k·2π)＝______，
cos(α＋k·2π)＝______，
tan(α＋k·2π)＝______，
其中k∈Z.
sin α
cos α
tan α
计算下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
例3
原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)
sin(2×360°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°
反思感悟
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中α∈[0,2π).
(2)转化：根据诱导公式一，转化为求角α的某个三角函数值.
(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
计算下列各式的值：
(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
跟踪训练3
原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°
课堂
小结
1.知识清单：
(1)三角函数的定义及求法.
(2)三角函数值在各象限内的符号.
(3)诱导公式一.
2.方法归纳：由特殊到一般、转化与化归、分类讨论.
3.常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为
随堂演练
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√
设交点坐标为P(x，y)，
√
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3.(多选)若sin θ·cos θ>0，则θ的终边在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
因为sin θ·cos θ>0，
所以sin θ<0，cos θ<0或sin θ>0，cos θ>0，
所以θ的终边在第一象限或第三象限.
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＝2.
课时对点练
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基础巩固
2.已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
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∵sin θcos θ<0，∴sin θ，cos θ一正一负，
又|cos θ|＝cos θ，∴cos θ≥0，
综上有sin θ<0，cos θ>0，
即θ为第四象限角.
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由诱导公式一可得，
sin(－330°)cos 390°＝sin(－360°＋30°)cos(360°＋30°)
＝sin 30°×cos 30°
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∵105°为第二象限角，∴sin 105°>0；
∵325°为第四象限角，∴cos 325°>0；
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7.已知角θ终边上一点P的坐标为(cos 60°，－sin 60°)，则tan θ＝ __ .
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8.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是 .
(－2,3]
解得－21
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＝－1＋0－1＋1＝－1.
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原式＝a2sin 90°－b2cos 180°＋2abtan 45°
＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
(2)a2sin 810°－b2cos 900°＋2abtan 1 125°.
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因为x≠0，所以x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，
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当x＝－1时，P(－1,3)，
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综合运用
11.式子sin 1·cos 2·tan 4的符号为
A.正 B.负 C.零 D.不能确定
√
∵1,2,4分别为第一、二、三象限角，∴sin 1>0，cos 2<0，tan 4>0，∴sin 1·cos 2·tan 4<0.
12.(多选)已知函数y＝loga(x－4)－12(a＞0且a≠1)的图象过定点P，且角θ的终边经过点P，则
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因为y＝loga(x－4)－12(a＞0且a≠1)，令x－4＝1，即x＝5，
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A.{－1,0,1,3} B.{－1,0,3}
C.{－1,3} D.{－1,1}
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依题意，知角x的终边不在坐标轴上，
当x为第一象限角时，y＝1＋1＋1＝3；
当x为第二象限角时，y＝1－1－1＝－1；
当x为第三象限角时，y＝－1－1＋1＝－1；
当x为第四象限角时，y＝－1＋1－1＝－1，
综上，函数的值域为{－1,3}.
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14.－300°角的终边与单位圆交于点P(m，n)，则m＋n＝ .
由三角函数的定义知m＝cos(－300°)
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拓广探究
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由lg(cos α)有意义可知cos α>0，
∴角α是第四象限角.
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又α是第四象限角，故m<0，
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