(共60张PPT)
第1课时 诱导公式(一)
第五章 §5.3 诱导公式
学习目标
1.理解诱导公式二～四的推导过程，识记诱导公式，理解和掌握公式的内涵和结构特征.
2.会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简.
导语
在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同一三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一可以把求绝对值较大的三角函数值转化为求0°～360°角的三角函数值，对于90°～360°角的三角函数值，我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解，这是我们今天要学习的内容.
课时对点练
一、诱导公式二～四
二、给角求值
三、给值(式)求值
随堂演练
四、利用公式进行化简
内容索引
诱导公式二～四
一
问题1 请同学们写出公式一.
提示 sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z.
问题2 观察下图，思考我们是如何定义三角函数的？
提示 三角函数的定义核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，终边相同的角的三角函数值相等.由图象可知，点P1与P2关于原点对称，点P1与P2两点的横坐标、纵坐标分别互为相反数，以OP2为终边的角β可以表示成β＝(π＋α)＋2kπ，k∈Z.
问题3 知道了终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义探究角α与角π＋α的三角函数值之间的关系吗？
1.公式二
sin(π＋α)＝ ，
cos(π＋α)＝ ，
tan(π＋α)＝ .
2.公式三
sin(－α)＝ ，
cos(－α)＝ ，
tan(－α)＝ .
知识梳理
－sin α
－cos α
tan α
－sin α
cos α
－tan α
3.公式四
sin(π－α)＝ ，
cos(π－α)＝ ，
tan(π－α)＝ .
sin α
－cos α
－tan α
注意点：
给角求值
二
利用公式求下列三角函数值：
(1)cos(－480°)＋sin 210°；
例1
原式＝cos 480°＋sin(180°＋30°)
＝cos(360°＋120°)－sin 30°
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化.
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值.
反思感悟
跟踪训练1
0
给值(式)求值
三
例2
反思感悟
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
跟踪训练2
√
因为cos(α－2π)＝cos α，且α是第四象限角，
利用公式进行化简
四
例3
反思感悟
三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.
(2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数.
跟踪训练3
因为tan(5π＋α)＝tan α＝m，
√
课堂
小结
1.知识清单：
(1)特殊关系角的终边对称性.
(2)诱导公式二～四.
2.方法归纳：数形结合、公式法.
3.常见误区：符号的确定.
随堂演练
1.sin 2 022°等于
A.sin 42° B.－sin 42° C.sin 48° D.－sin 48°
1
2
3
4
√
√
1
2
3
4
1
2
3
4
√
又α是第四象限角，
1
2
3
4
－1
课时对点练
1.化简sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的结果为
A.1 B.2sin2α C.0 D.2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
原式＝sin2α＋cos2α＋1＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由tan(5π＋x)＝－2可得tan x＝－2，
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以c＜a＜b.
5.(多选)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有
A.sin(B＋C)＝sin A
B.cos(B＋C)＝cos A
C.tan(B＋C)＝tan A
D.若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，A正确；
cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A，B错误；
tan(B＋C)＝tan(π－A)＝－tan A，C错误；因为a2＋b2＝c2，由勾股定理可知，△ABC为直角三角形，D正确.
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
－1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
sin(135°－α)＝sin[180°－(45°＋α)]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
原式＝sin(π＋α)·cos(－α)·tan(π－α)
＝(－sin α)·cos α·(－tan α)＝sin2α，
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
cos 6－sin 6
因此cos 6－sin 6>0，
所以原式＝cos 6－sin 6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
依题意知α为第四象限角，所以
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
本课结束(共60张PPT)
第3课时 公式的综合应用
第五章 §5.3 诱导公式
学习目标
1.熟练掌握六组诱导公式的结构特征.
2.会利用六组诱导公式求值、证明.
导语
课时对点练
一、利用诱导公式证明恒等式
二、诱导公式在实际问题中的应用
三、三角函数的综合应用
随堂演练
内容索引
利用诱导公式证明恒等式
一
例1
＝左边，∴原等式成立.
三角恒等式的证明策略
对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.
反思感悟
跟踪训练1
∴原等式成立.
诱导公式在实际问题中的应用
二
问题1 三角形中其中一个角与另外两角的和是什么关系？
提示 互补.
问题1 直角三角形中，两锐角是什么关系？
提示 互补.
例2
因为A＋B＋C＝π，
所以A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
所以cos C＝cos B.
又B，C为△ABC的内角，所以C＝B，
所以△ABC为等腰三角形.
利用诱导公式解决实际问题时，需注意公式四和公式五中的互补和互余，是广义上的互补和互余.在涉及三角形问题时，一定要注意根据三角形内角和A＋B＋C＝π以及题目的具体条件进行适当变形，再化简求值.
反思感悟
跟踪训练1
√
在△ABC中，下列各表达式为常数的是
A.sin(A＋B)＋sin C B.cos(B＋C)－cos A
在△ABC中，∵A＋B＋C＝π，∴A项，sin(A＋B)＋sin C＝2sin C，不为常数；
B项，cos(B＋C)－cos A＝－2cos A，不为常数；
三角函数的综合应用
三
例3
∴5sin β－5cos β＋3tan β
反思感悟
用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.
跟踪训练3
解得m＝－6，m＝6(舍去).
课堂
小结
1.知识清单：
(1)识记诱导公式.
(2)三角形角的特点.
(3)结合三角函数定义进行化简、求值、证明.
2.方法归纳：公式法.
3.常见误区：实际问题中角的范围.
随堂演练
1.在△ABC中，cos(A＋B)的值等于
A.cos C B.－cos C C.sin C D.－sin C
√
1
2
3
4
由于A＋B＋C＝π，
所以A＋B＝π－C.
所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C.
√
1
2
3
4
√
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
4.计算：sin211°＋sin279°＝_____.
因为sin 79°＝sin(90°－11°)＝cos 11°，
所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.
课时对点练
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
sin 75°＋cos 195°＝sin(90°－15°)＋cos(180°＋15°)
＝cos 15°－cos 15°＝0.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为角θ的终边过点(－3,4)，
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
cos 213°＝cos(180°＋33°)＝－cos 33°
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
对于D，sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1，故D正确.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.若函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 022)＝2，则f(2 023)＝________.
－2
∵f(2 022)＝asin(2 022π＋α)＋bcos(2 022π＋β)＝asin α＋bcos β＝2，
∴f(2 023)＝asin(2 023π＋α)＋bcos(2 023π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－(asin α＋bcos β)＝－2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为左边＝
所以等式成立.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵∠ABC＝108°，
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴|cos α|＝－cos α，
∴cos α≤0，
∴α的终边在第二、三象限或在x轴的负半轴上.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，
sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
15.对于函数f(x)＝asin(π－x)＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是
A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵sin(π－x)＝sin x，
∴f(x)＝asin x＋bx＋c，
则f(1)＝asin 1＋b＋c，
f(－1)＝asin(－1)＋b×(－1)＋c＝－asin 1－b＋c，
∴f(－1)＝－f(1)＋2c. ①
把f(1)＝4，f(－1)＝6代入①式，得c＝5∈Z，故排除A；
把f(1)＝3，f(－1)＝1代入①式，得c＝2∈Z，故排除B；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
把f(1)＝2，f(－1)＝4代入①式，得c＝3∈Z，故排除C；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，则
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
故原式＝1.
本课结束(共65张PPT)
第2课时 诱导公式(二)
第五章 §5.3 诱导公式
学习目标
1.理解公式五、六的推导过程并熟记诱导公式，理解和掌握公式的内涵及结构特征.
2.会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简.
导语
回顾前面的学习，我们利用单位圆定义了三角函数，利用单位圆推出了一组神奇的公式，利用它可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，单位圆，这是一个多么美妙的图形！它就像一轮光芒四射的太阳，照耀我们的探究之路，又像一艘轮船，引领我们在知识的海洋里航行，这节课，我们将继续在单位圆中探寻三角函数的奥秘.
课时对点练
一、公式五、六
二、化简求值
三、诱导公式的综合应用
随堂演练
内容索引
公式五、六
一
问题1 回顾上节课我们推导公式二的过程.
提示 利用了单位圆的对称性，作了点P1关于原点对称的点.
问题2 观察下图，我们作了点P1关于直线y＝x的对称点P5，你能发现这两点有什么关系吗？
若点P1的坐标为(x，y)，则点P5的坐标为(y，x)(同学们还记得我们当初学习对数函数时，提到过反函数是关于y＝x对称的，定义域和值域的范围互换，是不是和此处有相似之处)，
知识梳理
注意点：
(1)名称发生了变化，实现了正弦和余弦的相互转化.
(2)运用公式时，把α“看成”锐角.
(3)符号的变化要看把α看成锐角时所在的象限.
化简求值
二
例1
由题意得f(α)
故f(α)＝－cos α.
利用诱导公式化简、求值的策略
(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用.
(2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围.
反思感悟
反思感悟
跟踪训练1
√
诱导公式的综合应用
三
例2
√
sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)tan(180°－31°)
＝－sin 59°(－tan 31°)
＝－sin(90°－31°)(－tan 31°)
＝－cos 31°(－tan 31°)＝sin 31°
因为α是第三象限角，所以－α是第二象限角，
反思感悟
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称：一般是弦切互化.
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式.
跟踪训练2
课堂
小结
1.知识清单：利用诱导公式进行化简、求值与证明.
2.方法归纳：公式法、角的构造.
3.常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造.
随堂演练
√
1
2
3
4
√
1
2
3
4
√
1
2
3
4
1
2
3
4
－tan θ
1
2
3
4
课时对点练
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
cos 64.7°＝cos(90°－25.3°)＝sin 25.3°＝a.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴sin θ<0，
∴角θ是第三象限角.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为α是三角形的一个内角，
所以α∈(0，π)，所以sin α＞0恒成立，故A错误；
所以可能为负值的为cos α，tan α.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
cos α
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解得tan α＝3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
＝－tan α＝－3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又因为α为第三象限角，
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
令x＋4＝1，所以x＝－3，所以函数y＝loga(x＋4)＋4的图象过定点A(－3,4).
因为点A在角θ的终边上，
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
对于A，当φ＝0时，左边＝sin x，
右边＝sin(－x)＝－sin x，不满足条件；
对于C，当φ＝π时，左边＝sin(x＋π)＝－sin x，右边＝sin(－x＋π)＝sin x，不满足条件；
对于D，当φ＝2π时，左边＝sin(x＋2π)＝sin x，右边＝sin(－x＋2π)＝－sin x，不满足条件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设点A是角α的终边与单位圆的交点，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由(1)知，f(α)＝sin α，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
本课结束
