(共71张PPT)
第3课时 正弦函数、余弦函数的性质的综合问题
第五章 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
学习目标
1.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质，能够了解函数的整体性质.
2.能够解决简单的函数性质的综合问题.
导语
同学们，经过前面几节课的学习，我们对正弦函数、余弦函数有了比较深刻的认识，在探究的过程中，我们发现，“整体代换”的数学思想能有效地帮助我们解决问题.整体代换思想是我们高中数学解题中的一个重要思想，它贯穿于整个高中数学学习中，特别是在解决三角函数问题时，熟练掌握整体代换思想，有利于我们化简、求值、运算等，尤其是在解决单调性、对称性等问题中，整体代换思想发挥着重大作用，今天，我们继续体会整体代换的数学思想.
课时对点练
一、形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型函数的最值(值域)问题
二、正弦函数、余弦函数的对称性
三、函数性质的综合应用
随堂演练
内容索引
形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型函数的最值(值域)问题
一
问题1 求二次函数的最值，需要明确哪些方面？
提示 开口方向，对称轴，函数的定义域.
问题2 同角三角函数的平方关系是什么？
提示 sin2α＋cos2α＝1.
函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为________.
例1
因为y＝cos2x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2.
又－1≤sin x≤1，所以－4≤y≤0，
所以函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4，0].
[－4,0]
延伸探究
2.本例函数变为y＝sin2x＋2cos x－2，x∈R，求函数的值域.
因为y＝sin2x＋2cos x－2＝1－cos2x＋2cos x－2＝－cos2x＋2cos x－1＝－(cos x－1)2，又－1≤cos x≤1，所以函数的值域为[－4,0].
求y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型函数最值(值域)的方法
形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值.t的范围需要根据定义域来确定.若f(x)＝asin2x＋bcos x＋c，还需利用同角三角函数的基本关系，转化成同名三角函数求值.
反思感悟
跟踪训练1
1
正弦函数、余弦函数的对称性
二
问题3 正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？
提示 有，(kπ，0)(k∈Z).
具体过程详见下页GeoGebra动画演示.
问题4 正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，其对称轴方程是什么？
问题5 类比正弦函数的对称轴和对称中心，你能写出余弦函数的对称轴和对称中心吗？
具体过程详见下页GeoGebra动画演示.
例2
正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.考查了整体代换的数学思想.
反思感悟
跟踪训练2
函数性质的综合应用
三
例3
√
对于A选项，周期为π，
反思感悟
研究三角函数性质的几个方面是通过数形结合.整体代换的数学思想研究三角函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等.
跟踪训练3
√
√
√
课堂
小结
1.知识清单：
(1)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型函数的最值(值域)问题.
(2)正弦函数、余弦函数的对称轴和对称中心.
(3)函数性质的综合运用.
2.方法归纳：整体代换、换元法.
3.常见误区：二次函数的最值问题.
随堂演练
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4.函数y＝cos2x＋sin x的最大值为______.
因为y＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x，
令t＝sin x，t∈[－1,1]，
课时对点练
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3.函数y＝sin πx的图象的两个相邻对称中心间的距离为
A.π B.2π C.1 D.2
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周期为π，故排除A，B；
又y＝cos t在[π，2π]上单调递增，
所以选项D中y＝cos 2x符合题意.
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由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝π对称，
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又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)
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依题意T＝π，∴ω＝2，
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(2)求f(x)的单调递增区间.
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10.已知函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋a.当f(x)＝0有实数解时，求a的取值范围.
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－1≤sin x≤1，令t＝sin x，则－1≤t≤1.f(x)＝0有实数解，即t2－t－a＝0在[－1,1]内有实数解.
a＝t2－t，t∈[－1,1]，
当t＝－1时，h(t)max＝2，
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综合运用
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即ω＝6k＋1，k∈Z.
∵ω>0，∴k∈N.
∴ω的最小值为7.
A.f(1)
C.f(2)1
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故可得f(0)1
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拓广探究
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y＝2sin(2x－φ)靠近原点的对称轴为x＝x0，
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所以当0≤k<2时，函数y＝k与函数y＝f(x)的图象有两个公共点，
即当0≤k<2时，方程f(x)＝k恰有两个不同的实数根.
本课结束(共63张PPT)
第1课时 周期性与奇偶性
第五章 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
学习目标
1.理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期.
2.会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性.
导语
同学们，在生活中，大家知道月亮圆了又缺，缺了又圆，这一周而复始的自然现象，有诗为证：“昨夜圆非今日圆，却疑圆处减婵娟，一年十二度圆缺，能得几多时少年”，从诗中，我们能领悟到光阴无情、岁月短暂的道理，告诫人们要珍惜时光，努力学习.我们知道，从角到角的三角函数值都有周而复始的现象，你知道这一现象反映的是函数的什么性质吗？有了前面的三角函数的图象，今天我们来一起探究三角函数的一些性质.
课时对点练
一、正弦函数、余弦函数的周期
二、正弦函数、余弦函数的奇偶性
三、三角函数奇偶性与周期性的综合应用
随堂演练
内容索引
正弦函数、余弦函数的周期
一
问题1 正弦函数、余弦函数的图象有什么特点？
提示 能够发现正弦函数、余弦函数的图象具有“周而复始”的变化规律.我们可以从两个方面来验证这种特点：①函数的图象，回顾正弦函数、余弦函数的图象的画法，我们是先画出[0,2π]上的函数图象，然后每次向左(右)平移2π个单位长度得到整个定义域上的函数图象.②诱导公式一，sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，对任意的k∈Z都成立.
知识梳理
1.函数的周期性
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个 ，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做周期函数. ___________叫做这个函数的周期.
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
3.正弦函数是 ，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是___.
4.余弦函数是 ，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是___.
非零常数T
f(x＋T)＝f(x)
非零常数T
最小的正数
周期函数
周期函数
2π
2π
(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立.
(2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期.
(3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可.
(4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期.
注意点：
求下列三角函数的周期：
(1)y＝7sin x，x∈R；
例1
因为7sin(x＋2π)＝7sin x，由周期函数的定义知，y＝7sin x的周期为2π.
(2)y＝sin 2x，x∈R；
因为sin 2(x＋π)＝sin(2x＋2π)＝sin 2x，由周期函数的定义知，y＝sin 2x的周期为π.
(4)y＝|cos x|，x∈R.
y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示.
由图象可知，y＝|cos x|的周期为π.
求三角函数周期的方法
(1)定义法：利用周期函数的定义求解.
反思感悟
(3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可.
具体过程详见下页GeoGebra动画演示.
求下列三角函数的最小正周期：
(1)y＝|sin x|；
跟踪训练1
由y＝|sin x|，f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)，
得f(x)＝|sin x|的最小正周期为π(或通过图象判断).
(2)y＝cos 4x；
正弦函数、余弦函数的奇偶性
二
问题2 继续回顾正弦函数、余弦函数的图象，你还能发现什么特点？
提示 正弦函数的图象关于原点对称，余弦函数的图象关于y轴对称.
知识梳理
正弦函数是 ，余弦函数是 .
奇函数
偶函数
例2
判断下列函数的奇偶性.
因为 x∈R，都有－x∈R，
(2)f(x)＝|sin x|＋cos x；
函数f(x)＝|sin x|＋cos x的定义域为R，
因为 x∈R，都有－x∈R，
又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，
所以函数f(x)＝|sin x|＋cos x是偶函数.
因为 x∈R，都有－x∈R，
又f(－x)＝－(－x)2sin(－x)＝x2sin x＝－f(x)，
判断函数奇偶性的方法
(1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(－x)的关系.
(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则.
反思感悟
判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)＝sin xcos x；
跟踪训练2
函数的定义域为R，关于原点对称.
∵f(－x)＝sin(－x)cos(－x)
＝－sin xcos x＝－f(x)，
∴f(x)＝sin xcos x为奇函数.
∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称.
当cos x＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x).
三角函数奇偶性与周期性的综合应用
三
问题3 知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象和性质有什么帮助？
提示 通过研究一个周期内的函数图象和性质，可推导出整个函数具有的性质.
例3
√
延伸探究
1
反思感悟
三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的形式，再利用公式求解.
(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(A≠0，ω>0)或y＝Acos ωx(A≠0，ω>0)其中的一个.
跟踪训练3
偶函数
±2
∴f(x)为偶函数，
课堂
小结
1.知识清单：
(1)周期函数的概念，三角函数的周期.
(2)三角函数的奇偶性.
(3)三角函数周期性、奇偶性的综合应用.
2.方法归纳：定义法、公式法、数形结合.
随堂演练
1.函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
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由于x∈R，
且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数.
√
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y＝cos(－4x)＝cos 4x.
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＝－cos 2x，x∈R，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.
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课时对点练
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因为y＝4sin(2x－π)＝－4sin 2x是奇函数，所以其图象关于原点对称.
3.图象为如图的函数可能是
A.y＝x·cos x B.y＝x·sin x
C.y＝x·|cos x| D.y＝x·2x
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根据图象可看到函数为奇函数，并且与x轴交点不止一个，
而y＝x·sin x是偶函数，y＝x·2x非奇非偶，
由此可排除B，D；
当x＞0时，y＝x·|cos x|＞0，由此可排除C；
故选A.
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5.函数y＝f(x)＝xsin x的部分图象是
∵f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，
∴函数是偶函数，排除B，D；当x取趋近于0的正数时，f(x)>0，故选A.
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A中，由y＝|cos x|的图象知，y＝|cos x|是周期为π的偶函数，所以A正确；
B中，函数为奇函数，所以B不正确；
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令g(x)＝x3cos x，
∴g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3cos x＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，又f(x)＝g(x)＋1，
∴f(a)＝g(a)＋1＝11，g(a)＝10，
∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝－9.
7.设函数f(x)＝x3cos x＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝______.
－9
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∵T＝π，且f(x)为偶函数，
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f(x)的定义域为R，关于原点对称，
∴f(x)为奇函数.
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f(x)的定义域为R，关于原点对称，
∵f(－x)＝cos(－x)－(－x)3sin(－x)
＝cos x－x3sin x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数.
(2)f(x)＝cos x－x3sin x.
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综合运用
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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∴f(x)的周期为6，
∴f(2 023)＝f(6×337＋1)
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拓广探究
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所以正整数ω的值为4或5.
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所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，
即每连续六项的和均为0.
本课结束(共78张PPT)
第2课时 单调性与最值
第五章 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
学习目标
1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化的规律，通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质.
2.能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题.
导语
同学们，前面我们研究了正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，根据我们之前学习指数函数和对数函数的经验，三角函数还有哪些性质有待我们去研究呢？请同学们继续观察正弦曲线和余弦曲线，它们的定义域、值域、单调性有什么样的规律呢？这就是我们本节课要研究的问题.
课时对点练
一、正弦函数、余弦函数的单调性
二、利用单调性比较大小
三、求正弦函数、余弦函数的单调区间
随堂演练
四、正弦函数、余弦函数的最值(值域)
内容索引
正弦函数、余弦函数的单调性
一
提示
1.正弦函数的单调性
知识梳理
单调递增
单调递减
具体过程详见下页GeoGebra动画演示.
2.余弦函数的单调性
在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都 ，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)上都 ，其值从1减小到－1.
单调递增
单调递减
具体过程详见下页GeoGebra动画演示.
(1)正、余弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限.
(2)正弦函数、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间.
(3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小.
注意点：
利用单调性比较大小
二
利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.
例1
(2)cos 1，sin 1；
(3)sin 164°与cos 110°.
sin 164°＝sin(180°－16°)＝sin 16°，
cos 110°＝cos(90°＋20°)＝－sin 20°.
所以－sin 20°即cos 110°比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数.
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上.
(3)利用函数的单调性比较大小.
反思感悟
(1)下列关系式中正确的是
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°跟踪训练1
√
因为sin 168°＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，所以只需比较sin 11°，sin 12°，sin 80°的大小.
即sin 11°(2)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是
A.sin αC.cos αcos β
√
求正弦函数、余弦函数的单调区间
三
例2
∴y＝2sin z单调递增(减)时，
延伸探究
又∵x∈[0,2π]，
反思感悟
求正弦、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.
(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，同上.
跟踪训练2
正弦函数、余弦函数的最值(值域)
四
2.余弦函数：当且仅当x＝____(k∈Z)时取得最大值1；当且仅当x＝_______ (k∈Z)时取得最小值－1.
知识梳理
2kπ
2kπ＋π
例3
√
在△ABC中，可知A＋B＋C＝π，
反思感悟
三角函数的值域(最值)问题的求解方法
(1)形如y＝Asin x(或y＝Acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对A正、负的讨论.
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值).
反思感悟
(3)求给定区间上最值(值域)的问题，可利用换元思想，设t＝ωx＋φ，转换成y＝Asin x(或y＝Acos x)型的函数求值.
跟踪训练3
课堂
小结
1.知识清单：
(1)正弦、余弦函数的单调区间.
(2)比较三角函数值的大小.
(3)正弦、余弦函数的最值(值域).
2.方法归纳：整体代换、换元法.
3.常见误区：单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x，cos x本身具有的范围.
随堂演练
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√
2.函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为
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课时对点练
1.下列命题中正确的是
A.y＝cos x在第一象限和第四象限内单调递减
B.y＝sin x在第一象限和第三象限内单调递增
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基础巩固
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对于y＝cos x，该函数的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，故A错误，C错误；
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所以y∈[－2,2].
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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∵y＝sin x的单调递增区间为
y＝cos x的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，
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cos 400°＝cos 40°>cos 50°＝cos(－50°)，故B成立；
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因为y＝cos x在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，所以只有－π7.函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是________.
(－π，0]
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∴f(x)的单调递增区间为
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(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值.
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综合运用
11.使cos x＝1－m有意义的m的取值范围为
A.m≥0 B.0≤m≤2
C.－11
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因为－1≤cos x≤1，所以－1≤1－m≤1，
所以0≤m≤2.
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13.在△ABC中，角A，B均为锐角，且cos A>sin B，则
A.cos C>0 B.cos C<0
C.cos C＝0 D.cos C≥0
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因为角A，B均为锐角，
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16.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－4，－3]上单调递增，α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f(sin α)>f(cos β).
由f(x＋1)＝－f(x)，
得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
所以函数f(x)是周期函数，且2是它的一个周期.
因为函数f(x)是偶函数且在[－4，－3]上单调递增，所以函数f(x)在[0,1]上单调递增.
又α，β是锐角三角形的两个内角，
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且sin α∈(0,1)，cos β∈(0,1)，
所以f(sin α)>f(cos β).
本课结束