(共75张PPT)
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
第五章 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
学习目标
1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用.
导语
同学们，唐代诗人王维曾写出“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲”，一个“倍”字道出了思念亲人的急迫心情，这里的“倍”何止二倍、三倍，更是百倍、千倍，就像大家期盼寒假一样的心情，同学们，让我们加倍努力，期待我们的成绩加倍提高，说不定，寒假时，你们的父母会对你们有加倍的奖励哦，今天，就让我们共同探究三角函数中的“二倍”关系.
课时对点练
一、二倍角的正弦、余弦、正切公式
二、给值求值
三、倍角公式的综合运用
随堂演练
内容索引
二倍角的正弦、余弦、正切公式
一
问题1 请同学们写出两角和的正弦、余弦、正切公式.
提示 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
问题2 当α＝β时，你能写出sin 2α，cos 2α，tan 2α的表达式吗？
提示 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α；
知识梳理
1.二倍角的正弦公式
sin 2α＝ ，其中α∈R，简记作S2α.
2.二倍角的余弦公式
cos 2α＝cos2α－sin2α＝ ＝ ，其中α∈R，简记作C2α.
2sin αcos α
2cos2α－1
1－2sin2α
注意点：
(1)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去.
注意点：
(4)常见二倍角公式的变形：cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)；
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；
例1
求下列各式的值：
(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°.
对于给角求值问题，一般有两类
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
反思感悟
跟踪训练1
求下列各式的值：
给值求值
二
例2
解决给值求值问题的方法
(1)给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
反思感悟
反思感悟
跟踪训练2
∵θ∈(0，π)，∴sin θ＞0，cos θ＜0，
倍角公式的综合运用
三
例3
(2)若f(B)－m>2恒成立，求实数m的取值范围.
由题意知f(B)－m>2恒成立，
因为0
所以2＋m<－2，所以m<－4，
故实数m的取值范围是(－∞，－4).
反思感悟
要结合之前所学的所有的公式，对它们灵活运用，融会贯通，在解决具体问题时，要注意题目中的隐含条件，要会对三角函数值的符号进行判断.尤其是在三角形中，其最多只有一个直角或钝角，正弦值均为正，余弦和正切值并不一定为正.
跟踪训练3
√
∴sin α>0，cos α<0，
∴cos α－sin α<0，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α
＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)
课堂
小结
1.知识清单：
(1)二倍角公式的推导.
(2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：化简求值开根号时，忽视角的范围、实际问题中隐含的条件.
随堂演练
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sin215°＋cos215°＝1，故选B.
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∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.
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基础巩固
原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°
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由已知可得sin(240°－2α)＝sin[270°－(30°＋2α)]＝－cos(30°＋2α)
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所以m2＝4sin218°，
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因为α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，所以x<0，
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设等腰三角形的底角为α ，则顶角为π－2α.
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因为3π<α<4π，
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综合运用
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sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°
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即2sin x＝1＋cos x成立，即必要性成立，
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∴sin α>0，cos α<0，
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本课结束(共70张PPT)
第3课时 两角和与差的正切公式
第五章 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
学习目标
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值.
3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.
导语
同学们，上节课我们实现了两角和与差的正弦、余弦的展开与合并，今天我们将继续“变脸”，共同探究两角和与差的正切是否也能实现“变脸”.
课时对点练
一、两角和与差的正切公式
二、给值求值(角)
三、两角和与差的正切公式的综合应用
随堂演练
内容索引
两角和与差的正切公式
一
问题1 请同学们写出两角和与差的正弦公式、余弦公式.
提示 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
问题2 同角三角函数中的商数关系是什么？
问题3 你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？
用－β来代替tan(α＋β)中的β即可得到tan(α－β).
知识梳理
注意点：
例1
√
tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°
√
利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换.
反思感悟
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
反思感悟
跟踪训练1
化简求值：
给值求值(角)
二
问题4 根据两角和与差的正切公式的特点以及上述练习，你能写出几种公式的变形形式吗？
提示 T(α＋β)的变形：
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)；
T(α－β)的变形：
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)；
例2
√
延伸探究 若本例条件不变，求tan(α＋β)的值.
(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解.
(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小.
反思感悟
求：(1)tan(α＋β)的值；
跟踪训练2
(2)α＋2β的大小.
∵α，β为锐角，
两角和与差的正切公式的综合应用
三
例3
设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为
A.－3 B.－1 C.1 D.3
√
由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，
反思感悟
当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”的形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围.
跟踪训练3
√
√
∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2(A＋B)＝C，
课堂
小结
1.知识清单：
(1)两角和与差的正切公式的推导.
(2)公式的正用、逆用、变形用.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：公式中加减符号易记错.
随堂演练
√
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2.tan α＝2，tan β＝3，则tan(α＋β)等于
A.1 B.5 C.－1 D.－5
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基础巩固
＝tan 24°.
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∴tan α＋tan β＝tan α·tan β－1，
∴(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan α·tan β
＝1－(tan α·tan β－1)＋tan α·tan β＝2.
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∵28°＋32°＝60°，
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即2tan θ－2tan2θ－tan θ－1＝7－7tan θ，
即2tan2θ－8tan θ＋8＝0，
即2(tan θ－2)2＝0，解得tan θ＝2.
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得tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
所以(1＋tan α)(1＋tan β)
＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2.
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tan β＝tan[(α＋β)－α]
13.角A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.无法确定
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∴C为钝角，即△ABC为钝角三角形.
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∴α＋β∈(0，π)，
∴α＋β＋γ∈(0，π)，
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∴tan α＝tan[(α－β)＋β]
tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]
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本课结束(共76张PPT)
第1课时 两角差的余弦公式
第五章 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
学习目标
1.熟悉两角差的余弦公式的推导过程.
2.掌握两角差的余弦公式的应用.
导语
同学们，大家知道，求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们将会遇到这样一类问题：已知α，β的三角函数值，求α－β的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式.
课时对点练
一、两角差的余弦公式
二、给值求值
三、给值求角
随堂演练
内容索引
两角差的余弦公式
一
问题1 已知角α的终边与单位圆的交点为P，请写出点P的坐标.
提示 P(cos α，sin α).
问题2 观察下图，并阅读教材P215以及右下角的注解部分，分组讨论，你能得到哪些结论？
提示 A(1,0)，P(cos(α－β)，sin(α－β))，A1(cos β，sin β)，P1(cos α，sin α).
连接AP，A1P1，根据圆的旋转对称性，容易发现AP＝A1P1.
问题3 你还记得初中所学两点间的距离公式吗？
由此可得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2.
两角差的余弦公式
cos(α－β)＝ ，其中α，β为任意角，简记作C(α－β).
知识梳理
cos αcos β＋sin αsin β
注意点：
(1)该公式对任意角都能成立.
(2)公式的结构，左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和.
(3)公式的逆用仍然成立.
例1
(1)cos 15°的值是
√
原式＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°
两角差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解.
(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解.
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解.
反思感悟
跟踪训练1
求下列各式的值：
(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°；
原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°
＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°
给值求值
二
问题4 正弦、余弦、正切在每个象限内的符号如何？
提示 正弦在一、二象限为正，三、四象限为负；余弦在一、四象限为正，二、三象限为负；正切在一、三象限为正，二、四象限为负.
例2
√
给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：
反思感悟
跟踪训练2
所以0<α＋β<π，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
给值求角
三
例3
∵β＝α－(α－β)，
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
反思感悟
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.
跟踪训练3
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
∵α，β均为锐角，
课堂
小结
1.知识清单：
(1)两角差的余弦公式的推导.
(2)给角求值、给值求值、给值求角.
2.方法归纳：构造法.
3.常见误区：求角时忽视角的范围.
随堂演练
1.cos 20°等于
A.cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
B.cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C.sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°
D.sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30°
√
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cos 20°＝cos(30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°·sin 10°.
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所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
课时对点练
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9.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点.
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又∵α为锐角，
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(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值.
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∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α
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sin α＋sin β＝－sin γ，cos α＋cos β＝－cos γ，两式分别平方，然后相加即可.
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所以sin Asin C－sin Asin B＝cos Acos B－cos Acos C，
所以cos Acos C＋sin Asin C＝cos Acos B＋sin Asin B，即cos(A－C)＝cos(A－B)，
所以A－C＝A－B或A－C＋A－B＝0，所以C＝B(舍)或A＝60°，所以△ABC为A＝60°的三角形.
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拓广探究
15.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为9∶25，则cos(α－β)的值为
√
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设大的正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为9∶25，
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由题意知tan α＝2.
＝tan α＝2.
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本课结束(共66张PPT)
第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式
第五章 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
学习目标
1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公式.
2.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、计算等.
3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，以及公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.
导语
同学们，大家知道川剧中的“变脸”表演吗？相传“变脸”是古代人类面对凶猛的野兽，为了生存把自己脸部用不同的方式勾画出不同的形态，人们用绝妙的技巧使它成为一门独特的艺术，神奇的表演让观众叹为观止，在三角函数中也有这样的“表演者”，上一节我们学习的两角差的余弦公式就是这样的“表演者”之一，利用它的变换可以解决许多三角变换问题，但仅仅这一个公式还很难满足我们的需要，比如遇到两角差的正弦、正切，两角和的正弦、余弦、正切的时候，该公式无法直接运用，今天我们就利用两角差的余弦公式的“变脸”，对公式进一步拓展.
课时对点练
一、两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式
二、给值求值
三、给值求角
随堂演练
内容索引
两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式
一
问题1 请同学们写出两角差的余弦公式.
提示 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
问题2 试比较cos(α－β)和cos(α＋β)，观察两者之间的联系，你能发现什么？
提示 我们注意到α－β与α＋β有联系，α＋β＝α－(－β)，于是我们可以根据已知的两角差的余弦公式进行展开.即cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos α·cos(－β)＋sin αsin(－β)＝cos αcos β－sin αsin β，于是我们得到了两角和的余弦公式.
1.两角和的余弦公式
cos(α＋β)＝ ，其中α，β∈R，简记作C(α＋β).
2.两角和与差的正弦公式
sin(α＋β)＝ ，其中α，β∈R，简记作S(α＋β)；
sin(α－β)＝ ，其中α，β∈R，简记作S(α－β).
知识梳理
cos αcos β－sin αsin β
sin αcos β＋cos αsin β
sin αcos β－cos αsin β
注意点：
(1)注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”.
(2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序.
例1
√
√
方法二 原式＝cos 70°sin 40°－cos 20°cos 40°
＝sin 40°cos 70°－sin 70°cos 40°
探究解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形使用公式.
反思感悟
跟踪训练1
给值求值
二
例2
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
延伸探究
1.若本例条件不变，求sin(α－β)的值.
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
2.若本例条件不变，求cos(α＋β)的值.
由以上可知cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
给值求值的解题策略
(1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：
①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；
②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
(2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.
反思感悟
跟踪训练2
的值.
所以cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
给值求角
三
例3
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
又∵0<α＋β<π，
因为α，β均为锐角，
又因为α，β均为锐角，
反思感悟
跟踪训练3
因为α和β均为钝角，
课堂
小结
1.知识清单：
(1)公式的推导.
(2)给角求值、给值求值、给值求角.
(3)公式的正用、逆用、变形用.
2.方法归纳：构造法.
3.常见误区：求值或求角时忽视角的范围.
随堂演练
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基础巩固
sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°
2.在△ABC中，sin A·sin BA.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
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∵在△ABC中，sin A·sin B∴cos(A＋B)>0，∴cos C<0，
则C为钝角，故△ABC是钝角三角形.
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7.已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ .
∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1， ①
cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0， ②
①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，
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＝2sin(15°－45°)
＝2sin(－30°)
＝－1.
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∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α
＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α
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所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]
＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)
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(2)β的值.
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α·sin(α－β)
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∴－2≤m－1≤2，即－1≤m≤3.
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拓广探究
15.“在△ABC中，cos Acos B＝ ＋sin Asin B”，已知横线处是一个实数.甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角，则实数a，b，c的大小关系是 .
b1
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当C是锐角时，－1<1，故b1
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(2)求2α＋β的值.
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cos(2α＋β)＝cos[(α＋β)＋α]
＝cos(α＋β)cos α－sin α·sin(α＋β)
本课结束