(共70张PPT)
第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象(二)
第五章 §5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
学习目标
1.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.
2.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
一、y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系
二、“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
随堂演练
课时对点练
内容索引
y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系
一
问题1 根据上节课所学，你能由函数y＝sin x经过平移变换、伸缩变换变换成函数y＝Asin(ωx＋φ)吗？
问题2 在函数的变换过程中，一定是先平移再伸缩吗？如果能先伸缩，那么平移的单位长度一样吗？
知识梳理
由函数y＝sin x的图象得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的两种途径可以通过图形表示，如图.
注意点：
(1)两种变换仅影响平移的单位长度，其余参数不受影响.
(2)若相应变换的函数名称不同，要先用诱导公式转化为同名的三角函数，再进行平移或伸缩.
例1
反思感悟
先平移后伸缩和先伸缩后平移，平移的量是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而导致错误.弄清平移对象是减少错误的关键.
跟踪训练1
即为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，
“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
二
问题3 用“五点法”作函数y＝sin x的图象时，找哪五个关键点？
例2
描点连线，画图如右.
描点连线，画图如右.
列表如下：
反思感悟
“五点法”作图的实质
(1)利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
(2)用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤第一步：列表.
反思感悟
第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点.
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象.
(3)在画指定区间上的函数图象时，先由x的第一个取值确定ωx＋φ整体取的第一个值，然后再确定ωx＋φ整体后面的取值.
跟踪训练2
(1)用“五点法”作出它在一个周期内的简图；
描点、连线，如图所示.
列表：
(2)该函数的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
课堂
小结
1.知识清单：
(1)平移变换.
(2)伸缩变换.
(3)图象的画法.
2.方法归纳：五点法、数形结合法.
3.常见误区：忽视先平移和先伸缩作图时平移的量不一样.
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2.已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能是
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当a＝0时，f(x)＝1，C符合；
当0<|a|<1时，T>2π，且最小值为正数，A符合；
当|a|>1时，T<2π，且最小值为负数，B符合，排除A，B，C.
D项中，图中a>1，∴T<2π，而由图象知T>2π，矛盾，故选D.
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所以ω＝－12k－1，k∈Z，
所以ω可取－1，此时k＝0.
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f(x)＝
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描点连线，图象如图.
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描点连线，图象如图所示.
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(3)试问f(x)是由g(x)＝sin x经过怎样的变换得到？
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13.把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移1个单位长度，最后向下平移1个单位长度，得到的图象是
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由题意，y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的解析式为y＝cos x＋1；
再向左平移1个单位长度，所得图象的解析式为y＝cos(x＋1)＋1；
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①②
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若函数g(x)在(0，π)上恰有5个零点，
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因为ω>0，根据题意有
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由f(x)＝2sin 2x可得，
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故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，
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本课结束(共78张PPT)
第4课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质(二)
第五章 §5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
学习目标
1.结合三角恒等变换中的有关公式，研究三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合性问题.
2.构建三角函数模型，解决实际问题.
导语
同学们，大家有没有看过武侠玄幻之类的电影，大家是不是经常被里面武功盖世的男女主人公所吸引，显然，练就一身好武功，需要对每一个动作追求完美，在这个过程中需要付出常人所不能及的泪水与汗水，同学们，到目前为止，我们已经把三角函数中的每一个“动作”都已训练完毕，现在，我们要把这些“动作”组合在一起，去发挥它更大的作用.
一、函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合问题
二、利用函数y＝Asin(ωx＋φ)解决实际问题
随堂演练
课时对点练
内容索引
函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合问题
一
问题1 如何利用辅助角公式对函数y＝asin x＋bcos x进行合并？
例1
将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到g(x)的图象，
反思感悟
对于综合性问题，需要准备之前所学知识，熟悉诱导公式、两角和差的正弦余弦公式、二倍角公式等，熟悉三角函数的性质，函数图象的特点.
跟踪训练1
所以函数y＝f(x)的最小正周期T＝π，
再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝cos x的图象，故g(x)＝cos x，
当x＝0时，函数g(x)取得最大值，g(0)＝1，
所以k＝g(x)有解，
利用函数y＝Asin(ωx＋φ)解决实际问题
二
问题2 结合三角函数周期性的变换规律，你认为生活中哪些现象可以构造三角函数模型？
提示 转动的摩天轮、潮起潮落、每天的气温变化等.
例2
建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过28 ℃时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温(单位：℃)随时间(0≤t≤24，单位：h)的大致变化曲线，该曲线近似地满足函数关系y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π).
(1)求函数y＝f(t)的解析式；
由题图知，T＝2(14－2)＝24，
将点(2,16)代入函数解析式得，
(2)请根据(1)的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？
解得24k＋10令k＝0，得10故中央空调应在上午10时开启，下午18时关闭.
反思感悟
解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行
(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论.
(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化.
(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解.
(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解.
(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.
跟踪训练2
(1)求函数的解析式，并作出函数f(x)在[0,4π]内的简图；
求出对应的函数值，并描点和绘制函数图象，如图所示.
(2)求海水水深持续加大的时间区间.
求海水水深持续加大的时间区间，
即求f(x)的单调递增区间.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)三角函数的综合应用.
(2)构造三角函数模型解决实际问题.
2.方法归纳：辅助角公式、待定系数法.
3.常见误区：易忽视实际问题中自变量的取值范围.
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4.关于函数f(x)＝sin(x＋φ)(x∈R)，下列命题正确的是
A.存在φ，使f(x)是偶函数
B.对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
C.存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数
D.对任意的φ，f(x)都不是奇函数
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对于B，当φ＝kπ，k∈Z时，函数f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数，所以B错误；
对于C，由选项A, B的分析，不存在φ∈R，使函数f(x)＝sin(x＋φ)既是奇函数，又是偶函数，所以C错误；
对于D，当φ＝kπ，k∈Z时，函数f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数，所以D错误.
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10.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象.
(1)根据以上数据，求其最小正周期和函数解析式；
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又当t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
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(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
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∵当y>1时，才对冲浪爱好者开放，
解得12k－3又0≤t≤24，∴0≤t<3或9∴在规定时间内冲浪爱好者只有6个小时可以进行活动，即9经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是
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11.设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/米 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
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又当t＝0时，函数值等于12，
∴12＋3sin φ＝12，∴sin φ＝0，
∴φ＝kπ，k∈Z，
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又当t＝3时，函数值约等于15，
∴k＝0，∴φ＝0.
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12.设f(x)＝sin 3x－cos 3x，把y＝f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后，恰好得到函数g(x)＝－sin 3x＋cos 3x的图象，则φ的值可以为
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当k＝1时，φ＝π.
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∴y＝sin x＋cos x－2sin xcos x＝t－t2＋1
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(1)当C是扇形弧上的四等分点(靠近Q)时，求点C的纵坐标；
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(2)当C在扇形弧上运动时，求矩形ABCD面积的最大值.
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则S＝AB·BC＝(OB－OA)·BC
本课结束(共79张PPT)
第3课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质(一)
第五章 §5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
学习目标
1.会通过函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式.
2.结合正弦函数的性质，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质.
导语
同学们，大家有没有听说过一个成语“可见一斑”，大家知道这是什么意思吗？对，它比喻见到事物的一小部分也能推知事物的整体，大家想一想，这不正是说的三角函数吗？大家知道，三角函数是周期函数，故如果我们知道了一个周期上的三角函数的性质，这个时候是不是可以“可见一斑”了？
一、已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
二、函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质
随堂演练
课时对点练
内容索引
已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
一
问题1 确定三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，就要确定三角函数的哪些参数？
提示 A，ω，φ的值.其中A影响的是函数的最大、最小值，ω影响的是函数的周期.
问题2 观察下图，你能说说这个图象有什么特点吗？
提示 这是一个周期上的函数图象，周期为π，最大值是3，最小值是
－3.除此以外，我们还可以得到函数的单调性、对称轴、对称中心、函数的零点等函数的性质.由此，我们可以推出整个函数的性质.
例1
方法一 (逐一定参法)
由图象知A＝3，
∴y＝3sin(2x＋φ).
方法二 (待定系数法)
方法三 (图象变换法)
反思感悟
给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
反思感悟
(2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式.
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数.
跟踪训练1
函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质
二
问题3 你能用正弦函数y＝sin x的性质类比三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质吗？
提示 可以，利用整体代换的思想，当A>0，ω>0时，用ωx＋φ整体代换正弦函数中的x即可.
知识梳理
函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的有关性质
名称 性质
定义域 R
值域 [－A，A]
周期性 T＝
对称性 对称中心
对称轴
奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数
单调性 通过整体代换可求出其单调区间
例2
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合.
反思感悟
(1)正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法
反思感悟
(2)与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧
①结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.
②确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间.若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间.
跟踪训练2
由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，
即函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值，
即sin φ＝1或－1.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)由图象求三角函数的解析式.
(2)三角函数的性质的综合问题.
(3)三角函数的实际应用.
2.方法归纳：特殊点法、数形结合法.
3.常见误区：求φ值时递增区间上的零点和递减区间上的零点的区别.
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A.5 B.4 C.3 D.2
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4.若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω等于
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8.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所
示，则f(0)＝________.
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(1)求出函数f(x)的解析式；
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所以g(x)∈[1,4]，
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所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)＝0,
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)
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＝252×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)]＋f(2 017)＋f(2 018)＋…＋f(2 022)
＝f(2 017)＋f(2 018)＋…＋f(2022)
＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)
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设图象对应的函数为y＝Asin(ωx＋φ)＋b，
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x 0 1 2 3 4
y 1 0 1 －1 －2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函
数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式应是________________.
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由题意可知(0,1)，(2,1)关于对称轴对称，且对称轴x＝1，可知第二组数据错误，函数在x＝1处取得最大值；
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本课结束(共80张PPT)
第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象(一)
第五章 §5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
学习目标
1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中φ，ω，A对图象的影响.
2.会利用图象的变换解决简单的问题.
导语
如图是观缆车的示意图，设缆车转轮半径长为A，角速度为ω rad/s. 点P0表示座椅的初始位置.此时∠xOP0＝φ.当转轮转动t s后，点P0到达点P的位置，于是，以Ox为始边，OP为终边的角为ωt＋φ，由正弦函数的定义，得点P的纵坐标y与时
间t的函数关系为y＝Asin(ωt＋φ).
这种函数我们称为正弦型函数，那么正弦型函数的图象与正弦曲线有何关系呢？
课时对点练
一、φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响
二、ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
三、A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
随堂演练
内容索引
φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响
一
知识梳理
φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响
左
右
例1
延伸探究
反思感悟
跟踪训练1
√
向右平移
ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
二
问题2 观察下图，你能发现什么？
ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
知识梳理
缩短
伸长
例2
√
反思感悟
跟踪训练2
函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，
得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为_____.
A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
三
A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
知识梳理
伸长
缩短
例3
伸长
3
反思感悟
在研究A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响时，由y＝sin(ωx＋φ)纵坐标(横坐标不变)变成原来的A倍即可得到y＝Asin(ωx＋φ).
跟踪训练3
√
课堂
小结
1.知识清单：
(1)平移变换.
(2)伸缩变换.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：探究平移变换时，需要保证x的系数为1.
随堂演练
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＝－sin 2x.
因为－sin(－2x)＝sin 2x，所以所得图象对应的函数是奇函数.
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所以ωπ＝kπ，k∈N*，即ω＝k，k∈N*，
因此正数ω的最小值是1.
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拓广探究
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∵f(x)的最小正周期为π，
∴f(x)＝Asin 2x，
将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
所得图象对应的函数为g(x)＝Asin x，
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∴A＝2，∴f(x)＝2sin 2x，
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(2)求实数a和正整数n，使得F(x)＝f(x)－a在[0，nπ]上恰有2 022个零点.
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因为F(x)＝f(x)－a在[0，nπ]上恰有2 022个零点，
故函数f(x)的图象与直线y＝a在[0，nπ]上有2 022个交点，
①当a>1或a<－1时，函数f(x)的图象与直线y＝a在[0，nπ]上无交点；
②当a＝1或a＝－1时，函数f(x)的图象与直线y＝a在[0，π]上仅有一个交点，此时要使得函数f(x)的图象与直线y＝a在[0，nπ]上有2 022个交点，则n＝2 022；
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本课结束
