(共83张PPT)
第1课时 三角函数的应用(一)
第五章 §5.7 三角函数的应用
学习目标
1.了解生活中具有周而复始、循环往复特点的现象.
2.通过构建三角函数模型，尝试解决物理中的简单问题.
导语
现实世界中，许多事物的运动、变化呈现出一定的周期性，例如，地球的自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；海水在月球和太阳引力下发生的涨落现象；做简谐运动的物体的位移变化；人体在一天中血压、血糖浓度的变化等等，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它可以借助三角函数来描述，利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题，今天，我们就一起来探究如何构建三角函数模型解决实际问题.
课时对点练
一、简谐运动
二、三角函数“拟合”模型的应用
三、三角函数在物理中的应用
随堂演练
内容索引
简谐运动
一
问题1 现实生活中存在大量周而复始、循环往复特点的周期运动的变化现象，你能举出哪些例子？
提示 弹簧振子的运动，钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，日出日落，潮涨潮落，一天温度的变化，一天人员流动的变化等等.很显然，三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)可以更好的“拟合”这种周期性的变化.
问题2 某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间的对应数据如下表所示.试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式.
t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
y －20.0 －17.8 －10.1 0.1 10.3 17.7 20.0
t 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
y 17.7 10.3 0.1 －10.1 －17.8 －20.0
提示 振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y＝Asin(ωt＋φ)来刻画.
根据已知数据作出散点图，如图所示.
知识梳理
1.在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.
2.A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
注意点：
例1
3πx－π
所以相位ωx＋φ＝3πx－π.
反思感悟
若y＝Asin(ωx＋φ)是一个简谐运动的解析式，则A>0，ω>0，若A，ω不满足条件，则利用诱导公式变形，使之满足，再根据概念求值.
弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的
A.频率为1.5 Hz B.周期为1.5 s
C.周期为6 s D.频率为6 Hz
跟踪训练1
√
三角函数“拟合”模型的应用
二
例2
下表所示的是某地2000～2021年的月平均气温(华氏度).
月份 1 2 3 4 5 6
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立平面直角坐标系.
(1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据；
根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示.
(2)这个函数的周期是多少？
月份 1 2 3 4 5 6
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
(3)估计这个正弦曲线的振幅A；
2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，
∴A＝25.8.
月份 1 2 3 4 5 6
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，
∴②不适合，同理④不适合，∴③最适合.
反思感悟
处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤
(1)根据原始数据绘出散点图.
(2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.
(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.
跟踪训练2
下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时)：
时间(时) 0 2 4 6 8 10 12
温度(℃) 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2
时间(时) 14 16 18 20 22 24
温度(℃) 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8
(1)作出这些数据的散点图；
散点图如图所示.
(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据.
时间(时) 0 2 4 6 8 10 12
温度(℃) 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2
时间(时) 14 16 18 20 22 24
温度(℃) 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8
设t时的体温y＝Asin(ωt＋φ)＋c，
时间(时) 0 2 4 6 8 10 12
温度(℃) 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2
时间(时) 14 16 18 20 22 24
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时间(时) 0 2 4 6 8 10 12
温度(℃) 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2
时间(时) 14 16 18 20 22 24
温度(℃) 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8
三角函数在物理中的应用
三
例3
已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).
由题图可知A＝300，
∴ω≥300π>942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943.
反思感悟
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性.
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
跟踪训练3
列表如下：
描点、连线，图象如图所示.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)简谐运动.
(2)函数的“拟合”.
(3)三角函数在物理中的应用.
2.方法归纳：数学建模、数形结合.
3.常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际问题.
随堂演练
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4.如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________ s往返一次.
0.8
课时对点练
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基础巩固
2.音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝ sin ωt.图2是该函数在一
个周期内的图象，根据图中数据可确
定ω的值为
A.200 B.400 C.200π D.400π
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得I＝2.5 A.
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∴I＝300sin(100πt＋φ).
6.(多选)如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是
A.该质点的运动周期为0.8 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
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最小值为－5，所以振幅为5 cm；
在0.1 s和0.5 s时，质点到达运动的端点，所以速度为0.
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描点、连线，画图如下.
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(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置是多少？
小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置为3 cm.
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.
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③小球来回摆动一次需要多少时间？
小球来回摆动一次需要1 s(即周期).
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10.平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)是随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：小时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如下表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
(1)根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从①y＝Asin(ωt＋φ)，②y＝Acos(ωt＋φ)＋b，③y＝－Asin ωt＋b(A>0，ω>0，－π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；
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根据表中近似数据画出散点图，如图所示.
依题意，选②y＝Acos(ωt＋φ)＋b作为函数模型，
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又∵函数图象过点(3,2.4)，
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(2)为保证队员安全，规定在一天中5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全？
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∴12k－1≤t≤12k＋7，
又∵5≤t≤18，
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∴5≤t≤7或11≤t≤18，
∴这一天安排早上5点至7点以及11点至18点组织训练，能确保集训队员的安全.
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综合运用
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13.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12 h，低潮时水深为9 m，高潮时水深为15 m.每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的图象，其中0≤t≤24，且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是
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14.如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系.
时刻t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
水深(m) 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
若该港口的水深y(m)和时刻t(0≤t≤24)的关系可用函数y＝Asin ωt＋h(其中A>0，ω>0，h>0)来近似描述，则该港口在11：00的水深为______m.
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由题意得函数y＝Asin ωt＋h(其中A>0，ω>0，h>0)的周期为T＝12，
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拓广探究
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15.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，青岛市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9500
(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x 1 2 3
y 10 000 9 500 ？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是
A.10 000元 B.9 500元
C.9 000元 D.8 500元
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因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，
所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；
当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，
3
所以当x＝3时，y＝9 000.
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16.在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果(时间近似到0.1小时)，结果如下表所示：
日期 1月 1日 2月 28日 3月 21日 4月 27日 5月 6日 6月 21日 8月 13日 9月 20日 10月 25日 12月
21日
日期位置 序号x 1 59 80 117 126 172 225 263 298 355
存活时间 y小时 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4
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(1)试选用一个形如y＝Asin(ωx＋φ)＋t的函数来近似描述一年(按365天计)中该细菌一天内存活的时间y与日期位置序号x之间的函数解析式；
日期 1月 1日 2月 28日 3月 21日 4月 27日 5月 6日 6月 21日 8月 13日 9月 20日 10月 25日 12月
21日
日期位置 序号x 1 59 80 117 126 172 225 263 298 355
存活时间 y小时 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4
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细菌存活时间与日期位置序号x之间的函数解析式满足y＝Asin(ωx＋φ)＋t，由已知表可知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，
∴19.4－5.4＝14，故A＝7.
又19.4＋5.4＝24.8，故t＝12.4.
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(2)用(1)中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于
15.9小时.
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日期 1月 1日 2月 28日 3月 21日 4月 27日 5月 6日 6月 21日 8月 13日 9月 20日 10月 25日 12月
21日
日期位置 序号x 1 59 80 117 126 172 225 263 298 355
存活时间 y小时 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4
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∴这种细菌一年中大约有121天(或122天)的存活时间大于15.9小时.
本课结束(共73张PPT)
第2课时 三角函数的应用(二)
第五章 §5.7 三角函数的应用
学习目标
1.通过构建三角函数模型解决生活中一些简单的问题.
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
课时对点练
一、三角函数图象类问题
二、三角函数在生活中的应用
三、三角函数在几何中的应用
随堂演练
内容索引
三角函数图象类问题
一
例1
如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的 的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是
√
设 所对的圆心角为α，则α＝l，
反思感悟
解决函数图象与实际问题对应问题的策略：一般方法是根据已知所反映出来的性质解决，充分利用图象中的几何关系.此外特殊点也可以作为判断的好方法.
跟踪训练1
√
三角函数在生活中的应用
二
例2
t∈[0,24]，
所以f(t)在[0,24]上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？
依题意，得当f(t)>11时实验室需要降温.
故在10时至18时实验室需要降温.
反思感悟
解三角函数应用问题的基本步骤
跟踪训练2
健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～
90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)＝25sin 160πt＋115，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
即此人每分钟心跳的次数为80.
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较.
p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，
p(t)min＝115－25＝90(mmHg)，
即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内.
三角函数在几何中的应用
三
例3
甲同学从一个半径为r的半圆形铁板中截取一块矩形ABCD，记其最大面积为S甲，乙同学从一个半径为R的圆形铁板中截取一块矩形EFGH，记其最大面积为S乙，试问r和R满足什么关系时，S甲＝S乙？说明理由.
如图所示，甲图中，O是半圆圆心，设∠COD＝θ，
则CD＝rsin θ，OC＝rcos θ，
S矩形ABCD＝2OC·CD＝2rcos θ·rsin θ＝r2sin 2θ，
乙图中，设∠EGF＝α，则EF＝2Rsin α，则FG＝2Rcos α，
S矩形EFGH＝EF·FG＝2Rcos α·2Rsin α＝2R2sin 2α，
反思感悟
利用三角函数解决几何问题，首先要审清题意，然后要明确角的取值范围，最后一定要回归到实际问题当中去.
跟踪训练3
如图，在矩形OABC中，AB＝1，OA＝2，以B为圆心、BA为半径在矩形内部作弧，点P是弧上一动点，PM⊥OA，垂足为M，PN⊥OC，垂足为N，则四边形OMPN的周长的最小值为___________.
则PM＝1－sin α，PN＝2－cos α，
周长C＝6－2(sin α＋cos α)，
因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α，
所以要让周长最小，即让sin α＋cos α最大，
即sin 2α最大，
课堂
小结
1.知识清单：
(1)三角函数在生活中的应用.
(2)三角函数在几何中的应用.
2.方法归纳：数学建模、数形结合.
3.常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际问题.
随堂演练
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1.函数y＝x＋sin |x|，x∈[－π，π]的大致图象是
A.5 B.6
C.8 D.10
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根据图象得函数的最小值为2，
有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.
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由题意知当t＝14时，f(t)＝7.
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4.某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度与时间之间关系
的一个三角函数为_____________________.
设所求函数为y＝Asin(ωt＋φ)＋b，
课时对点练
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基础巩固
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2.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则下列时间段内人流量是增加的是
A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15] D.[15,20]
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3.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为
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如图，过点M作MD⊥OP于点D，则由题意可得PM＝sin x，OM＝|cos x|，
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5.如图是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则
6.(多选)如图，一个水轮的半径为6 m，水轮轴心O距离水面的高度为3 m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时的起始(图中点P0)开始计时，记f(t)为点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数，则下列结论正确的是
A.f(3)＝9
B.f(1)＝f(7)
C.若f(t)≥6，则t∈[2＋12k，5＋12k](k∈N)
D.不论t为何值，f(t)＋f(t＋4)＋f(t＋8)是定值
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所以点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数为
所以f(1)＝f(7)，选项B正确；
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展开整理得f(t)＋f(t＋4)＋f(t＋8)＝9为定值，选项D正确.
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由图象可知，A＝10，
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8.如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为______________________.
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设h＝Asin(ωt＋φ)，
由图象知A＝6，T＝12，
点(6,0)为五点法作图中的第一点，
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9.通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象.某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的解析式；
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(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
所以届时学校后勤应该开空调.
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当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30 ℃，
当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 ℃，
所以最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.
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(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
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综合运用
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＝sin t－sin t＝0，
∴三个振动源同时开始工作时，水面仍保持平静.
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12.一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32 m
(即OM长)，巨轮的半径长为30 m，AM＝BP＝2 m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t) m，则h(t)等于
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13.从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示(均为正弦型曲线)：
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体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期(前半个周期)和低潮期(后半个周期).它们在一个周期内的表现如下表所示：
高潮期 低潮期
体力 体力充沛 疲倦乏力
情绪 心情愉快 心情烦躁
智力 思维敏捷 反应迟钝
如果从同学甲出生到今日的天数为5 860，那么今日同学甲
A.体力充沛，心情烦躁，思维敏捷 B.体力充沛，心情愉快，思维敏捷
C.疲倦乏力，心情愉快，思维敏捷 D.疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝
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由图中数据可知体力的周期为T1＝23，情绪的周期为T2＝28，智力的周期为T3＝33.
从同学甲出生到今日的天数为5 860，
故对于体力，有5 860＝23×254＋18，处于低潮期，疲倦乏力；
对于情绪，有5 860＝28×209＋8，处于高潮期，心情愉快；
对于智力，有5 860＝33×177＋19，处于低潮期，反应迟钝；
故今日同学甲疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝.
故选D.
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所以A＝20.
当t＝150(天)时达到最低油价，
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因为ω>0，所以令k＝1，
A.5：00至5：30 B.5：30至6：00
C.6：00至6：30 D.6：30至7：00
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拓广探究
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15.海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行.某船吃水深度(船底与水面距离)为4米，安全间隙(船底与海底距离)为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以0.3米/时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择y＝Asin(ωx＋φ)＋K(A>0，ω>0)拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在(要考虑船只驶出港口需要一定时间)
√
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
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水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
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设在时刻x时货船的安全水深为y米，那么y＝5.5－0.3(x－2)(x≥2).在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象，可看到在6～7时之间两个函数图象有一个交点，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在6：00
～6：30之间.
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16.据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B ，x为月份.已知3月份该商品的价格首
次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元.
(1)求f(x)的解析式；
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(2)求此商品的价格超过8万元的月份.
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又1≤x≤12，x∈N*，∴x＝2,3,4,10,11,12.
即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元.
本课结束
