初中数学苏科版八年级上册3.2勾股定理逆定理 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·惠州期末）下列各线段的长，能构成直角三角形的是
A．2，3，4 B．5，12，13 C．4，6，9 D．5，11，13
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.22+32≠42，不能构成直角三角形；
B.52+122=132，可以构成直角三角形；
C.42+62≠92，不能构成直角三角形；
D.52+112≠132，不能构成直角三角形。
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理，分别进行判断得到答案即可。
2．（2020八下·淮滨期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a＝9，b＝12，c＝15
C．∠A：∠B：∠C＝5：2：3 D．∠C﹣∠B＝∠A
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A .a+b=32+42=25=52=c，构不成三角形，也就不可能是直角三角形了，故符合题意；
B.a2+b2=92+122=225=152=c2，根据勾股定理逆定理可以判断，△ABC是直角三角形，故不符合题意；
C.设∠A、∠B、∠C分别是5x、2x、3x，5x+2x+3x=180，x=18，∠A=90°，所以△ABC是直角三角形，故不符合题意；
D.∠C﹣∠B＝∠A，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形，故不符合题意，
故答案为：A.
【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可.
3．（2018八上·紫金期中）已知△ABC的三边分别是6，8，10，则△ABC斜边上的高是（ ）
A．2 B．2.4 C．4 D．4.8
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】由62+82=102，可知ΔABC是直角三角形，则斜边上的高=（6×8）÷10=4.8。
故答案为：D。
【分析】此题主要通过三边的关系判定ΔABC是直角三角形，然后利用直角边求出ΔABC的面积，再除以斜边就可以求出ΔABC斜边上的高。
4．（2020八上·淮阳期末） 的三边 ，且 ，下列结论正确的是（ ）
A． 是等腰直角三角形且
B． 是直角三角形或等腰三角形
C． 是直角三角形，且
D． 是直角三角形，且
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵
∴
∴ 是直角三角形，且
故答案为：D
【分析】将 进行化简后，根据勾股逆定理进行判断即可
5．（2020八下·太原期中）如图，已知 中， 的垂直平分线分别交 于 连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴ ,
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
在Rt△BCD中， ,
∴ ,
解得CD= ，
故答案为：C.
【分析】先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD，由此根据勾股定理求出CD.
6．（2019八上·宝鸡月考）有下面的判断：
①若△ABC中，a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2＋b2=c2；③若△ABC中，a2－b2=c2，则△ABC是直角三角形；④若△ABC是直角三角形，则(a＋b)(a－b)=c2.其中判断正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】①c不一定是斜边，①错误；
②根据勾股定理可得②正确；
③根据勾股定理的逆定理可得③正确；
④若△ABC是直角三角形，c是斜边，则（a+b）（a-b）=c2，④正确.
共2个正确.
故答案为：C.
【分析】要判断一个三角形是否是直角三角形，根据勾股定理的逆定理只需验证两较短边的平方是否等于最长边的平方即可判断求解.
7．如下图五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】由于7，24，25是一组勾股数，15，20，25是一组勾股数，故勾股数构成直角三角形，故答案为：C。
【分析】由于7，24，25是一组勾股数，15，20，25是一组勾股数，故勾股数构成直角三角形。
8．（2019八上·绥化月考）三角形的三边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】(a＋b)2－c2=2ab，即a2+b2+2ab－c2=2ab，所以a2+b2=c2，所以三角形为直角三角形．
故答案为：B．
【分析】由(a＋b)2－c2=2ab变形可得a2+b2=c2，利用勾股定理的逆定理判断即可.
9．（2018八上·扬州月考）在⊿ 中，若 ，则⊿ 是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴三角形为直角三角形，
故答案为：D.
【分析】由于该三角形三边满足较小两边的平方和等于最大边的平方，故该三角形是直角三角形。
10．（2019八上·陵县月考）已知 ， ， 是 的三边，如果满足 ，则三角形的形状是
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：
∵ ， ， 是 的三边
∴
∴ 或
解得： 或
∴ 是等腰三角形或直角三角形.
故答案为：C.
【分析】将等号右侧式子移到左侧，再将其因式分解，然后根据：若xy=0，则x=0或y=0，判断即可.
二、填空题
11．（2020八下·海林期末）一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】由题意，设这个三角形的三边长分别为
则
解得
则这个三角形的三边长分别为
又
这个三角形是直角三角形，且两直角边长分别为
则它的面积是
故答案为： ．
【分析】设这个三角形的三边长分别为 ，再根据周长可求出x的值，从而可得三边长，然后利用勾股定理的逆定理可得这个三角形是直角三角形，最后利用直角三角形的面积公式即可得．
12．已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为 三角形．
【答案】直角
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵a+b=10，ab=18，c=8，
∴（a+b）2﹣2ab
=100﹣36
=64，
c2=64，
∴a2+b2=c2，
∴此三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
【分析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．
13．如果△ABC的三边长a、b、c满足关系式（a+2b﹣60）2+|b﹣18|+|c﹣30|=0，则△ABC的形状是 ．
【答案】直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： ，
∵242+182=302，
即a2+b2=c2，
∴△ABC的形状是直角三角形．
故答案是：直角三角形．
【分析】首先根据非负数的性质即可列出方程组求得a，b，c的值，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断．
14．（2020八下·哈尔滨期中）在△ABC 中，若 ，则最长边上的高为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵ ，
将两个方程相加得： ，
∵a＞0，
∴a=4
代入得： ，
∵b＞0，
∴b=3，
∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理，
∴△ABC是直角三角形，
如下图，∠ACB=90°，CD⊥AB，
，
即： ，
解得：CD= ，
故答案为： .
【分析】解方程 可求得a=4，b=3，故三角形ABC是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.
15．（2020八下·广州期中）已知a，b，c为三角形的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，那么它的形状是 ．
【答案】直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
【知识点】因式分解的应用；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴c2（a2 b2）＝（a2＋b2）（a2 b2），
移项得：c2（a2 b2） （a2＋b2）（a2 b2）＝0，
因式分解得：（a2 b2）[c2 （a2＋b2）]＝0，
则当a2 b2＝0时，a＝b；当a2 b2≠0时，a2＋b2＝c2；
所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
故答案为：直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
【分析】将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；根据等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形．
16．已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．则四边形ABDC的面积是 ．
【答案】36
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接BC，
∵∠A＝90°，AB＝4，AC＝3
∴BC＝5，
∵BC＝5，BD＝13，CD＝12
∴BC2+CD2＝BD2
∴△BCD是直角三角形
∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABC＝×4×3+ ×5×12＝36。
故答案为：36
【分析】连接BC，三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理可求出BC的长为5，再根据勾股定理的逆定理可以判定以CD、BD和BC为边的三角形BCD为直角三角形，则四边形ABCD的面积可以用直角三角形ABC与直角三角形BDC的面积之和来求得。
17．（2018八上·无锡期中）如图，已知CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m．图中阴影部分的面积= m2．
【答案】96
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵CD=6m，AD=8m，∠ACD=90°，
∴AC=10m，S△ADC= ×6×8=24（m2）.
∵AC=10m，CB=24m，AB=26m，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形.
∵△ABC是直角三角形，AC=10m，CB=24m，
∴S△ABC= ×10×24=120（m2），
∴S△ABC-S△ADC=120-24=96（m2）.
即图中阴影部分的面积为96m2.
故答案为：96.
【分析】根据勾股定理求出AC,再根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形,利用三角形的面积公式求出△ABC和△ADC的面积，进而求出阴影部分的面积。
18．如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，点P的速度都是1cm/s，点Q的速度都是2cm/s当点P到达点B时，P、Q两点停止．当t= 时，△PBQ是直角三角形．
【答案】 或
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=3cm，∠A=∠B=∠C=60°，
当∠PQB=90°时，∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ．
∵BP=3﹣t，BQ=2t，
∴3﹣t=2×2t，
解得t= ；
当∠QPB=90°时，∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
∴2t=2（3﹣t），
解得t= ．
答：当t= 或 时，△PBQ是直角三角形．
故答案为： 或 ．
【分析】先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论．
三、解答题
19．（2020八下·海勃湾期末）若△ABC三边长为a，b，c满足a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，试判断△ABC的形状．
【答案】解：如下图所示， 为直角三角形，理由如下：
∵
∴
∴
∴a=6，b=8，c=10
∴
又∵a，b，c分别为 三边的长度
∴ 为直角三角形．（勾股定理的逆定理）
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题先由已知条件得到 ，进而得到 ，再由勾股定理的逆定理判断 的形状为直角三角形．
20．（2020八下·漯河期中）已知：如图，四边形ABCD中，∠B=90°,AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积
【答案】解：连结AC,在Rt△ABC中
∵
在△ADC中
∵ ，
∴
∴△ADC是直角三角形, ∠ACD=90°
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，根据勾股定理可求AC，再利用勾股定理逆定理可判定△ACD为直接三角形，进而可求答案.
21．（2020八下·马山期末）如图，四边形ABCD中， ， ， ， ， ，求四边形ABCD的面积.
【答案】解：连接AC
在Rt△ABC中，AB=3cm，BC=4cm
AC=5cm
在△ADC中，CD=12cm，DA=13cm
即AC2+CD2=AD2
△ADC是直角三角形，∠ACD=90°
S四边形ABCD=S△ADC-S△ABC
S四边形ABCD= ×AC×CD— ×AB×BC
= ×5×12— ×4×3
=24（cm ）
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】四边形ABCD是不规则图形，连接AC，则转化为规则图形，S=S△ACD-S△ACB；在 在Rt△ABC中 ，根据勾股定理求出AC=5；再根据勾股定理的逆定理判断出 △ADC是直角三角形，进而求出四边形ABCD的面积。
22．（2019八上·德惠月考）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，CD＝2，AD＝3，连接AC．
（1）求AC的长；
（2）判断三角形ACD的形状，并求出四边形ABCD的面积．
【答案】（1）解：∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，
∴AC2＝AB2+BC2＝4+1＝5，
∴AC＝ ；
（2）解：∵△ACD中，AC＝ ，CD＝2，AD＝3，
∴AC2+CD2＝5+4＝9，AD2＝9，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积＝1×2÷2+2× ÷2＝1+ ．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC，利用勾股定理计算斜边即可.（2）在△ACD中，利用勾股定理验证得出△ACD为直角三角形，再计算面积.
23．（2020八下·涿鹿期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．
（1）△ACD是直角三角形吗？为什么？
（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
【答案】（1）解：如图，连接AC，
在Rt△ABC中，∵AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，AB2+CB2＝AC2
∴AC＝5cm，
在△ACD中，AC＝5cmCD＝12m，DA＝13m，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°；
（2）解：∵S△ABC＝ ×3×4＝6，S△ACD＝ ×5×12＝30，
∴S四边形ABCD＝6+30＝36，
费用＝36×80＝2882（元）．
答：铺满这块空地共需花费2882元．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC，在△ACD中，易求AC2+CD2＝AD2，再利用勾股定理的逆定理可知△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°；（2）分别利用三角形的面积公式求出△ABC、△ACD的面积，两者相加即是四边形ABCD的面积，再乘以80，即可求总花费．
24．（2020八下·安阳期末）已知在 中，D是 的中点， ，垂足为D，交 于点E，且 .
（1）求 的度数；
（2）若 , ，求 的长.
【答案】（1）解：连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE＝BE.
∵BE2 AE2＝AC2，
∴AE2＋AC2＝CE2.
∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°；
（2）解：在Rt△BDE中，BE＝ ＝5.
所以CE＝BE＝5.
设AE＝x，则在Rt△AEC中，AC2＝CE2 AE2，
所以AC2＝25 x2.
∵BD＝4，
∴BC＝2BD＝8.
在Rt△ABC中，根据BC2＝AB2＋AC2，
即64＝（5＋x）2＋25 x2，
解得x＝1.4.
即AE＝1.4.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）连接CE，根据线段垂直平分线的性质转化线段BE到△AEC中，利用勾股定理的逆定理可求∠A度数；（2）设AE＝x，则AC可用x表示，在Rt△ABC中利用勾股定理得到关于x的方程求解AE值.
1 / 1初中数学苏科版八年级上册3.2勾股定理逆定理 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·惠州期末）下列各线段的长，能构成直角三角形的是
A．2，3，4 B．5，12，13 C．4，6，9 D．5，11，13
2．（2020八下·淮滨期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a＝9，b＝12，c＝15
C．∠A：∠B：∠C＝5：2：3 D．∠C﹣∠B＝∠A
3．（2018八上·紫金期中）已知△ABC的三边分别是6，8，10，则△ABC斜边上的高是（ ）
A．2 B．2.4 C．4 D．4.8
4．（2020八上·淮阳期末） 的三边 ，且 ，下列结论正确的是（ ）
A． 是等腰直角三角形且
B． 是直角三角形或等腰三角形
C． 是直角三角形，且
D． 是直角三角形，且
5．（2020八下·太原期中）如图，已知 中， 的垂直平分线分别交 于 连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2019八上·宝鸡月考）有下面的判断：
①若△ABC中，a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2＋b2=c2；③若△ABC中，a2－b2=c2，则△ABC是直角三角形；④若△ABC是直角三角形，则(a＋b)(a－b)=c2.其中判断正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如下图五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2019八上·绥化月考）三角形的三边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
9．（2018八上·扬州月考）在⊿ 中，若 ，则⊿ 是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
10．（2019八上·陵县月考）已知 ， ， 是 的三边，如果满足 ，则三角形的形状是
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
11．（2020八下·海林期末）一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是 ．
12．已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为 三角形．
13．如果△ABC的三边长a、b、c满足关系式（a+2b﹣60）2+|b﹣18|+|c﹣30|=0，则△ABC的形状是 ．
14．（2020八下·哈尔滨期中）在△ABC 中，若 ，则最长边上的高为 ．
15．（2020八下·广州期中）已知a，b，c为三角形的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，那么它的形状是 ．
16．已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．则四边形ABDC的面积是 ．
17．（2018八上·无锡期中）如图，已知CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m．图中阴影部分的面积= m2．
18．如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，点P的速度都是1cm/s，点Q的速度都是2cm/s当点P到达点B时，P、Q两点停止．当t= 时，△PBQ是直角三角形．
三、解答题
19．（2020八下·海勃湾期末）若△ABC三边长为a，b，c满足a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，试判断△ABC的形状．
20．（2020八下·漯河期中）已知：如图，四边形ABCD中，∠B=90°,AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积
21．（2020八下·马山期末）如图，四边形ABCD中， ， ， ， ， ，求四边形ABCD的面积.
22．（2019八上·德惠月考）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，CD＝2，AD＝3，连接AC．
（1）求AC的长；
（2）判断三角形ACD的形状，并求出四边形ABCD的面积．
23．（2020八下·涿鹿期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．
（1）△ACD是直角三角形吗？为什么？
（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
24．（2020八下·安阳期末）已知在 中，D是 的中点， ，垂足为D，交 于点E，且 .
（1）求 的度数；
（2）若 , ，求 的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.22+32≠42，不能构成直角三角形；
B.52+122=132，可以构成直角三角形；
C.42+62≠92，不能构成直角三角形；
D.52+112≠132，不能构成直角三角形。
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理，分别进行判断得到答案即可。
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A .a+b=32+42=25=52=c，构不成三角形，也就不可能是直角三角形了，故符合题意；
B.a2+b2=92+122=225=152=c2，根据勾股定理逆定理可以判断，△ABC是直角三角形，故不符合题意；
C.设∠A、∠B、∠C分别是5x、2x、3x，5x+2x+3x=180，x=18，∠A=90°，所以△ABC是直角三角形，故不符合题意；
D.∠C﹣∠B＝∠A，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形，故不符合题意，
故答案为：A.
【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】由62+82=102，可知ΔABC是直角三角形，则斜边上的高=（6×8）÷10=4.8。
故答案为：D。
【分析】此题主要通过三边的关系判定ΔABC是直角三角形，然后利用直角边求出ΔABC的面积，再除以斜边就可以求出ΔABC斜边上的高。
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵
∴
∴ 是直角三角形，且
故答案为：D
【分析】将 进行化简后，根据勾股逆定理进行判断即可
5．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴ ,
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
在Rt△BCD中， ,
∴ ,
解得CD= ，
故答案为：C.
【分析】先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD，由此根据勾股定理求出CD.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】①c不一定是斜边，①错误；
②根据勾股定理可得②正确；
③根据勾股定理的逆定理可得③正确；
④若△ABC是直角三角形，c是斜边，则（a+b）（a-b）=c2，④正确.
共2个正确.
故答案为：C.
【分析】要判断一个三角形是否是直角三角形，根据勾股定理的逆定理只需验证两较短边的平方是否等于最长边的平方即可判断求解.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】由于7，24，25是一组勾股数，15，20，25是一组勾股数，故勾股数构成直角三角形，故答案为：C。
【分析】由于7，24，25是一组勾股数，15，20，25是一组勾股数，故勾股数构成直角三角形。
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】(a＋b)2－c2=2ab，即a2+b2+2ab－c2=2ab，所以a2+b2=c2，所以三角形为直角三角形．
故答案为：B．
【分析】由(a＋b)2－c2=2ab变形可得a2+b2=c2，利用勾股定理的逆定理判断即可.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴三角形为直角三角形，
故答案为：D.
【分析】由于该三角形三边满足较小两边的平方和等于最大边的平方，故该三角形是直角三角形。
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：
∵ ， ， 是 的三边
∴
∴ 或
解得： 或
∴ 是等腰三角形或直角三角形.
故答案为：C.
【分析】将等号右侧式子移到左侧，再将其因式分解，然后根据：若xy=0，则x=0或y=0，判断即可.
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】由题意，设这个三角形的三边长分别为
则
解得
则这个三角形的三边长分别为
又
这个三角形是直角三角形，且两直角边长分别为
则它的面积是
故答案为： ．
【分析】设这个三角形的三边长分别为 ，再根据周长可求出x的值，从而可得三边长，然后利用勾股定理的逆定理可得这个三角形是直角三角形，最后利用直角三角形的面积公式即可得．
12．【答案】直角
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵a+b=10，ab=18，c=8，
∴（a+b）2﹣2ab
=100﹣36
=64，
c2=64，
∴a2+b2=c2，
∴此三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
【分析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．
13．【答案】直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： ，
∵242+182=302，
即a2+b2=c2，
∴△ABC的形状是直角三角形．
故答案是：直角三角形．
【分析】首先根据非负数的性质即可列出方程组求得a，b，c的值，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断．
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵ ，
将两个方程相加得： ，
∵a＞0，
∴a=4
代入得： ，
∵b＞0，
∴b=3，
∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理，
∴△ABC是直角三角形，
如下图，∠ACB=90°，CD⊥AB，
，
即： ，
解得：CD= ，
故答案为： .
【分析】解方程 可求得a=4，b=3，故三角形ABC是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.
15．【答案】直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
【知识点】因式分解的应用；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴c2（a2 b2）＝（a2＋b2）（a2 b2），
移项得：c2（a2 b2） （a2＋b2）（a2 b2）＝0，
因式分解得：（a2 b2）[c2 （a2＋b2）]＝0，
则当a2 b2＝0时，a＝b；当a2 b2≠0时，a2＋b2＝c2；
所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
故答案为：直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
【分析】将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；根据等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形．
16．【答案】36
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接BC，
∵∠A＝90°，AB＝4，AC＝3
∴BC＝5，
∵BC＝5，BD＝13，CD＝12
∴BC2+CD2＝BD2
∴△BCD是直角三角形
∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABC＝×4×3+ ×5×12＝36。
故答案为：36
【分析】连接BC，三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理可求出BC的长为5，再根据勾股定理的逆定理可以判定以CD、BD和BC为边的三角形BCD为直角三角形，则四边形ABCD的面积可以用直角三角形ABC与直角三角形BDC的面积之和来求得。
17．【答案】96
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵CD=6m，AD=8m，∠ACD=90°，
∴AC=10m，S△ADC= ×6×8=24（m2）.
∵AC=10m，CB=24m，AB=26m，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形.
∵△ABC是直角三角形，AC=10m，CB=24m，
∴S△ABC= ×10×24=120（m2），
∴S△ABC-S△ADC=120-24=96（m2）.
即图中阴影部分的面积为96m2.
故答案为：96.
【分析】根据勾股定理求出AC,再根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形,利用三角形的面积公式求出△ABC和△ADC的面积，进而求出阴影部分的面积。
18．【答案】 或
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=3cm，∠A=∠B=∠C=60°，
当∠PQB=90°时，∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ．
∵BP=3﹣t，BQ=2t，
∴3﹣t=2×2t，
解得t= ；
当∠QPB=90°时，∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
∴2t=2（3﹣t），
解得t= ．
答：当t= 或 时，△PBQ是直角三角形．
故答案为： 或 ．
【分析】先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论．
19．【答案】解：如下图所示， 为直角三角形，理由如下：
∵
∴
∴
∴a=6，b=8，c=10
∴
又∵a，b，c分别为 三边的长度
∴ 为直角三角形．（勾股定理的逆定理）
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题先由已知条件得到 ，进而得到 ，再由勾股定理的逆定理判断 的形状为直角三角形．
20．【答案】解：连结AC,在Rt△ABC中
∵
在△ADC中
∵ ，
∴
∴△ADC是直角三角形, ∠ACD=90°
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，根据勾股定理可求AC，再利用勾股定理逆定理可判定△ACD为直接三角形，进而可求答案.
21．【答案】解：连接AC
在Rt△ABC中，AB=3cm，BC=4cm
AC=5cm
在△ADC中，CD=12cm，DA=13cm
即AC2+CD2=AD2
△ADC是直角三角形，∠ACD=90°
S四边形ABCD=S△ADC-S△ABC
S四边形ABCD= ×AC×CD— ×AB×BC
= ×5×12— ×4×3
=24（cm ）
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】四边形ABCD是不规则图形，连接AC，则转化为规则图形，S=S△ACD-S△ACB；在 在Rt△ABC中 ，根据勾股定理求出AC=5；再根据勾股定理的逆定理判断出 △ADC是直角三角形，进而求出四边形ABCD的面积。
22．【答案】（1）解：∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，
∴AC2＝AB2+BC2＝4+1＝5，
∴AC＝ ；
（2）解：∵△ACD中，AC＝ ，CD＝2，AD＝3，
∴AC2+CD2＝5+4＝9，AD2＝9，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积＝1×2÷2+2× ÷2＝1+ ．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC，利用勾股定理计算斜边即可.（2）在△ACD中，利用勾股定理验证得出△ACD为直角三角形，再计算面积.
23．【答案】（1）解：如图，连接AC，
在Rt△ABC中，∵AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，AB2+CB2＝AC2
∴AC＝5cm，
在△ACD中，AC＝5cmCD＝12m，DA＝13m，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°；
（2）解：∵S△ABC＝ ×3×4＝6，S△ACD＝ ×5×12＝30，
∴S四边形ABCD＝6+30＝36，
费用＝36×80＝2882（元）．
答：铺满这块空地共需花费2882元．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC，在△ACD中，易求AC2+CD2＝AD2，再利用勾股定理的逆定理可知△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°；（2）分别利用三角形的面积公式求出△ABC、△ACD的面积，两者相加即是四边形ABCD的面积，再乘以80，即可求总花费．
24．【答案】（1）解：连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE＝BE.
∵BE2 AE2＝AC2，
∴AE2＋AC2＝CE2.
∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°；
（2）解：在Rt△BDE中，BE＝ ＝5.
所以CE＝BE＝5.
设AE＝x，则在Rt△AEC中，AC2＝CE2 AE2，
所以AC2＝25 x2.
∵BD＝4，
∴BC＝2BD＝8.
在Rt△ABC中，根据BC2＝AB2＋AC2，
即64＝（5＋x）2＋25 x2，
解得x＝1.4.
即AE＝1.4.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）连接CE，根据线段垂直平分线的性质转化线段BE到△AEC中，利用勾股定理的逆定理可求∠A度数；（2）设AE＝x，则AC可用x表示，在Rt△ABC中利用勾股定理得到关于x的方程求解AE值.
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