2020年暑期衔接训练青岛版数学八年级下册：第13讲 二次根式的性质
一、单选题
1．（2020八下·椒江期末）要使代数式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x> B．x＜ C．x≥ D．x≤
2．（2020八下·景县期中）若 =a-1，则（ ）
A．a<1 B．a≤1 C．a>1 D．a≥1
3．下列各式中①；②；③；④；⑤；⑥，一定是二次根式的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2020八下·温州期中）若 ，则（ ）
A．a≤5 B．a≥0 C．0≤a≤5 D．a≥5
5．若 ，则（ ）.
A． B． C． D．
6．（2020八下·越秀期中）若x+y＝3+2 ，x﹣y＝3﹣2 ，则 的值为（ ）
A．4 B．1 C．6 D．3﹣2
7．（2019八下·合肥期中）小明的作业本上有以下四题：① ＝4a2；② ；③ ；④ ，做错的题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．若a、b分别是6- 的整数部分和小数部分，那么2a-b的值是（ ）
A．3- B．4- C． D．4+
9．（2019八下·黄石期中）已知 ，那么 的值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知：m， n是两个连续自然数（mA．总是奇数 B．总是偶数
C．有时奇数，有时偶数 D．有时有理数，有时无理数
二、填空题
11．
能使等式 成立的x的取值范围是 .
12．观察分析，探求规律，然后填空：，2，，2，，…， （请在横线上写出第100个数）．
13．三角形的三边长分别为3、m、5，化简﹣=
14．计算= ．
15．（2020八下·扬州期中）化简 的结果为
16．当x= 时，二次根式 有最大值．
17．已知0＜a＜1，化简-=
18．如图：A，B，C三点表示的数分别为a，b，c．
利用图形化简： = ．
三、解答题
19．（2020八下·南昌期中）计算：
（1）
（2）
20．（2019八下·莘县期中）已知M= 是m+3的算术平方根，N= 是n-2的立方根，求：M-N的值的平方根．
21．若a，b是一等腰三角形的两边长，且满足等式，试求此等腰三角形的周长．
22．已知实数a满足+=a，求a﹣20082的值是多少？
23．探索规律
先观察下列各式，再回答问题．=1；=1；=1．
（1）根据上面三个等式提供的消息，请猜想的结果，不用验证；
（2）按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数），不用验证．
24．（2019八下·广安期中）阅读下面材料，回答问题：
在化简 的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下： ；
小李的化简如下： ；
（1）请判断谁的化简结果是正确，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
（2）请你利用上面所学的方法化简 ．
25．观察下列各式及其验证过程：，验证：．，验证：．
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为任意自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证．
（3）针对三次根式及n次根式（n为任意自然数，且n≥2），有无上述类似的变形？如果有，写出用a（a为任意自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知2x-3≥0，
解之：.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，建立关于x的不等式，求出不等式的解集即可。
2．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由题意得a-1≥0，解得a≥1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质进行解答即可.
3．【答案】C
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：①当a＜0时，不是二次根式；
②当b+1＜0即b＜﹣1时，不是二次根式；
③能满足被开方数为非负数，故本选项正确；
④能满足被开方数为非负数，故本选项正确；
⑤不一定能满足开方数为负数，不一定二次根式，故本选项错误；
⑥=能满足被开方数为非负数，故本选项正确，
故选：C．
【分析】一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．
4．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意可得a≥0且5-a≥0，
解得0≤a≤5.
故答案为C.
【分析】使二次根式有意义，即是被开方数为非负数，据此解答即可.
5．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵
∴1-2a≥0
解之：.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质：若，则a≥0，由此建立关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围。
6．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵x+y＝3+2 ，x﹣y＝3﹣2 ，
∴ ＝1．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质解答．
7．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：因为 ＝ =4a2，所以①符合题意；因为 ，所以②符合题意；③因为a＞0，则 ，所以③符合题意；④ 与 不是同类二次根式，不能合并，所以④不符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的性质和运算法则依次判断即可
8．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据无理数的估算，可知3＜ ＜4，因此可知-4＜- ＜-3，即2＜6- ＜3，所以可得a为2，b为6- -2=4- ，因此可得2a-b=4-（4- ）= .
故答案为：C.
【分析】根据题意，估算的值，确定其整数部分，即可得到其小数部分，根据式子解出代数式的答案即可。
9．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当x＞0，y＞0时， =2 = ；
当x＜0，y＜0时， =-2 =- ；
综上所述本题答案应为：C.
【分析】根据题意xy=3，分两种情况讨论，当x和y都大于0时，当x和y都小于0时，然后分别化简计算即可.
10．【答案】A
【知识点】二次根式的定义
【解析】【分析】m、n是两个连续自然数（m＜n)，则n=m+1，所以q=m（m+1)，所以q+n=m（m+1)+m+1=（m+1)2，q-m=m（m+1)-m=m2，代入计算，再看结果的形式符合偶数还是奇数的形式．
【解答】m、n是两个连续自然数（m＜n)，则n=m+1，
∵q=mn，
∴q=m（m+1)，
∴q+n=m（m+1)+m+1=（m+1)2，q-m=m（m+1)-m=m2，
∴p＝=m+1+m=2m+1，
即p的值总是奇数．
故选A．
11．【答案】0≤x<7
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵x≥0,7-x＞0，
∴0≤x＜7。
故答案为：0≤x＜7.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，且分母不能为零，据此即可解答。
12．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：因为2=，2==，
所以此列数为：，，，，…，
则第100个数是：=10．
故答案是：10．
【分析】把2与2都写成算术平方根的形式，不难发现，被开方数是偶数列，然后写出第100个偶数整理即可得解．
13．【答案】2m-10
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵三角形的三边长分别为3、m、5，
∴2＜m＜8，
∴﹣=m﹣2﹣（8﹣m）=2m﹣10．
故答案为：2m﹣10．
【分析】先利用三角形的三边关系求出m的取值范围，再化简求解即可．
14．【答案】2017
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式=
=
=2016+1
=2017，
故答案为：2017．
【分析】根据完全平方公式把被开方数化为（2016+1）2的形式，根据二次根式的性质化简计算即可．
15．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】依题意可知m＜0，
∴ =
【分析】根据二次根式的性质即可化简.
16．【答案】﹣
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：∵ 是二次根式，
∴25﹣（2+3x）2≥0，
∴当2+3x=0时，二次根式 有最大值，
即x=﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【分析】根据二次根式的定义得出25﹣（2+3x）2≥0，求出当2+3x=0时，二次根式 有最大值，求出即可．
17．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵0＜a＜1，
∴＜，
∴原式=﹣
=﹣
=+﹣（-）=2．
【分析】因为a=（）2，=，又0＜a＜1，所以（）2＜，即＜．
18．【答案】0
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由图可知，a＜0，b＞0，c＜0且|a|＜|b|＜|c|，
所以，a﹣b＜0，c﹣b＜0，a﹣c＞0，
所以，|a﹣b|﹣ + =b﹣a+c﹣b+a﹣c=0．
故答案为：0．
【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值的性质与二次根式的性质化简整理即可．
19．【答案】（1）
=
=
=
（2）
=
=
=
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，进行乘法计算，再进行减法计算；（2）先根据二次根式和绝对值进行化简得到 ，再去括号进行有理数的加减计算即可得到答案.
20．【答案】解:M= 是m+3的算术平方根，
m-4=2，
解得m=6，
M= =3；
N= 是n-2的立方根，
2m-4n+3=3,即12-4n+3=3,
解得n=3，
N= =1，
M-N=3-1=2，．M-N的值的平方根是± ．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据题意可知，m-4=2，2m-4n+3=3，即可分别计算得到m和n的数值，计算M和N的差即可。
21．【答案】解：根据题意得，3a﹣6≥0且2﹣a≥0，
解得a≥2且a≤2，
所以a=2，
b=4，
①a=2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2=4，
∴不能组成三角形，
②a=2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长=2+4+4=10，
所以此等腰三角形的周长为10．
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列式求出a，再求出b，然后分a是腰长与底边两种情况讨论．
22．【答案】解：∵二次根式有意义，
∴a﹣2009≥0，即a≥2009，
∴2008﹣a≤﹣1＜0，
∴a﹣2008+=a，解得=2008，等式两边平方，整理得a﹣20082=2009．
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件求出a取值范围，再将等式边形即可．
23．【答案】解：①观察可得，=1，
②=1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】①由规律写出式子，
②用n表示出式子，再利用规律得出结果即可．
24．【答案】（1）解：小李化简符合题意，小张的化简结果不符合题意．
因为 ；
（2）解：原式= ．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】分析：(1)、根据 的性质来进行判定得出答案；(2)、将被开方数转化为完全平方式，从而得出答案．
25．【答案】解：（1）=4，理由是：===4；（2）由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，∴=a，验证：==a；正确；（3）=a（a为任意自然数，且a≥2），验证：===a．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）利用已知，观察．，可得的值；
（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；
（3）利用已知可得出三次根式的类似规律，进而验证即可．
1 / 12020年暑期衔接训练青岛版数学八年级下册：第13讲 二次根式的性质
一、单选题
1．（2020八下·椒江期末）要使代数式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x> B．x＜ C．x≥ D．x≤
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知2x-3≥0，
解之：.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，建立关于x的不等式，求出不等式的解集即可。
2．（2020八下·景县期中）若 =a-1，则（ ）
A．a<1 B．a≤1 C．a>1 D．a≥1
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由题意得a-1≥0，解得a≥1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质进行解答即可.
3．下列各式中①；②；③；④；⑤；⑥，一定是二次根式的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：①当a＜0时，不是二次根式；
②当b+1＜0即b＜﹣1时，不是二次根式；
③能满足被开方数为非负数，故本选项正确；
④能满足被开方数为非负数，故本选项正确；
⑤不一定能满足开方数为负数，不一定二次根式，故本选项错误；
⑥=能满足被开方数为非负数，故本选项正确，
故选：C．
【分析】一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．
4．（2020八下·温州期中）若 ，则（ ）
A．a≤5 B．a≥0 C．0≤a≤5 D．a≥5
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意可得a≥0且5-a≥0，
解得0≤a≤5.
故答案为C.
【分析】使二次根式有意义，即是被开方数为非负数，据此解答即可.
5．若 ，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵
∴1-2a≥0
解之：.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质：若，则a≥0，由此建立关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围。
6．（2020八下·越秀期中）若x+y＝3+2 ，x﹣y＝3﹣2 ，则 的值为（ ）
A．4 B．1 C．6 D．3﹣2
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵x+y＝3+2 ，x﹣y＝3﹣2 ，
∴ ＝1．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质解答．
7．（2019八下·合肥期中）小明的作业本上有以下四题：① ＝4a2；② ；③ ；④ ，做错的题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：因为 ＝ =4a2，所以①符合题意；因为 ，所以②符合题意；③因为a＞0，则 ，所以③符合题意；④ 与 不是同类二次根式，不能合并，所以④不符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的性质和运算法则依次判断即可
8．若a、b分别是6- 的整数部分和小数部分，那么2a-b的值是（ ）
A．3- B．4- C． D．4+
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据无理数的估算，可知3＜ ＜4，因此可知-4＜- ＜-3，即2＜6- ＜3，所以可得a为2，b为6- -2=4- ，因此可得2a-b=4-（4- ）= .
故答案为：C.
【分析】根据题意，估算的值，确定其整数部分，即可得到其小数部分，根据式子解出代数式的答案即可。
9．（2019八下·黄石期中）已知 ，那么 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当x＞0，y＞0时， =2 = ；
当x＜0，y＜0时， =-2 =- ；
综上所述本题答案应为：C.
【分析】根据题意xy=3，分两种情况讨论，当x和y都大于0时，当x和y都小于0时，然后分别化简计算即可.
10．已知：m， n是两个连续自然数（mA．总是奇数 B．总是偶数
C．有时奇数，有时偶数 D．有时有理数，有时无理数
【答案】A
【知识点】二次根式的定义
【解析】【分析】m、n是两个连续自然数（m＜n)，则n=m+1，所以q=m（m+1)，所以q+n=m（m+1)+m+1=（m+1)2，q-m=m（m+1)-m=m2，代入计算，再看结果的形式符合偶数还是奇数的形式．
【解答】m、n是两个连续自然数（m＜n)，则n=m+1，
∵q=mn，
∴q=m（m+1)，
∴q+n=m（m+1)+m+1=（m+1)2，q-m=m（m+1)-m=m2，
∴p＝=m+1+m=2m+1，
即p的值总是奇数．
故选A．
二、填空题
11．
能使等式 成立的x的取值范围是 .
【答案】0≤x<7
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵x≥0,7-x＞0，
∴0≤x＜7。
故答案为：0≤x＜7.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，且分母不能为零，据此即可解答。
12．观察分析，探求规律，然后填空：，2，，2，，…， （请在横线上写出第100个数）．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：因为2=，2==，
所以此列数为：，，，，…，
则第100个数是：=10．
故答案是：10．
【分析】把2与2都写成算术平方根的形式，不难发现，被开方数是偶数列，然后写出第100个偶数整理即可得解．
13．三角形的三边长分别为3、m、5，化简﹣=
【答案】2m-10
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵三角形的三边长分别为3、m、5，
∴2＜m＜8，
∴﹣=m﹣2﹣（8﹣m）=2m﹣10．
故答案为：2m﹣10．
【分析】先利用三角形的三边关系求出m的取值范围，再化简求解即可．
14．计算= ．
【答案】2017
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式=
=
=2016+1
=2017，
故答案为：2017．
【分析】根据完全平方公式把被开方数化为（2016+1）2的形式，根据二次根式的性质化简计算即可．
15．（2020八下·扬州期中）化简 的结果为
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】依题意可知m＜0，
∴ =
【分析】根据二次根式的性质即可化简.
16．当x= 时，二次根式 有最大值．
【答案】﹣
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：∵ 是二次根式，
∴25﹣（2+3x）2≥0，
∴当2+3x=0时，二次根式 有最大值，
即x=﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【分析】根据二次根式的定义得出25﹣（2+3x）2≥0，求出当2+3x=0时，二次根式 有最大值，求出即可．
17．已知0＜a＜1，化简-=
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵0＜a＜1，
∴＜，
∴原式=﹣
=﹣
=+﹣（-）=2．
【分析】因为a=（）2，=，又0＜a＜1，所以（）2＜，即＜．
18．如图：A，B，C三点表示的数分别为a，b，c．
利用图形化简： = ．
【答案】0
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由图可知，a＜0，b＞0，c＜0且|a|＜|b|＜|c|，
所以，a﹣b＜0，c﹣b＜0，a﹣c＞0，
所以，|a﹣b|﹣ + =b﹣a+c﹣b+a﹣c=0．
故答案为：0．
【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值的性质与二次根式的性质化简整理即可．
三、解答题
19．（2020八下·南昌期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
=
=
=
（2）
=
=
=
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，进行乘法计算，再进行减法计算；（2）先根据二次根式和绝对值进行化简得到 ，再去括号进行有理数的加减计算即可得到答案.
20．（2019八下·莘县期中）已知M= 是m+3的算术平方根，N= 是n-2的立方根，求：M-N的值的平方根．
【答案】解:M= 是m+3的算术平方根，
m-4=2，
解得m=6，
M= =3；
N= 是n-2的立方根，
2m-4n+3=3,即12-4n+3=3,
解得n=3，
N= =1，
M-N=3-1=2，．M-N的值的平方根是± ．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据题意可知，m-4=2，2m-4n+3=3，即可分别计算得到m和n的数值，计算M和N的差即可。
21．若a，b是一等腰三角形的两边长，且满足等式，试求此等腰三角形的周长．
【答案】解：根据题意得，3a﹣6≥0且2﹣a≥0，
解得a≥2且a≤2，
所以a=2，
b=4，
①a=2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2=4，
∴不能组成三角形，
②a=2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长=2+4+4=10，
所以此等腰三角形的周长为10．
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列式求出a，再求出b，然后分a是腰长与底边两种情况讨论．
22．已知实数a满足+=a，求a﹣20082的值是多少？
【答案】解：∵二次根式有意义，
∴a﹣2009≥0，即a≥2009，
∴2008﹣a≤﹣1＜0，
∴a﹣2008+=a，解得=2008，等式两边平方，整理得a﹣20082=2009．
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件求出a取值范围，再将等式边形即可．
23．探索规律
先观察下列各式，再回答问题．=1；=1；=1．
（1）根据上面三个等式提供的消息，请猜想的结果，不用验证；
（2）按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数），不用验证．
【答案】解：①观察可得，=1，
②=1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】①由规律写出式子，
②用n表示出式子，再利用规律得出结果即可．
24．（2019八下·广安期中）阅读下面材料，回答问题：
在化简 的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下： ；
小李的化简如下： ；
（1）请判断谁的化简结果是正确，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
（2）请你利用上面所学的方法化简 ．
【答案】（1）解：小李化简符合题意，小张的化简结果不符合题意．
因为 ；
（2）解：原式= ．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】分析：(1)、根据 的性质来进行判定得出答案；(2)、将被开方数转化为完全平方式，从而得出答案．
25．观察下列各式及其验证过程：，验证：．，验证：．
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为任意自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证．
（3）针对三次根式及n次根式（n为任意自然数，且n≥2），有无上述类似的变形？如果有，写出用a（a为任意自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证．
【答案】解：（1）=4，理由是：===4；（2）由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，∴=a，验证：==a；正确；（3）=a（a为任意自然数，且a≥2），验证：===a．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）利用已知，观察．，可得的值；
（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；
（3）利用已知可得出三次根式的类似规律，进而验证即可．
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