2021-2022学年苏科版数学八年级上册1.3.1 探索三角形全等的条件SAS同步训练
一、单选题
1．（2019八上·常州期末）如图，点B、E、C、F在同一条直线上， ， ，要用SAS证明 ≌ ，可以添加的条件是
A． B． C． D．
2．（2020八上·吴江月考）如图， ， ，如果根据“ ”判定 ，那么需要补充的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·灌云月考）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圆形容器的壁厚是（ ）
A．5厘米 B．6厘米 C．2厘米 D． 厘米
4．（2021八上·广陵开学考）如图， ， 且 ， ，下列结论：① ；② ；③ ；其中正确的结论是
A．①② B．①②③ C．①③ D．②③
5．（2020八上·西岗期末）如图，AC与BD交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需（ ）
A．AB=DC B．OB=OC C．∠A=∠D D．∠AOB=∠DOC
6．（2021八上·灌云期中）如图，已知 和 都是等边三角形，且A、C、E三点共线. 与 交于点O， 与 交于点P， 与 交于点Q，连结 .以下六个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中正确结论的有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
7．（2020八上·江苏月考）如图，AB与CD交于点O， ， ， ， ，则 的度数为
8．（2020八上·沭阳月考）如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降30cm时，这时小明离地面的高度是 cm.
9．（2020八上·宜兴期中）如图，在 ABC中，点D、E、F分别是BC，AB，AC上的点，若∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠EDF＝56°，则∠A＝ °.
10．（2021八上·宜兴月考）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ .
11．（2020八上·南京期中）已知：如图， ，只需补充条件 ，就可以根据“ ”得到 .
12．（2020八上·淮南期末）已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE＝∠C，②AQ＝BQ，③BP＝2PQ，④AE+BD＝AB，其正确的个数是 ．
三、解答题
13．（2020八上·丹徒期中）已知：如图，AC=BD，∠1=∠2.
求证：△ADB≌△BCA.
14．（2020八上·东海期中）已知：如图，在 、 上各取一点 、 ，使 ，连接 ， ， 与 交于 ，连接 ， ，求证： .
15．（2021八上·南通月考）如图，点A，B，C，D在同一条直线上， ， ， .求证： .
16．（2020八上·洪泽月考）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，求证：BC＝DE.
17．（2020八上·泰州月考）如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.
求证：
（1）EC=BF；
（2）EC⊥BF.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
可添加条件BC=EF，
理由：∵在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
故答案为：C.
【分析】根据AB∥DE得出∠B=∠DEF，添加条件BC=EF，则利用SAS定理证明△ABC≌△DEF.
2．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：需要补充的条件是BF=CE，
∴BF+FC=CE+CF，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）.
故答案为：D.
【分析】利用全等三角形的判定方法，“SAS”即边角边对应相等，只需找出一对对应边相等即可，进而得出答案.
3．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：在 AOB和 DOC中，
，
∴ AOB≌ DOC（SAS），
∴AB＝CD＝5厘米，
∵EF＝6厘米，
∴圆柱形容器的壁厚是 ×（6﹣5）＝ （厘米），
故答案为：D.
【分析】证出△AOB≌△DOC，得出AB=CD=5厘米，利用圆柱形容器的壁厚=（EF-CD），即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解： ， ，
.
，
即 .
在 和 中，
，
，
， .
在 和 中
，
，
，
即 .
综上所述，①②③都是正确的.
故答案为：B.
【分析】由垂直的概念可得∠AOB=∠COD=90°，推出∠COB=∠AOD，证明△AOB≌△COD，得到AB=CD，∠ABO=∠CDO，进而证明△AOD≌△COB，得到∠CBO=∠ADO，推出∠ABC=∠CDA，据此判断.
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由OA=OD，加上对顶角相等，再加上OB=OC，即可利用SAS得证．
【解答】在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS)，
则还需添加的添加是OB=OC，
故选B
6．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCB=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，故①正确；
由（1）得∠CBE=∠DAC，
又∵CA=CB，∠ACP=∠BCQ=60°，
∴△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ，故③正确；
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE，故⑤正确，
∵∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，
∴PD≠CD，
∴DE≠DP，故④错误；
∵BC∥DE，
∴∠CBE=∠BED，
∵∠CBE=∠DAE，
∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°，故②正确；
作CM⊥AD，CN⊥BE，连接OC，
∵△ACD≌△BCE，
∴CM=CN，
∴OC平分∠AOE，故⑥正确，
故正确的有①②③⑤⑥共5个，
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ACD≌△BCE，则可得出AD=AE，对 ① 作出判断；由（1）得∠CBE=∠DAC，然后根据三角形的外角的性质得出∠AOB=∠CBE+∠CEB=60°，对 ② 作判断；由（1）得∠CBE=∠DAC，再利用SAS证明△CQB≌△CPA，得出AP=BQ，对 ③ 作出判断；由于∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，得出CD>DP，即DE>PD，对 ④ 作判断；先求出△PCQ为等边三角形，∠PQC=∠DCE=60°，则可判定PQ∥AE，对 ⑤ 作判断；作CM⊥AD，CN⊥BE，连接OC，根据全等三角形的性质得出CM=CN，则可判定OC平分∠AOE，则可判断 ⑥ .
7．【答案】30°
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：在 和 中， ，
，
，
故答案为： .
【分析】由题意用边角边证△AOD≌△COB，再根据全等三角形的对应角相等即可求解.
8．【答案】80
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】∵O是FG和CD的中点
∴OF=OG，OC=OD
在△OFC和△OGD中
∴△OFC≌△OGD（SAS）
∴CF=DG
又DG=30cm
∴CF=DG=30cm
∴小明离地面的高度=支点到地面的高度+CF=50+30=80cm
故答案为80
【分析】根据题意可得：OF=OG，OC=OD，利用已知条件判断出△OFC≌△OGD，得到CF=DG，即可求出答案.
9．【答案】68
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：在△BDF和△CED中
∵BF=CD，∠B=∠C，BD＝CE，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD=∠CDE，∠BDF=∠CED，
∴∠BDF+∠CDE=180 -∠EDF=180 -56 =124 ，
∴∠BFD+∠BDF=∠BDF+∠CDE=124 ，
∴∠C=∠B=180 -∠BFD-∠BDF=56 ，
∴∠A=180 -∠B-∠C=180 -56 -56 =68 .
故答案为：68 .
【分析】先由已知利用SAS可证△BDF≌△CED，由全等三角形对应角相等得出∠BFD=∠CDE，∠BDF=∠CED，进而推出∠B=∠C=∠EDF，再利用三角形内角和求∠A即可.
10．【答案】55°
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°.
故答案为：55°.
【分析】根据∠BAC＝∠DAE以及角的和差关系可得∠1＝∠EAC，证明△BAD≌△CAE，得到∠2＝∠ABD＝30°，接下来根据∠3＝∠1+∠ABD进行求解.
11．【答案】
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：补充条件AC=BD，
在 和 中，
，
∴ .
故答案为：AC=BD.
【分析】由于题干中已经给出了∠CAB=∠DBA及AB=BA，故用三角形全等的判定方法SAS只能添加AC=DB，据此即可得出答案.
12．【答案】3
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形的综合
【解析】【解答】证明：如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠1=∠2，
∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，
∴∠APE=∠C=60°，故①符合题意
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90° ∠BPQ=90° 60°=30°，
∴BP=2PQ．故③符合题意，
∵AC=BC．AE=DC，
∴BD=CE，
∴AE+BD=AE+EC=AC=AB，故④符合题意，
无法判断BQ=AQ，故②不符合题意，
∴正确的有①③④，共3个；
故答案为：3．
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，再利用“边角边"证明△ABE和△CAD全等。
13．【答案】证明：在△ADB和△BCA中，
∵AC=BD，∠1=∠2，AB=BA，
∴△ADB≌△BCA(SAS).
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据SAS可证△ADB≌△BCA.
14．【答案】证明：在 和 中， ，
，
，
由对顶角相等得： ，
，即 ，
在 和 中， ，
，
.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据SAS可证△AOE≌△AOD，可得∠AOE=∠AOD，再根据ASA可证△AOB≌△AOC，从而可得∠B=∠C.
15．【答案】证明：∵ ，
∴
在 和 中，
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠ACE=∠D，再利用SAS证明△ACE≌△FDB，则可得出AE=FB即可.
16．【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中
，
∴△ABC≌△ADE，
∴BC=DE.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先证明∠BAC=∠DAE，再利用“SAS”可判断△ABC≌△ADE，然后根据全等三角形的对应边相等可得结论.
17．【答案】（1）证明：∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，
即∠EAC=∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
∵ ，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC=BF；
（2）证明：如图，根据（1），△ABF≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），
∴∠ABF+∠BDM=90°，
在△BDM中，∠BMD=180°﹣∠ABF﹣∠BDM=180°﹣90°=90°，
所以EC⊥BF.
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先求出∠EAC=∠BAF，然后利用“边角边”证明△ABF和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠ABF，设AB、CE相交于点D，根据∠AEC+∠ADE=90°可得∠ABF+∠ADM=90°，再根据三角形内角和定理推出∠BMD=90°，从而得证.
1 / 12021-2022学年苏科版数学八年级上册1.3.1 探索三角形全等的条件SAS同步训练
一、单选题
1．（2019八上·常州期末）如图，点B、E、C、F在同一条直线上， ， ，要用SAS证明 ≌ ，可以添加的条件是
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
可添加条件BC=EF，
理由：∵在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
故答案为：C.
【分析】根据AB∥DE得出∠B=∠DEF，添加条件BC=EF，则利用SAS定理证明△ABC≌△DEF.
2．（2020八上·吴江月考）如图， ， ，如果根据“ ”判定 ，那么需要补充的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：需要补充的条件是BF=CE，
∴BF+FC=CE+CF，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）.
故答案为：D.
【分析】利用全等三角形的判定方法，“SAS”即边角边对应相等，只需找出一对对应边相等即可，进而得出答案.
3．（2021八上·灌云月考）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圆形容器的壁厚是（ ）
A．5厘米 B．6厘米 C．2厘米 D． 厘米
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：在 AOB和 DOC中，
，
∴ AOB≌ DOC（SAS），
∴AB＝CD＝5厘米，
∵EF＝6厘米，
∴圆柱形容器的壁厚是 ×（6﹣5）＝ （厘米），
故答案为：D.
【分析】证出△AOB≌△DOC，得出AB=CD=5厘米，利用圆柱形容器的壁厚=（EF-CD），即可得出答案.
4．（2021八上·广陵开学考）如图， ， 且 ， ，下列结论：① ；② ；③ ；其中正确的结论是
A．①② B．①②③ C．①③ D．②③
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解： ， ，
.
，
即 .
在 和 中，
，
，
， .
在 和 中
，
，
，
即 .
综上所述，①②③都是正确的.
故答案为：B.
【分析】由垂直的概念可得∠AOB=∠COD=90°，推出∠COB=∠AOD，证明△AOB≌△COD，得到AB=CD，∠ABO=∠CDO，进而证明△AOD≌△COB，得到∠CBO=∠ADO，推出∠ABC=∠CDA，据此判断.
5．（2020八上·西岗期末）如图，AC与BD交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需（ ）
A．AB=DC B．OB=OC C．∠A=∠D D．∠AOB=∠DOC
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由OA=OD，加上对顶角相等，再加上OB=OC，即可利用SAS得证．
【解答】在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS)，
则还需添加的添加是OB=OC，
故选B
6．（2021八上·灌云期中）如图，已知 和 都是等边三角形，且A、C、E三点共线. 与 交于点O， 与 交于点P， 与 交于点Q，连结 .以下六个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中正确结论的有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCB=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，故①正确；
由（1）得∠CBE=∠DAC，
又∵CA=CB，∠ACP=∠BCQ=60°，
∴△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ，故③正确；
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE，故⑤正确，
∵∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，
∴PD≠CD，
∴DE≠DP，故④错误；
∵BC∥DE，
∴∠CBE=∠BED，
∵∠CBE=∠DAE，
∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°，故②正确；
作CM⊥AD，CN⊥BE，连接OC，
∵△ACD≌△BCE，
∴CM=CN，
∴OC平分∠AOE，故⑥正确，
故正确的有①②③⑤⑥共5个，
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ACD≌△BCE，则可得出AD=AE，对 ① 作出判断；由（1）得∠CBE=∠DAC，然后根据三角形的外角的性质得出∠AOB=∠CBE+∠CEB=60°，对 ② 作判断；由（1）得∠CBE=∠DAC，再利用SAS证明△CQB≌△CPA，得出AP=BQ，对 ③ 作出判断；由于∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，得出CD>DP，即DE>PD，对 ④ 作判断；先求出△PCQ为等边三角形，∠PQC=∠DCE=60°，则可判定PQ∥AE，对 ⑤ 作判断；作CM⊥AD，CN⊥BE，连接OC，根据全等三角形的性质得出CM=CN，则可判定OC平分∠AOE，则可判断 ⑥ .
二、填空题
7．（2020八上·江苏月考）如图，AB与CD交于点O， ， ， ， ，则 的度数为
【答案】30°
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：在 和 中， ，
，
，
故答案为： .
【分析】由题意用边角边证△AOD≌△COB，再根据全等三角形的对应角相等即可求解.
8．（2020八上·沭阳月考）如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降30cm时，这时小明离地面的高度是 cm.
【答案】80
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】∵O是FG和CD的中点
∴OF=OG，OC=OD
在△OFC和△OGD中
∴△OFC≌△OGD（SAS）
∴CF=DG
又DG=30cm
∴CF=DG=30cm
∴小明离地面的高度=支点到地面的高度+CF=50+30=80cm
故答案为80
【分析】根据题意可得：OF=OG，OC=OD，利用已知条件判断出△OFC≌△OGD，得到CF=DG，即可求出答案.
9．（2020八上·宜兴期中）如图，在 ABC中，点D、E、F分别是BC，AB，AC上的点，若∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠EDF＝56°，则∠A＝ °.
【答案】68
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：在△BDF和△CED中
∵BF=CD，∠B=∠C，BD＝CE，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD=∠CDE，∠BDF=∠CED，
∴∠BDF+∠CDE=180 -∠EDF=180 -56 =124 ，
∴∠BFD+∠BDF=∠BDF+∠CDE=124 ，
∴∠C=∠B=180 -∠BFD-∠BDF=56 ，
∴∠A=180 -∠B-∠C=180 -56 -56 =68 .
故答案为：68 .
【分析】先由已知利用SAS可证△BDF≌△CED，由全等三角形对应角相等得出∠BFD=∠CDE，∠BDF=∠CED，进而推出∠B=∠C=∠EDF，再利用三角形内角和求∠A即可.
10．（2021八上·宜兴月考）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ .
【答案】55°
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°.
故答案为：55°.
【分析】根据∠BAC＝∠DAE以及角的和差关系可得∠1＝∠EAC，证明△BAD≌△CAE，得到∠2＝∠ABD＝30°，接下来根据∠3＝∠1+∠ABD进行求解.
11．（2020八上·南京期中）已知：如图， ，只需补充条件 ，就可以根据“ ”得到 .
【答案】
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：补充条件AC=BD，
在 和 中，
，
∴ .
故答案为：AC=BD.
【分析】由于题干中已经给出了∠CAB=∠DBA及AB=BA，故用三角形全等的判定方法SAS只能添加AC=DB，据此即可得出答案.
12．（2020八上·淮南期末）已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE＝∠C，②AQ＝BQ，③BP＝2PQ，④AE+BD＝AB，其正确的个数是 ．
【答案】3
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形的综合
【解析】【解答】证明：如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠1=∠2，
∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，
∴∠APE=∠C=60°，故①符合题意
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90° ∠BPQ=90° 60°=30°，
∴BP=2PQ．故③符合题意，
∵AC=BC．AE=DC，
∴BD=CE，
∴AE+BD=AE+EC=AC=AB，故④符合题意，
无法判断BQ=AQ，故②不符合题意，
∴正确的有①③④，共3个；
故答案为：3．
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，再利用“边角边"证明△ABE和△CAD全等。
三、解答题
13．（2020八上·丹徒期中）已知：如图，AC=BD，∠1=∠2.
求证：△ADB≌△BCA.
【答案】证明：在△ADB和△BCA中，
∵AC=BD，∠1=∠2，AB=BA，
∴△ADB≌△BCA(SAS).
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据SAS可证△ADB≌△BCA.
14．（2020八上·东海期中）已知：如图，在 、 上各取一点 、 ，使 ，连接 ， ， 与 交于 ，连接 ， ，求证： .
【答案】证明：在 和 中， ，
，
，
由对顶角相等得： ，
，即 ，
在 和 中， ，
，
.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据SAS可证△AOE≌△AOD，可得∠AOE=∠AOD，再根据ASA可证△AOB≌△AOC，从而可得∠B=∠C.
15．（2021八上·南通月考）如图，点A，B，C，D在同一条直线上， ， ， .求证： .
【答案】证明：∵ ，
∴
在 和 中，
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠ACE=∠D，再利用SAS证明△ACE≌△FDB，则可得出AE=FB即可.
16．（2020八上·洪泽月考）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，求证：BC＝DE.
【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中
，
∴△ABC≌△ADE，
∴BC=DE.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先证明∠BAC=∠DAE，再利用“SAS”可判断△ABC≌△ADE，然后根据全等三角形的对应边相等可得结论.
17．（2020八上·泰州月考）如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.
求证：
（1）EC=BF；
（2）EC⊥BF.
【答案】（1）证明：∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，
即∠EAC=∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
∵ ，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC=BF；
（2）证明：如图，根据（1），△ABF≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），
∴∠ABF+∠BDM=90°，
在△BDM中，∠BMD=180°﹣∠ABF﹣∠BDM=180°﹣90°=90°，
所以EC⊥BF.
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先求出∠EAC=∠BAF，然后利用“边角边”证明△ABF和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠ABF，设AB、CE相交于点D，根据∠AEC+∠ADE=90°可得∠ABF+∠ADM=90°，再根据三角形内角和定理推出∠BMD=90°，从而得证.
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