2021-2022学年苏科版数学八年级上册1.3.3探索三角形全等的条件AAS同步训练
一、单选题
1．（2018八上·江阴期中）如图，AC=DF，∠1=∠2，如果根据“AAS”判定△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（ ）
A．∠A=∠D B．AB=DE C．BF=CE D．∠B=∠E
2．（2021八上·云阳期末）如图， 、 分别为 、 边上的点， ， .若 ， ，则 的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2021八上·卧龙期末）如图， 和 中，点 ， ， ， 在同一直线上，在① ，② ，③ ，④ ，⑤ 五个条件中，能使 与 全等的条件的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．③④⑤
4．（2020八上·台州月考）如图，把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法：①△EBD是等腰三角形，EB=ED；②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；③△EBA和△EDC一定是全等三角形.其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（2021八上·南充期末）如图，点B，C，E在同一直线上，且 ， ， ，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020八上·无锡期中）如图， ，AC=BC. ， ，垂足分别是点D、E.若AD=6，BE=2，则DE的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
7．（2021八上·南充期末）如图， 与 中，已知， ，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使 ，你添加的条件是 .
8．（2021八上·虎林期末）如图，，，要使还需添加一个条件是 ．（只需写出一种情况）
9．（2021八上·德州期中）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC＝BC，∠ACB＝90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 cm.
10．（2021八上·抚顺期末）如图，点，在直线上，且，且，过，，分别作，，，若，，，则的面积是 ．
11．（2021八上·诸暨月考）如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论的序号都填上）
12．（2020八上·柯桥月考）如图，在△ABC中，点D为BC的中点，△AEF的边EF过点C，且AE=EF，AB∥EF，AD平分∠BAE，CE=2，AB=9，则CF= ．
三、解答题
13．（2021八上·太仓期末）如图，点E、F在AB上，且AE＝BF，∠C＝∠D，AC∥BD.求证：CF∥DE.
14．（2021八上·诸暨月考）如图，△ABC与△BAD中，AD与BC相交于点M，∠1＝∠2， ▲ ，试说明△ABC≌△BAD．请你在横线上添加一个条件，使得它可以用“AAS”来说明△ABC≌△BAD，并写出说理过程．
15．（2021八上·长春月考）如图， ， ， ， ．
（1）试说明： ；
（2）求 的度数．
16．（2021八上·凉山期末）在
中，
，
，直线
经过点
，且
于
，
于
.
（1）当直线
绕点
旋转到图1的位置时，
①求证：
≌
；
②求证：
；
（2）当直线
绕点
旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】需要补充的条件是∠B=∠E，在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，∠2=∠1，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（AAS）．
故答案为：D．
【分析】 运用“有两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”判断两个三角形全等可添加：∠E=∠B。
2．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：在 和 中， ，
∴ ，
∴AD =AE，AB=AC=7.
∴AD=AE=AC-CE=7-4=3.
故答案为：B.
【分析】根据题意利用“AAS”易证 ，从而得出结论AD =AE，AB=AC=7，进而根据AD=AE=AC-AE即可算出答案.
3．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：A、∵ ，
∴BC=FE，
又AB=DF，
但 不是对应夹角相等，不能用SSA判定，故本选项错误；
B、∵ ，
∴BC=FE，
又AB=DF，
但 不是对应夹角相等，不能用SSA判定，故本选项错误；
C、∵ ， ， ，
∴ ≌ （AAS），故本选项正确；
D、 ， ， ，
不能用AAA进行判定，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定定理一一判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
根据折叠的性质，
∴∠BAE=∠DCE=90 ，AB=CD，
在△EBA和△EDC中，
，
∴△EBA≌△EDC（AAS），故③正确；
∴BE=DE，
∴△EBD为等腰三角形，故①正确；
无法判断∠ABE和∠CBD是否相等，故②错误.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质得到∠BAE=∠DCE，AB=CD，再由对顶角相等可得∠AEB=∠CED，推出△EBA≌△EDC，依此可得①③正确；无法判断∠ABE和∠CBD是否相等.
5．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠B=90°，
∴∠1+∠A=90°，
∴∠A=∠2，
同理∠1=∠E，
∵∠D=90°，
∴∠E+∠2=∠A+∠E=90°，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴ ，
∴选项A、选项B，选项C都正确；
根据已知条件推出∠A=∠2，∠E=∠1，但是∠1=∠2不能推出，而∠BCD=90°+∠1，∠ACE=90°+∠2，所以 不一定成立故D错误；
故答案为：D.
【分析】利用垂直的定义可证得∠ACD=90°，再利用余角的性质可证得∠A=∠2，可对A作出判断，同理可证∠1=∠E，可推出∠A+∠E=90°，可对B作出判断；再利用AAS证△ABC≌△CDE，利用全等三角形的对应边相等，可得BC=DE，可对C作出判断；不能推出∠1=∠2，由此不能证∠BCD=∠ACE，可对D作出判断.
6．【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠ACD+∠ECB=90 ，
∵ ， ，
∴∠ADC=∠CEB=90 ，
∴∠ECB+∠CBE=90 ，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ACD和△CBE中，
∵∠ADC=∠CEB=90 ，∠ACD=∠CBE，AC=BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE=6，CD=BE=2，
∴ED=EC-CD=6-2=4.
故答案为：C.
【分析】根据同角的余角相等推得∠ACD=∠CBE，再加上AC=BC，从而利用AAS易证△ACD≌△CBE，根据全等三角形的性质得出AD=CE=6，CD=BE=2，从而即可利用ED=EC-CD 算出答案.
7．【答案】 或
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：所添加条件为： 或 ，
添加： ，
在 和 中，
，
；
添加： ，
在 和 中，
，
.
故答案为： 或 .
【分析】观察图形可知图形中隐含公共边BC=CB，可以添加其它两组角中的任意一组角对应相等，利用AAS，由此可得答案.
8．【答案】∠A＝∠D
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：添加条件为∠A＝∠D，理由是：
∵，
∴∠ABC=∠DBE，
在△ABC和△DBE中，
，
∴（AAS），
故答案为：∠A＝∠D．
【分析】先求出∠ABC=∠DBE，再利用AAS证明即可作答。
9．【答案】20
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：
由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中， ，
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20(cm)，
答：两堵木墙之间的距离为20cm.
故答案是：20.
【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得出结论。
10．【答案】15
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）∵EF⊥FG，BG⊥FG，
∴∠EFA=∠AGB=90°，
∴∠AEF+∠EAF=90°，
又∵AE⊥AB，即∠EAB=90°，
∴∠BAG+∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠BAG，
在△AEC和△CDB中，
，
∴△EFA≌△AGB（AAS）；
同理可证△BGC≌△CHD（AAS），
∴AG=EF=6，CG=DH=4，
∴S△ABC=ACBG=（AG+GC）BG=（6+4）3=15．
故答案为：15．
【分析】先证出△EFA≌△AGB（AAS），同理可证△BGC≌△CHD（AAS），可得出AG=EF=6，CG=DH=4，即可得出的面积。
11．【答案】①②③
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：在△AEB和△AFC中，
，
∴△AEB≌△AFC（AAS），
∴BE=CF， ② 正确，∠BAE=∠CAF，
∴∠BAE-∠BAC=∠CAF-∠BAC，
∴∠1=∠2， ① 正确；
在△ACN和△ABM中，
，
∴△ACN≌△ABM （ASA）， ③ 正确；
根据条件不能推出CD＝DN ， ④ 错误.
故答案为： ①②③ .
【分析】根据AAS证明△AEB≌△AFC，得出BE=CF，AC=AB，∠BAE=∠CAF，则可判断②，根据角的和差关系即可判断①；根据ASA证出△ACN≌△ABM ；根据已知不能推出不能用其它方法证出CD=DN，即可判断 ④ .
12．【答案】5
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，分别延长AD、FE交于点G，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD=∠HAE，
∵FH∥AB，
∴∠H=∠BAD，
∴∠H=∠HAE，
∴EA=EH=EF，
设CF=x，则EF=EA=EH=x+2，
∵∠H=∠BAD，∠HDC=∠ADB，DC=DB，
∴△HDC≌△ADB（AAS），
∴CH=AB=9，
∴x+2+2=9,
∴x=5.
【分析】分别延长AD、FE交于点G，根据平行线的性质，结合角平分线定义推得∠H=∠HAE，则EA=EH=EF，设CF=x，把EF用含x的代数式表示，再利用角角边定理证明△HDC≌△ADB，可得CH=AB=9，结合CH=x+2+2，先求出x，则CF的长可求.
13．【答案】证明： AC∥BD，
，
AE＝BF，
，即 ，
又 ∠C＝∠D
，
，
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】先证 ，得出 ，根据内错角相等两直线平行即可得证.
14．【答案】解：∠C＝∠D；
理由如下：
在△ABC与△BAD中，
∵
∴△ABC≌△BAD（AAS），
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用AAS证明 △ABC≌△BAD ，现知 ∠1＝∠2， AB为公共边，只需添加条件∠C=∠D即可.
15．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ．
∵在 和 中，
，
∴
（2）解：由（1）证得 ，
∵
∴
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）先求出 ，再利用AAS证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的判定与性质求解即可。
16．【答案】（1）证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
又∵AC=BC，
∴ ≌ ；
②∵ ≌ ，
∴CD=BE，AD=CE，
∵DE=CE+CD，
∴DE=AD+BE；
（2）解：DE=AD+BE不成立，此时应有DE=AD－BE，理由如下：
∵BE⊥MN，AD⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
又∵AC=BC，
∴ ≌ ，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CE－CD，
∴DE=AD－BE.
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）①根据垂直的概念得∠ADC=∠BEC=90°，根据同角的余角相等得∠DAC=∠BCE，然后利用全等三角形的判定定理AAS进行证明；
②根据全等三角形的性质可得CD=BE，AD=CE，然后根据DE=CE+CD进行证明；
（2）同理证明△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，然后根据DE=CE-CD进行证明.
1 / 12021-2022学年苏科版数学八年级上册1.3.3探索三角形全等的条件AAS同步训练
一、单选题
1．（2018八上·江阴期中）如图，AC=DF，∠1=∠2，如果根据“AAS”判定△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（ ）
A．∠A=∠D B．AB=DE C．BF=CE D．∠B=∠E
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】需要补充的条件是∠B=∠E，在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，∠2=∠1，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（AAS）．
故答案为：D．
【分析】 运用“有两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”判断两个三角形全等可添加：∠E=∠B。
2．（2021八上·云阳期末）如图， 、 分别为 、 边上的点， ， .若 ， ，则 的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：在 和 中， ，
∴ ，
∴AD =AE，AB=AC=7.
∴AD=AE=AC-CE=7-4=3.
故答案为：B.
【分析】根据题意利用“AAS”易证 ，从而得出结论AD =AE，AB=AC=7，进而根据AD=AE=AC-AE即可算出答案.
3．（2021八上·卧龙期末）如图， 和 中，点 ， ， ， 在同一直线上，在① ，② ，③ ，④ ，⑤ 五个条件中，能使 与 全等的条件的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．③④⑤
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：A、∵ ，
∴BC=FE，
又AB=DF，
但 不是对应夹角相等，不能用SSA判定，故本选项错误；
B、∵ ，
∴BC=FE，
又AB=DF，
但 不是对应夹角相等，不能用SSA判定，故本选项错误；
C、∵ ， ， ，
∴ ≌ （AAS），故本选项正确；
D、 ， ， ，
不能用AAA进行判定，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定定理一一判断得出答案.
4．（2020八上·台州月考）如图，把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法：①△EBD是等腰三角形，EB=ED；②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；③△EBA和△EDC一定是全等三角形.其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
根据折叠的性质，
∴∠BAE=∠DCE=90 ，AB=CD，
在△EBA和△EDC中，
，
∴△EBA≌△EDC（AAS），故③正确；
∴BE=DE，
∴△EBD为等腰三角形，故①正确；
无法判断∠ABE和∠CBD是否相等，故②错误.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质得到∠BAE=∠DCE，AB=CD，再由对顶角相等可得∠AEB=∠CED，推出△EBA≌△EDC，依此可得①③正确；无法判断∠ABE和∠CBD是否相等.
5．（2021八上·南充期末）如图，点B，C，E在同一直线上，且 ， ， ，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠B=90°，
∴∠1+∠A=90°，
∴∠A=∠2，
同理∠1=∠E，
∵∠D=90°，
∴∠E+∠2=∠A+∠E=90°，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴ ，
∴选项A、选项B，选项C都正确；
根据已知条件推出∠A=∠2，∠E=∠1，但是∠1=∠2不能推出，而∠BCD=90°+∠1，∠ACE=90°+∠2，所以 不一定成立故D错误；
故答案为：D.
【分析】利用垂直的定义可证得∠ACD=90°，再利用余角的性质可证得∠A=∠2，可对A作出判断，同理可证∠1=∠E，可推出∠A+∠E=90°，可对B作出判断；再利用AAS证△ABC≌△CDE，利用全等三角形的对应边相等，可得BC=DE，可对C作出判断；不能推出∠1=∠2，由此不能证∠BCD=∠ACE，可对D作出判断.
6．（2020八上·无锡期中）如图， ，AC=BC. ， ，垂足分别是点D、E.若AD=6，BE=2，则DE的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠ACD+∠ECB=90 ，
∵ ， ，
∴∠ADC=∠CEB=90 ，
∴∠ECB+∠CBE=90 ，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ACD和△CBE中，
∵∠ADC=∠CEB=90 ，∠ACD=∠CBE，AC=BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE=6，CD=BE=2，
∴ED=EC-CD=6-2=4.
故答案为：C.
【分析】根据同角的余角相等推得∠ACD=∠CBE，再加上AC=BC，从而利用AAS易证△ACD≌△CBE，根据全等三角形的性质得出AD=CE=6，CD=BE=2，从而即可利用ED=EC-CD 算出答案.
二、填空题
7．（2021八上·南充期末）如图， 与 中，已知， ，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使 ，你添加的条件是 .
【答案】 或
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：所添加条件为： 或 ，
添加： ，
在 和 中，
，
；
添加： ，
在 和 中，
，
.
故答案为： 或 .
【分析】观察图形可知图形中隐含公共边BC=CB，可以添加其它两组角中的任意一组角对应相等，利用AAS，由此可得答案.
8．（2021八上·虎林期末）如图，，，要使还需添加一个条件是 ．（只需写出一种情况）
【答案】∠A＝∠D
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：添加条件为∠A＝∠D，理由是：
∵，
∴∠ABC=∠DBE，
在△ABC和△DBE中，
，
∴（AAS），
故答案为：∠A＝∠D．
【分析】先求出∠ABC=∠DBE，再利用AAS证明即可作答。
9．（2021八上·德州期中）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC＝BC，∠ACB＝90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 cm.
【答案】20
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：
由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中， ，
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20(cm)，
答：两堵木墙之间的距离为20cm.
故答案是：20.
【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得出结论。
10．（2021八上·抚顺期末）如图，点，在直线上，且，且，过，，分别作，，，若，，，则的面积是 ．
【答案】15
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）∵EF⊥FG，BG⊥FG，
∴∠EFA=∠AGB=90°，
∴∠AEF+∠EAF=90°，
又∵AE⊥AB，即∠EAB=90°，
∴∠BAG+∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠BAG，
在△AEC和△CDB中，
，
∴△EFA≌△AGB（AAS）；
同理可证△BGC≌△CHD（AAS），
∴AG=EF=6，CG=DH=4，
∴S△ABC=ACBG=（AG+GC）BG=（6+4）3=15．
故答案为：15．
【分析】先证出△EFA≌△AGB（AAS），同理可证△BGC≌△CHD（AAS），可得出AG=EF=6，CG=DH=4，即可得出的面积。
11．（2021八上·诸暨月考）如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论的序号都填上）
【答案】①②③
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：在△AEB和△AFC中，
，
∴△AEB≌△AFC（AAS），
∴BE=CF， ② 正确，∠BAE=∠CAF，
∴∠BAE-∠BAC=∠CAF-∠BAC，
∴∠1=∠2， ① 正确；
在△ACN和△ABM中，
，
∴△ACN≌△ABM （ASA）， ③ 正确；
根据条件不能推出CD＝DN ， ④ 错误.
故答案为： ①②③ .
【分析】根据AAS证明△AEB≌△AFC，得出BE=CF，AC=AB，∠BAE=∠CAF，则可判断②，根据角的和差关系即可判断①；根据ASA证出△ACN≌△ABM ；根据已知不能推出不能用其它方法证出CD=DN，即可判断 ④ .
12．（2020八上·柯桥月考）如图，在△ABC中，点D为BC的中点，△AEF的边EF过点C，且AE=EF，AB∥EF，AD平分∠BAE，CE=2，AB=9，则CF= ．
【答案】5
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，分别延长AD、FE交于点G，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD=∠HAE，
∵FH∥AB，
∴∠H=∠BAD，
∴∠H=∠HAE，
∴EA=EH=EF，
设CF=x，则EF=EA=EH=x+2，
∵∠H=∠BAD，∠HDC=∠ADB，DC=DB，
∴△HDC≌△ADB（AAS），
∴CH=AB=9，
∴x+2+2=9,
∴x=5.
【分析】分别延长AD、FE交于点G，根据平行线的性质，结合角平分线定义推得∠H=∠HAE，则EA=EH=EF，设CF=x，把EF用含x的代数式表示，再利用角角边定理证明△HDC≌△ADB，可得CH=AB=9，结合CH=x+2+2，先求出x，则CF的长可求.
三、解答题
13．（2021八上·太仓期末）如图，点E、F在AB上，且AE＝BF，∠C＝∠D，AC∥BD.求证：CF∥DE.
【答案】证明： AC∥BD，
，
AE＝BF，
，即 ，
又 ∠C＝∠D
，
，
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】先证 ，得出 ，根据内错角相等两直线平行即可得证.
14．（2021八上·诸暨月考）如图，△ABC与△BAD中，AD与BC相交于点M，∠1＝∠2， ▲ ，试说明△ABC≌△BAD．请你在横线上添加一个条件，使得它可以用“AAS”来说明△ABC≌△BAD，并写出说理过程．
【答案】解：∠C＝∠D；
理由如下：
在△ABC与△BAD中，
∵
∴△ABC≌△BAD（AAS），
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用AAS证明 △ABC≌△BAD ，现知 ∠1＝∠2， AB为公共边，只需添加条件∠C=∠D即可.
15．（2021八上·长春月考）如图， ， ， ， ．
（1）试说明： ；
（2）求 的度数．
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ．
∵在 和 中，
，
∴
（2）解：由（1）证得 ，
∵
∴
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）先求出 ，再利用AAS证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的判定与性质求解即可。
16．（2021八上·凉山期末）在
中，
，
，直线
经过点
，且
于
，
于
.
（1）当直线
绕点
旋转到图1的位置时，
①求证：
≌
；
②求证：
；
（2）当直线
绕点
旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
【答案】（1）证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
又∵AC=BC，
∴ ≌ ；
②∵ ≌ ，
∴CD=BE，AD=CE，
∵DE=CE+CD，
∴DE=AD+BE；
（2）解：DE=AD+BE不成立，此时应有DE=AD－BE，理由如下：
∵BE⊥MN，AD⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
又∵AC=BC，
∴ ≌ ，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CE－CD，
∴DE=AD－BE.
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）①根据垂直的概念得∠ADC=∠BEC=90°，根据同角的余角相等得∠DAC=∠BCE，然后利用全等三角形的判定定理AAS进行证明；
②根据全等三角形的性质可得CD=BE，AD=CE，然后根据DE=CE+CD进行证明；
（2）同理证明△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，然后根据DE=CE-CD进行证明.
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