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浙江省诸暨市浣纱中学2021-2022学年八年级上学期数学9月月考试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2019八上·富阳月考）下列各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．4，6，10 B．3，6，7 C．5，6，12 D．2，3，6
2．（2021八上·诸暨月考）在△ABC中，∠A﹣∠C＝∠B，那么△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
3．（2019八下·河南期中）如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
4．（2021八上·诸暨月考）如图AB⊥AD，AB⊥BC，则以AB为一条高线的三角形共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021八上·诸暨月考）如图所示，△BDC′是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形（ ）对．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，下列A，B，C，D四个三角形中，能和模板中的△ABC完全重合的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2019八上·诸暨月考）下列命题中，真命题是（ ）
A．垂直于同一直线的两条直线平行
B．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
C．三角形三个内角中，至少有2个锐角
D．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
8．（2021八上·诸暨月考）如图，对任意的五角星，结论正确的是（ ）
A．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝90° B．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°
C．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝270° D．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝360°
9．（2021八上·诸暨月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．若AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
10．（2021八上·诸暨月考）如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC＝130°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（2021八上·诸暨月考）工人师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD两根木条），这样做的依据是 ．
12．（2017七下·钦南期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：
13．（2021八上·诸暨月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE为∠BAC的平分线，且∠DAE＝15°，∠B＝35°，则∠C＝ °．
14．（2021八上·诸暨月考）如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点H，若∠BHC＝110°，则∠A等于 ．
15．（2021八上·诸暨月考）命题“若x（1﹣x）＝0，则x＝0”是 命题（填“真”、假），证明时可举出的反例是 ．
16．（2016八上·余姚期中）已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简|x﹣5|+|x﹣13|= ．
17．（2021八上·诸暨月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，如果BC＝10，△DBC的周长为22，那么AB＝ ．
18．（2021八上·诸暨月考）如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论的序号都填上）
19．（2021八上·诸暨月考）如图，把△ABC的纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，则∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，这个数量关系为 ．
20．（2021八上·诸暨月考）若三角形的周长为13，且三边均为整数，则满足条件的三角形有 种．
三、解答题（6+6+8+10+10=40分）
21．（2021八上·诸暨月考）如图，已知△ABC，请按下列要求作图：
⑴用直尺和圆规作△ABC的角平分线CG．
⑵作BC边上的高线．
22．（2021八上·诸暨月考）如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝35°，∠B＝∠D＝20°，∠EAB＝105°，求∠BFD和∠BED的度数．
23．（2021八上·诸暨月考）如图，△ABC与△BAD中，AD与BC相交于点M，∠1＝∠2， ▲ ，试说明△ABC≌△BAD．请你在横线上添加一个条件，使得它可以用“AAS”来说明△ABC≌△BAD，并写出说理过程．
24．（2021八上·诸暨月考）已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，MN是经过点A的直线，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为D、E．
（1）求证：①∠BAD＝∠ACE；②BD＝AE；
（2）请写出BD，DE，CE三者间的数量关系式，并证明．
25．（2021八上·诸暨月考）如图，在△ABC中，AC＝6cm，AB＝9cm，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE＝AC，连接DE，已知DE＝2cm，BD＝3cm．求：
（1）线段BC的长；
（2）若∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，请补充图形，并用含a的代数式表示△ABC的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、4+6=10，不能组成三角形；
B、3+6>7，能组成三角形；
C、5+6<12，不能组成三角形；
D、2+3<6，不能组成三角形，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边即可一一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B+∠C，
∴∠A+∠B+∠C=∠A+∠A=2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形.
故答案为：D.
【分析】由题意得出∠A=∠B+∠C，结合三角形的内角和定理列式，推出∠A为直角，即可判断.
3．【答案】B
【知识点】作图-角
【解析】【解答】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，
故答案为：B.
【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，根据SSS可得到三角形全等.
4．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：以AB为高线的三角形有：△BAD，△AEC，△BAD，△ABE，
共4个.
故答案为：D.
【分析】根据三角形高线的定义， 结合AB⊥AD，AB⊥BC， 分别找出以AB为高的三角形即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，全等的三角形有：△BAD和△BCD，△BCD和△BC'D，△BAD和△BC'D，△BAE和△DC'E，共4对.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质和折叠的性质，分别找出全等的三角形，即可解答.
6．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵a，c边夹角为50°，∴根据SAS可判定两三角形全等，故此选项正确；
B、∵a，c边夹角不一定为50°，∴不能判定两三角形全等，故此选项错误；
C、∵72°角所对的边不相等，∴不能判定两三角形全等，故此选项错误；
D、∵50°和58°的角的夹边不相等，∴不能判定两三角形全等，故此选项错误；
故选：A．
【分析】三条边分别对应相等的两个三角形全等；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，据此判断即可．
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】A、在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，错误，不符合题意；
B、因为三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，所以有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，不符合题意；
C、假设三角形有一个锐角，两个钝角，则三角形的内角和大于180°，所以不可能，故至少有两个锐角，符合题意；
D、有两条边和一个角对应相等，即SSA，不符合判定定理，两个三角形不一定全等，错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，因为三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部；设三角形有一个锐角，两个钝角，则三角形的内角和大于180°，不符合三角形内角和定理；边边角不能判定两三角形全等.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，取F、G点，
∵∠AFG=∠C+∠E，∠AGF=∠B+∠D，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠AFG+∠AGF=180° .
故答案为：B.
【分析】取F、G点，然后根据三角形外角的性质分别得到∠AFG=∠C+∠E，∠AGF=∠B+∠D，再利用三角形内角和定理，即可解答.
9．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AC，DE⊥AB，
∴∠ACD=∠AED，∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AE=AC，DC=DE，
∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BC+BE=AC+BE=AE+EB=AB=6cm.
故答案为：B.
【分析】根据题意，利用AAS证明△ACD≌△AED，得出AE=AC，DC=DE，然后通过转化得出△DEB的周长等于AB长，即可解答.
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，连接AG，GD，并延长GD，
∵∠GBD=∠MDB-∠DGB，∠GCD=∠MDC-∠DGC，
∴∠GBD+∠GCD=∠MDB-∠DGB+∠MDC-∠DGC=∠MDB+∠MDC-（∠DGB+∠DGC）
=∠BDC-∠BGC=130°-100°=30°，
∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，
∴∠ABG+∠ACG=∠GBD+∠GCD=30°，
∴∠A=∠BAG+∠CAG=180°-∠BGA-∠ABG+180°-∠ACG-∠AGC=360°-（∠ABG+∠ACG）-（360°-∠BGC）=360°-30°-260°=70°.
故答案为：B.
【分析】连接AG，GD，并延长GD，根据三角形外角的性质推得∠GBD+∠GCD=30°，结合角平分线定义得出∠ABG+∠ACG=30°，然后根据三角形内角和定理推出∠A=360°-（∠ABG+∠ACG）-（360°-∠BGC），代入数值即可解答.
11．【答案】三角形的稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：∵上两条斜拉的木条是为了使门框的两个拐角形成三角形，利用三角形的稳定性，而防止门框变形.
故答案为：三角形的稳定性 .
【分析】根据三角形的稳定性使门框的两个拐角不变形，从而防止整个门框变形.
12．【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：题设为：对顶角，结论为：相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．
【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．
13．【答案】65
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-35°=55°，
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=55°-15°=40°，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠BAE=80°，
∴∠C=180°-∠B-∠C=180°-35°-80°=65°.
故答案为：65.
【分析】根据直角三角形的性质先求出∠BAD的度数，然后根据角的和差关系求出∠BAE，则可根据角平分线的定义求出∠BAC，最后根据三角形内角和定理求∠C即可.
14．【答案】70°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵BD、CE为△ABC的高，
∴∠AEH=∠ADH=90°，
∴∠A=360°-∠AEH-∠ADH-∠DHE=360°-90°-90°-110°=70°.
故答案为：70°.
【分析】根据高的定义得出∠AEH和∠ADH的度数，然后根据四边形内角和为360°，列式计算即可.
15．【答案】假；x=1
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵当x=1时，
x（1﹣x）＝1×0=0，
∴若x（1﹣x）＝0，则x＝0或x=1，
∴是假命题.
故答案为：假，x=1.
【分析】要证明一个命题是假命题，只需列举一个反例即可，由于本题当x=1时，是方程的解，即可解答.
16．【答案】8
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的三边长分别是3、x、9，
∴6＜x＜12，
∴x﹣5＞0，x﹣13＜0，
∴|x﹣5|+|x﹣13|=x﹣5+13﹣x=8，
故答案为：8．
【分析】首先确定第三边的取值范围，从而确定x﹣5和x﹣13的值，然后去绝对值符号求解即可．
17．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的中垂线，
∴AD=BD，
∵BD+DC+BC=22，
∴BD+DC=22-BC=12=AD+DC=AC，
∴AB=AC=12.
故答案为：12.
【分析】根据中垂线的性质得出AD=BD，结合△DBC的周长，求出BD+DC=12，则可得出AC的长，最后根据等腰三角形的性质，即可解答.
18．【答案】①②③
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：在△AEB和△AFC中，
，
∴△AEB≌△AFC（AAS），
∴BE=CF， ② 正确，∠BAE=∠CAF，
∴∠BAE-∠BAC=∠CAF-∠BAC，
∴∠1=∠2， ① 正确；
在△ACN和△ABM中，
，
∴△ACN≌△ABM （ASA）， ③ 正确；
根据条件不能推出CD＝DN ， ④ 错误.
故答案为： ①②③ .
【分析】根据AAS证明△AEB≌△AFC，得出BE=CF，AC=AB，∠BAE=∠CAF，则可判断②，根据角的和差关系即可判断①；根据ASA证出△ACN≌△ABM ；根据已知不能推出不能用其它方法证出CD=DN，即可判断 ④ .
19．【答案】2∠A＝∠1+∠2
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可知，
∠1=180°-2∠ADE，∠2=180°-2∠AED，
∴∠1+∠2=180°-2∠ADE+180°-2∠AED=360°-2（∠ADE+∠AED）=360°-2（180°-∠A）=2∠A.
故答案为： 2∠A＝∠1+∠2 .
【分析】先根据折叠的性质得出∠1=180°-2∠ADE，∠2=180°-2∠AED，然后求出 ∠1和∠2的和，再利用三角形内角和定理将其转化并化简，即可得出结果.
20．【答案】5
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三边长分别为a≤b≤c，则a+b=13-c>c≥，
∴≤c<，
∴c=5或6，
当①当c=5时， b=4 ， a=4或b=3 ， a=5 ；
②当c=6时，b=4，a=3或b=6，a=1或b=5 ， a=2 ；
∴满足条件的三角形的个数为5.
故答案为：5.
【分析】在三角形的三边中，除等边三角形三边相等外，必有一边是最长边；先确定最长边的取值范围，然后分类讨论，结合三角形的三边关系，即可解答.
21．【答案】解： ⑴如图，用直尺和圆规作△ABC的角平分线CG ，
⑵作BC边上的高线AF，交CB的延长线于F点.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图-垂线；作图-角的平分线
【解析】【分析】(1)利用基本作图（作已知角的平分线）作角平分线CF即可；
(2)过A作AF⊥BC，交CB的延长线于F即可.
22．【答案】解：∵ △ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠BAC+∠CAD=105°，
∴2∠BAC=105°-∠CAD=70°，
∴∠BAC=35°，
∴∠BAF=∠BAC+∠CAD=35°+35°=70°，
∴∠BFD=∠B+∠BAF=20°+70°=90°，
∴∠BED=∠BFD-∠D=90°-20°=70°.
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质
【解析】【分析】根据全等三角形的性质得出∠DAE=∠BAC，然后根据角的和差关系列式求出∠BAC，再根据三角形外角的性质求出∠BFD，则可根据三角形外角的性质求∠BED即可.
23．【答案】解：∠C＝∠D；
理由如下：
在△ABC与△BAD中，
∵
∴△ABC≌△BAD（AAS），
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用AAS证明 △ABC≌△BAD ，现知 ∠1＝∠2， AB为公共边，只需添加条件∠C=∠D即可.
24．【答案】（1）证明：①∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵CE⊥MN，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE；
②∵BD⊥MN，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD＝AE；
（2）解：∵△ABD≌△CAE，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝AD+DE，
∴BD＝CE+DE
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】( 1 )根据同角的余角相等的性质证明 ∠BAD＝∠ACE即可；利用AAS证明△ABD≌OCAE，然后根据全等三角形性质得出BD=AE，即可解答；
( 2 )由于△ABD≌△CAE，得出BD=AE ， CE=AD，再根据线段的和差关系，即可解答.
25．【答案】（1）解：∵AD平分∠BAC ∴∠BAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中
∵ ，
∴△ADE≌△ADC（SAS）
∴DE＝DC，
∴BC＝BD+DC＝BD+DE＝2+3＝5（cm）
（2）解：如图，
∵∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，
∴S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC＝ ×6a+ ×9a+ ×5a＝3a+ a+ a＝10a（cm）2．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义得出∠BAD＝∠CAD，然后利用SAS证明△ADE≌△ADC，得出DE=DC，再根据线段的和差关系，即可解答；
(2)作出∠ACB的平分线，交AD于O，过O作△ABC三边的垂线，由内心的性质可知，OF=OM=ON=a，然后根据S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC，代入数据计算化简即可.
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浙江省诸暨市浣纱中学2021-2022学年八年级上学期数学9月月考试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2019八上·富阳月考）下列各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．4，6，10 B．3，6，7 C．5，6，12 D．2，3，6
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、4+6=10，不能组成三角形；
B、3+6>7，能组成三角形；
C、5+6<12，不能组成三角形；
D、2+3<6，不能组成三角形，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边即可一一判断得出答案.
2．（2021八上·诸暨月考）在△ABC中，∠A﹣∠C＝∠B，那么△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B+∠C，
∴∠A+∠B+∠C=∠A+∠A=2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形.
故答案为：D.
【分析】由题意得出∠A=∠B+∠C，结合三角形的内角和定理列式，推出∠A为直角，即可判断.
3．（2019八下·河南期中）如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【答案】B
【知识点】作图-角
【解析】【解答】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，
故答案为：B.
【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，根据SSS可得到三角形全等.
4．（2021八上·诸暨月考）如图AB⊥AD，AB⊥BC，则以AB为一条高线的三角形共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：以AB为高线的三角形有：△BAD，△AEC，△BAD，△ABE，
共4个.
故答案为：D.
【分析】根据三角形高线的定义， 结合AB⊥AD，AB⊥BC， 分别找出以AB为高的三角形即可.
5．（2021八上·诸暨月考）如图所示，△BDC′是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形（ ）对．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，全等的三角形有：△BAD和△BCD，△BCD和△BC'D，△BAD和△BC'D，△BAE和△DC'E，共4对.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质和折叠的性质，分别找出全等的三角形，即可解答.
6．如图，下列A，B，C，D四个三角形中，能和模板中的△ABC完全重合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵a，c边夹角为50°，∴根据SAS可判定两三角形全等，故此选项正确；
B、∵a，c边夹角不一定为50°，∴不能判定两三角形全等，故此选项错误；
C、∵72°角所对的边不相等，∴不能判定两三角形全等，故此选项错误；
D、∵50°和58°的角的夹边不相等，∴不能判定两三角形全等，故此选项错误；
故选：A．
【分析】三条边分别对应相等的两个三角形全等；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，据此判断即可．
7．（2019八上·诸暨月考）下列命题中，真命题是（ ）
A．垂直于同一直线的两条直线平行
B．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
C．三角形三个内角中，至少有2个锐角
D．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】A、在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，错误，不符合题意；
B、因为三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，所以有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，不符合题意；
C、假设三角形有一个锐角，两个钝角，则三角形的内角和大于180°，所以不可能，故至少有两个锐角，符合题意；
D、有两条边和一个角对应相等，即SSA，不符合判定定理，两个三角形不一定全等，错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，因为三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部；设三角形有一个锐角，两个钝角，则三角形的内角和大于180°，不符合三角形内角和定理；边边角不能判定两三角形全等.
8．（2021八上·诸暨月考）如图，对任意的五角星，结论正确的是（ ）
A．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝90° B．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°
C．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝270° D．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝360°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，取F、G点，
∵∠AFG=∠C+∠E，∠AGF=∠B+∠D，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠AFG+∠AGF=180° .
故答案为：B.
【分析】取F、G点，然后根据三角形外角的性质分别得到∠AFG=∠C+∠E，∠AGF=∠B+∠D，再利用三角形内角和定理，即可解答.
9．（2021八上·诸暨月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．若AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AC，DE⊥AB，
∴∠ACD=∠AED，∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AE=AC，DC=DE，
∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BC+BE=AC+BE=AE+EB=AB=6cm.
故答案为：B.
【分析】根据题意，利用AAS证明△ACD≌△AED，得出AE=AC，DC=DE，然后通过转化得出△DEB的周长等于AB长，即可解答.
10．（2021八上·诸暨月考）如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC＝130°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，连接AG，GD，并延长GD，
∵∠GBD=∠MDB-∠DGB，∠GCD=∠MDC-∠DGC，
∴∠GBD+∠GCD=∠MDB-∠DGB+∠MDC-∠DGC=∠MDB+∠MDC-（∠DGB+∠DGC）
=∠BDC-∠BGC=130°-100°=30°，
∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，
∴∠ABG+∠ACG=∠GBD+∠GCD=30°，
∴∠A=∠BAG+∠CAG=180°-∠BGA-∠ABG+180°-∠ACG-∠AGC=360°-（∠ABG+∠ACG）-（360°-∠BGC）=360°-30°-260°=70°.
故答案为：B.
【分析】连接AG，GD，并延长GD，根据三角形外角的性质推得∠GBD+∠GCD=30°，结合角平分线定义得出∠ABG+∠ACG=30°，然后根据三角形内角和定理推出∠A=360°-（∠ABG+∠ACG）-（360°-∠BGC），代入数值即可解答.
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（2021八上·诸暨月考）工人师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD两根木条），这样做的依据是 ．
【答案】三角形的稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：∵上两条斜拉的木条是为了使门框的两个拐角形成三角形，利用三角形的稳定性，而防止门框变形.
故答案为：三角形的稳定性 .
【分析】根据三角形的稳定性使门框的两个拐角不变形，从而防止整个门框变形.
12．（2017七下·钦南期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：
【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：题设为：对顶角，结论为：相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．
【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．
13．（2021八上·诸暨月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE为∠BAC的平分线，且∠DAE＝15°，∠B＝35°，则∠C＝ °．
【答案】65
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-35°=55°，
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=55°-15°=40°，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠BAE=80°，
∴∠C=180°-∠B-∠C=180°-35°-80°=65°.
故答案为：65.
【分析】根据直角三角形的性质先求出∠BAD的度数，然后根据角的和差关系求出∠BAE，则可根据角平分线的定义求出∠BAC，最后根据三角形内角和定理求∠C即可.
14．（2021八上·诸暨月考）如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点H，若∠BHC＝110°，则∠A等于 ．
【答案】70°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵BD、CE为△ABC的高，
∴∠AEH=∠ADH=90°，
∴∠A=360°-∠AEH-∠ADH-∠DHE=360°-90°-90°-110°=70°.
故答案为：70°.
【分析】根据高的定义得出∠AEH和∠ADH的度数，然后根据四边形内角和为360°，列式计算即可.
15．（2021八上·诸暨月考）命题“若x（1﹣x）＝0，则x＝0”是 命题（填“真”、假），证明时可举出的反例是 ．
【答案】假；x=1
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵当x=1时，
x（1﹣x）＝1×0=0，
∴若x（1﹣x）＝0，则x＝0或x=1，
∴是假命题.
故答案为：假，x=1.
【分析】要证明一个命题是假命题，只需列举一个反例即可，由于本题当x=1时，是方程的解，即可解答.
16．（2016八上·余姚期中）已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简|x﹣5|+|x﹣13|= ．
【答案】8
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的三边长分别是3、x、9，
∴6＜x＜12，
∴x﹣5＞0，x﹣13＜0，
∴|x﹣5|+|x﹣13|=x﹣5+13﹣x=8，
故答案为：8．
【分析】首先确定第三边的取值范围，从而确定x﹣5和x﹣13的值，然后去绝对值符号求解即可．
17．（2021八上·诸暨月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，如果BC＝10，△DBC的周长为22，那么AB＝ ．
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的中垂线，
∴AD=BD，
∵BD+DC+BC=22，
∴BD+DC=22-BC=12=AD+DC=AC，
∴AB=AC=12.
故答案为：12.
【分析】根据中垂线的性质得出AD=BD，结合△DBC的周长，求出BD+DC=12，则可得出AC的长，最后根据等腰三角形的性质，即可解答.
18．（2021八上·诸暨月考）如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论的序号都填上）
【答案】①②③
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：在△AEB和△AFC中，
，
∴△AEB≌△AFC（AAS），
∴BE=CF， ② 正确，∠BAE=∠CAF，
∴∠BAE-∠BAC=∠CAF-∠BAC，
∴∠1=∠2， ① 正确；
在△ACN和△ABM中，
，
∴△ACN≌△ABM （ASA）， ③ 正确；
根据条件不能推出CD＝DN ， ④ 错误.
故答案为： ①②③ .
【分析】根据AAS证明△AEB≌△AFC，得出BE=CF，AC=AB，∠BAE=∠CAF，则可判断②，根据角的和差关系即可判断①；根据ASA证出△ACN≌△ABM ；根据已知不能推出不能用其它方法证出CD=DN，即可判断 ④ .
19．（2021八上·诸暨月考）如图，把△ABC的纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，则∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，这个数量关系为 ．
【答案】2∠A＝∠1+∠2
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可知，
∠1=180°-2∠ADE，∠2=180°-2∠AED，
∴∠1+∠2=180°-2∠ADE+180°-2∠AED=360°-2（∠ADE+∠AED）=360°-2（180°-∠A）=2∠A.
故答案为： 2∠A＝∠1+∠2 .
【分析】先根据折叠的性质得出∠1=180°-2∠ADE，∠2=180°-2∠AED，然后求出 ∠1和∠2的和，再利用三角形内角和定理将其转化并化简，即可得出结果.
20．（2021八上·诸暨月考）若三角形的周长为13，且三边均为整数，则满足条件的三角形有 种．
【答案】5
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三边长分别为a≤b≤c，则a+b=13-c>c≥，
∴≤c<，
∴c=5或6，
当①当c=5时， b=4 ， a=4或b=3 ， a=5 ；
②当c=6时，b=4，a=3或b=6，a=1或b=5 ， a=2 ；
∴满足条件的三角形的个数为5.
故答案为：5.
【分析】在三角形的三边中，除等边三角形三边相等外，必有一边是最长边；先确定最长边的取值范围，然后分类讨论，结合三角形的三边关系，即可解答.
三、解答题（6+6+8+10+10=40分）
21．（2021八上·诸暨月考）如图，已知△ABC，请按下列要求作图：
⑴用直尺和圆规作△ABC的角平分线CG．
⑵作BC边上的高线．
【答案】解： ⑴如图，用直尺和圆规作△ABC的角平分线CG ，
⑵作BC边上的高线AF，交CB的延长线于F点.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图-垂线；作图-角的平分线
【解析】【分析】(1)利用基本作图（作已知角的平分线）作角平分线CF即可；
(2)过A作AF⊥BC，交CB的延长线于F即可.
22．（2021八上·诸暨月考）如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝35°，∠B＝∠D＝20°，∠EAB＝105°，求∠BFD和∠BED的度数．
【答案】解：∵ △ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠BAC+∠CAD=105°，
∴2∠BAC=105°-∠CAD=70°，
∴∠BAC=35°，
∴∠BAF=∠BAC+∠CAD=35°+35°=70°，
∴∠BFD=∠B+∠BAF=20°+70°=90°，
∴∠BED=∠BFD-∠D=90°-20°=70°.
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质
【解析】【分析】根据全等三角形的性质得出∠DAE=∠BAC，然后根据角的和差关系列式求出∠BAC，再根据三角形外角的性质求出∠BFD，则可根据三角形外角的性质求∠BED即可.
23．（2021八上·诸暨月考）如图，△ABC与△BAD中，AD与BC相交于点M，∠1＝∠2， ▲ ，试说明△ABC≌△BAD．请你在横线上添加一个条件，使得它可以用“AAS”来说明△ABC≌△BAD，并写出说理过程．
【答案】解：∠C＝∠D；
理由如下：
在△ABC与△BAD中，
∵
∴△ABC≌△BAD（AAS），
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用AAS证明 △ABC≌△BAD ，现知 ∠1＝∠2， AB为公共边，只需添加条件∠C=∠D即可.
24．（2021八上·诸暨月考）已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，MN是经过点A的直线，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为D、E．
（1）求证：①∠BAD＝∠ACE；②BD＝AE；
（2）请写出BD，DE，CE三者间的数量关系式，并证明．
【答案】（1）证明：①∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵CE⊥MN，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE；
②∵BD⊥MN，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD＝AE；
（2）解：∵△ABD≌△CAE，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝AD+DE，
∴BD＝CE+DE
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】( 1 )根据同角的余角相等的性质证明 ∠BAD＝∠ACE即可；利用AAS证明△ABD≌OCAE，然后根据全等三角形性质得出BD=AE，即可解答；
( 2 )由于△ABD≌△CAE，得出BD=AE ， CE=AD，再根据线段的和差关系，即可解答.
25．（2021八上·诸暨月考）如图，在△ABC中，AC＝6cm，AB＝9cm，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE＝AC，连接DE，已知DE＝2cm，BD＝3cm．求：
（1）线段BC的长；
（2）若∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，请补充图形，并用含a的代数式表示△ABC的面积．
【答案】（1）解：∵AD平分∠BAC ∴∠BAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中
∵ ，
∴△ADE≌△ADC（SAS）
∴DE＝DC，
∴BC＝BD+DC＝BD+DE＝2+3＝5（cm）
（2）解：如图，
∵∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，
∴S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC＝ ×6a+ ×9a+ ×5a＝3a+ a+ a＝10a（cm）2．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义得出∠BAD＝∠CAD，然后利用SAS证明△ADE≌△ADC，得出DE=DC，再根据线段的和差关系，即可解答；
(2)作出∠ACB的平分线，交AD于O，过O作△ABC三边的垂线，由内心的性质可知，OF=OM=ON=a，然后根据S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC，代入数据计算化简即可.
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