人教版数学九年级上册第21章 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 同步练习
一、单选题
1．（2017·全椒模拟）若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0的两根，则矩形的对角线之和为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设矩形的长和宽分别为a、b，
则a+b=7，ab=12，
所以矩形的对角线长= = = =5，
所以矩形的对角线之和为10．
故选D．
【分析】设矩形的长和宽分别为a、b，根据根与系数的关系得到a+b=7，ab=12，利用勾股定理得到矩形的对角线长= ，再利用完全平方公式和整体代入的方法可计算出矩形的对角线长为5，则根据矩形的性质得到矩形的对角线之和为10．
2．（2017·夏津模拟）设a，b是方程x2+x﹣2012=0的两个根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2009 B．2010 C．2011 D．2012
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵把x=a代入方程x2+x﹣2012=0得：a2+a﹣2012=0，
∴a2+a=2012，
∵a，b是方程x2+x﹣2012=0的两个根，
∴a+b=﹣1，
∴a2+2a+b
=a2+a+a+b
=2012+（﹣1）
=2011．
故选C．
【分析】把x=a代入方程x2+x﹣2012=0得出a2+a﹣2012=0，求出a2+a=2012，根据根与系数的关系得出a+b=﹣1，代入求出即可．
3．（2016·浙江模拟）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设一元二次方程的另一根为x1，
则根据一元二次方程根与系数的关系，
得﹣1+x1=﹣3，
解得：x1=﹣2．
故选A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．
4．（2017·绵阳）关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，则nm的值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．16 D．﹣16
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，
∴﹣ =﹣1， =﹣2，
∴m=2，n=﹣4，
∴nm=（﹣4）2=16．
故选C．
【分析】由方程的两根结合根与系数的关系可求出m、n的值，将其代入nm中即可求出结论．
5．（2017·怀化）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1 x2的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣3
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，
∴x1+x2=2，x1 x2=﹣3．
故选D．
【分析】根据根与系数的关系，即可得出x1+x2=2、x1 x2=﹣3，此题得解．
6．（2017·新疆）已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3，
即方程的另一个根是﹣3．
故选A．
【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=﹣1，然后解一元一次方程即可．
7．（2017·烟台）若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x1+x2=1﹣x1x2，则m的值为（ ）
A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．﹣2 D．1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，
∴x1+x2=2m，x1 x2=m2﹣m﹣1．
∵x1+x2=1﹣x1x2，
∴2m=1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2=（m+2）（m﹣1）=0，
解得：m1=﹣2，m2=1．
∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0有实数根，
∴△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）=4m+4≥0，
解得：m≥﹣1．
∴m=1．
故选D．
【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=1﹣x1x2，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而可确定m的值．
8．（2017·呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．2或0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的两根为x1，x2，
根据题意得x1+x2=0，
所以a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，
当a=2时，方程化为x2+1=0，△=﹣4＜0，故a=2舍去，
所以a的值为0．
故选B．
【分析】设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，然后利用判别式的意义确定a的取值．
9．（2016·凉山）已知，一元二次方程x2﹣8x+15=0的两根分别是⊙O1和⊙O2的半径，当⊙O1和⊙O2相切时，O1O2的长度是（ ）
A．2 B．8 C．2或8 D．2＜O1O2＜8
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；圆与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根，
解得⊙O1、⊙O2的半径分别是3和5．
∴①当两圆外切时，圆心距O1O2=3+5=8；
②当两圆内切时，圆心距O1O2=5﹣2=2．
故选C．
【分析】先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况讨论求解．
10．（2017·天门）若α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ ）
A．﹣13 B．12 C．14 D．15
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵α为2x2﹣5x﹣1=0的实数根，
∴2α2﹣5α﹣1=0，即2α2=5α+1，
∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1，
∵α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根，
∴α+β= ，αβ=﹣ ，
∴2α2+3αβ+5β=5× +3×（﹣ ）+1=12．
故选B．
【分析】根据一元二次方程解的定义得到2α2﹣5α﹣1=0，即2α2=5α+1，则2α2+3αβ+5β可表示为5（α+β）+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β= ，αβ=﹣ ，然后利用整体代入的方法计算．
11．（2017·益阳）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac=0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤0
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，
∴b2﹣4ac＞0，
故选A
【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，确定出根的判别式的符号即可．
12．（图形的变化(386)+—+图形的相似(417)+—+相似三角形的判定与性质(426) ）已知△ABC，D、E分别为AC、AB中点，BD和CE交于点O，BD和CE是一元二次方程x2﹣kx+24=0的两个不等实根，则△BOE面积的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别为AC、AB中点，BD和CE交于点O，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC=2DE，
∴△DOE∽△BOC，
∴OD：OB=OE：OC=DE：BC=1：2，
∴OE= CE，OB= BD，
∵BD和CE是一元二次方程x2﹣kx+24=0的两个不等实根，
∴BD CE=24，
若△BOE面积最大，则△BOE是直角三角形，
分两种情况：
①若∠BEO=90°，则CE⊥AB，
∵E是AB的中点，
∴AC=BC，
同理：AB=BC，
则△ABC是等边三角形，
∴BD=CE，不合题意；
②当∠BOE=90°时，△BOE的面积= OE OB= × CE× BD= × × ×24= ；
故选：C．
【分析】由已知条件得出O为△ABC的重心，由重心定理得出OE= CE，OB= BD，由根与系数的关系得出BD CE=24，若△BOE面积最大，则△BOE是直角三角形，分两种情况讨论，即可得出结果．
二、填空题
13．（2017·南京）已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，则p= ，q= ．
【答案】4；3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，
∴﹣3+（﹣1）=﹣p，（﹣3）×（﹣1）=q，
∴p=4，q=3．
故答案为：4；3．
【分析】由根与系数的关系可得出关于p或q的一元一次方程，解之即可得出结论．
14．（2017·盐城）若方程x2﹣4x+1=0的两根是x1，x2，则x1（1+x2）+x2的值为 ．
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=4，x1x2=1，
所以x1（1+x2）+x2=x1+x1x2+x2
=x1+x2+x1x2
=4+1
=5．
故答案为5．
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=4，x1x2=1，然后把x1（1+x2）+x2展开得到x1+x2+x1x2，然后利用整体代入的方法计算即可．
15．（2017·张家界）已知一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的两根是m，n，则m2+n2= ．
【答案】17
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的两个根，
∴m+n=3，mn=﹣4，
则m2+n2=（m+n）2﹣2mn=9+8=17．
故答案为：17．
【分析】由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系，求出m+n与mn的值，将所求式子利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值．
16．（2017·河源模拟）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1 x2= ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，
∴x1 x2= =﹣ ．
故填空答案为﹣ ．
【分析】直接根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1 x2．
17．（2017·荆门）已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2，则x12+x22= ．
【答案】23
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2=﹣5，x1 x2=1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1 x2=（﹣5）2﹣2×1=23．
故答案为：23．
【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=﹣5、x1 x2=1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1 x2中，即可求出结论．
18．（2017·仪征模拟）若方程（m﹣x）（x﹣n）=3（m、n为常数，且m＜n）的两实数根分别为a、b（a＜b），则将m，n，a，b按从小到大的顺序排列为 ．
【答案】m＜a＜b＜n
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：因为方程（m﹣x）（x﹣n）=3（m、n为常数，且m＜n）的两实数根分别为a、b（a＜b），
所以二次函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）与直线y=3的交点的横坐标分别为a、b，
而二次函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）与x轴的两交点的坐标为（m，0），（n，0），抛物线开口向下，
所以m＜a＜b＜n．
故答案为m＜a＜b＜n．
【分析】利用数形结合的思想，根据题意得到二次函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）与直线y=3的交点的横坐标分别为a、b，加上二次函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）与x轴的两交点的坐标为（m，0），（n，0），抛物线开口向下，于是可得到m＜a＜b＜n．
三、计算题
19．（2016九上·徐闻期中）已知x=1是关于x的一元二次方程x2+3x﹣m=0的一个根，求m的值和方程的另一个根．
【答案】解：∵x=1是方程的根，
∴1+3﹣m=0，
∴m=4，
设另一个根为x2，则1+x2=﹣3，
∴x2=﹣4，
∴m的值是4，另一个根是x=﹣4
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】由于x=1是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后根据根与系数的关系可以求出方程的另一根．
20．已知关于x的方程有一个根是0，求另一个根和的值.
【答案】解：根据题意，得
-m=-1，
解得，m=1；
故原方程可化为：x2-3x=0
由韦达定理，知x1+x2=3；
∴0+x2=3，
解得，x2=3．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】根据一元二次方程的解定义，将x=0代入关于x的方程，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2=解出方程的另一个根．
四、解答题
21．（2017·呼和浩特模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3=0，若此方程的两根的倒数和为1，求m的值．
【答案】解：设方程的两个根分别为α、β，
∴α+β=3，αβ=m﹣3．
∵ = = =1，
∴m=6，
经检验，m=6是分式方程 =1的解．
∵方程x2﹣3x+m﹣3=0有两个实数根，
∴△=（﹣3）2﹣4（m﹣3）=21﹣4m≥0，
∴m≤ ，
∴m=6舍去．
∴m无实数根
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】设方程的两个根分别为α、β，由根与系数的关系可得出α+β=3、αβ=m﹣3，结合 =1可得出 =1，解之即可得出m的值，再根据根的判别式即可得出△=21﹣4m≥0，解之即可得出m的取值范围，由此即可确定m无解．
22．（2013·玉林）已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．
【答案】解：∵关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m，
∴ ，
解得， ，即m，n的值分别是1、﹣2．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】利用根与系数的关系知﹣2+m=﹣1，﹣2m=n，据此易求m、n的值．
23．（2017·黄石模拟）已知关于x的方程x2﹣3mx+2（m﹣1）=0的两根为x1、x2，且 + =﹣ ，则m的值是多少？
【答案】解：根据题意得x1+x2=3m，x1x2=2（m﹣1），
∵ + =﹣ ，
∴ =﹣ ，
∴ =﹣ ，
解得m= ，
∵△＞0，
∴m的值为 ．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2=3m，x1x2=2（m﹣1），再变形已知条件得到 =﹣ ，则 =﹣ ，然后解方程求出m，再利用判别式的意义可确定m的值．
1 / 1人教版数学九年级上册第21章 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 同步练习
一、单选题
1．（2017·全椒模拟）若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0的两根，则矩形的对角线之和为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
2．（2017·夏津模拟）设a，b是方程x2+x﹣2012=0的两个根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2009 B．2010 C．2011 D．2012
3．（2016·浙江模拟）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3
4．（2017·绵阳）关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，则nm的值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．16 D．﹣16
5．（2017·怀化）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1 x2的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣3
6．（2017·新疆）已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6
7．（2017·烟台）若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x1+x2=1﹣x1x2，则m的值为（ ）
A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．﹣2 D．1
8．（2017·呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．2或0
9．（2016·凉山）已知，一元二次方程x2﹣8x+15=0的两根分别是⊙O1和⊙O2的半径，当⊙O1和⊙O2相切时，O1O2的长度是（ ）
A．2 B．8 C．2或8 D．2＜O1O2＜8
10．（2017·天门）若α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ ）
A．﹣13 B．12 C．14 D．15
11．（2017·益阳）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac=0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤0
12．（图形的变化(386)+—+图形的相似(417)+—+相似三角形的判定与性质(426) ）已知△ABC，D、E分别为AC、AB中点，BD和CE交于点O，BD和CE是一元二次方程x2﹣kx+24=0的两个不等实根，则△BOE面积的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
二、填空题
13．（2017·南京）已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，则p= ，q= ．
14．（2017·盐城）若方程x2﹣4x+1=0的两根是x1，x2，则x1（1+x2）+x2的值为 ．
15．（2017·张家界）已知一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的两根是m，n，则m2+n2= ．
16．（2017·河源模拟）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1 x2= ．
17．（2017·荆门）已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2，则x12+x22= ．
18．（2017·仪征模拟）若方程（m﹣x）（x﹣n）=3（m、n为常数，且m＜n）的两实数根分别为a、b（a＜b），则将m，n，a，b按从小到大的顺序排列为 ．
三、计算题
19．（2016九上·徐闻期中）已知x=1是关于x的一元二次方程x2+3x﹣m=0的一个根，求m的值和方程的另一个根．
20．已知关于x的方程有一个根是0，求另一个根和的值.
四、解答题
21．（2017·呼和浩特模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3=0，若此方程的两根的倒数和为1，求m的值．
22．（2013·玉林）已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．
23．（2017·黄石模拟）已知关于x的方程x2﹣3mx+2（m﹣1）=0的两根为x1、x2，且 + =﹣ ，则m的值是多少？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设矩形的长和宽分别为a、b，
则a+b=7，ab=12，
所以矩形的对角线长= = = =5，
所以矩形的对角线之和为10．
故选D．
【分析】设矩形的长和宽分别为a、b，根据根与系数的关系得到a+b=7，ab=12，利用勾股定理得到矩形的对角线长= ，再利用完全平方公式和整体代入的方法可计算出矩形的对角线长为5，则根据矩形的性质得到矩形的对角线之和为10．
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵把x=a代入方程x2+x﹣2012=0得：a2+a﹣2012=0，
∴a2+a=2012，
∵a，b是方程x2+x﹣2012=0的两个根，
∴a+b=﹣1，
∴a2+2a+b
=a2+a+a+b
=2012+（﹣1）
=2011．
故选C．
【分析】把x=a代入方程x2+x﹣2012=0得出a2+a﹣2012=0，求出a2+a=2012，根据根与系数的关系得出a+b=﹣1，代入求出即可．
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设一元二次方程的另一根为x1，
则根据一元二次方程根与系数的关系，
得﹣1+x1=﹣3，
解得：x1=﹣2．
故选A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，
∴﹣ =﹣1， =﹣2，
∴m=2，n=﹣4，
∴nm=（﹣4）2=16．
故选C．
【分析】由方程的两根结合根与系数的关系可求出m、n的值，将其代入nm中即可求出结论．
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，
∴x1+x2=2，x1 x2=﹣3．
故选D．
【分析】根据根与系数的关系，即可得出x1+x2=2、x1 x2=﹣3，此题得解．
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3，
即方程的另一个根是﹣3．
故选A．
【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=﹣1，然后解一元一次方程即可．
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，
∴x1+x2=2m，x1 x2=m2﹣m﹣1．
∵x1+x2=1﹣x1x2，
∴2m=1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2=（m+2）（m﹣1）=0，
解得：m1=﹣2，m2=1．
∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0有实数根，
∴△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）=4m+4≥0，
解得：m≥﹣1．
∴m=1．
故选D．
【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=1﹣x1x2，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而可确定m的值．
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的两根为x1，x2，
根据题意得x1+x2=0，
所以a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，
当a=2时，方程化为x2+1=0，△=﹣4＜0，故a=2舍去，
所以a的值为0．
故选B．
【分析】设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，然后利用判别式的意义确定a的取值．
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；圆与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根，
解得⊙O1、⊙O2的半径分别是3和5．
∴①当两圆外切时，圆心距O1O2=3+5=8；
②当两圆内切时，圆心距O1O2=5﹣2=2．
故选C．
【分析】先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况讨论求解．
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵α为2x2﹣5x﹣1=0的实数根，
∴2α2﹣5α﹣1=0，即2α2=5α+1，
∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1，
∵α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根，
∴α+β= ，αβ=﹣ ，
∴2α2+3αβ+5β=5× +3×（﹣ ）+1=12．
故选B．
【分析】根据一元二次方程解的定义得到2α2﹣5α﹣1=0，即2α2=5α+1，则2α2+3αβ+5β可表示为5（α+β）+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β= ，αβ=﹣ ，然后利用整体代入的方法计算．
11．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，
∴b2﹣4ac＞0，
故选A
【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，确定出根的判别式的符号即可．
12．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别为AC、AB中点，BD和CE交于点O，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC=2DE，
∴△DOE∽△BOC，
∴OD：OB=OE：OC=DE：BC=1：2，
∴OE= CE，OB= BD，
∵BD和CE是一元二次方程x2﹣kx+24=0的两个不等实根，
∴BD CE=24，
若△BOE面积最大，则△BOE是直角三角形，
分两种情况：
①若∠BEO=90°，则CE⊥AB，
∵E是AB的中点，
∴AC=BC，
同理：AB=BC，
则△ABC是等边三角形，
∴BD=CE，不合题意；
②当∠BOE=90°时，△BOE的面积= OE OB= × CE× BD= × × ×24= ；
故选：C．
【分析】由已知条件得出O为△ABC的重心，由重心定理得出OE= CE，OB= BD，由根与系数的关系得出BD CE=24，若△BOE面积最大，则△BOE是直角三角形，分两种情况讨论，即可得出结果．
13．【答案】4；3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，
∴﹣3+（﹣1）=﹣p，（﹣3）×（﹣1）=q，
∴p=4，q=3．
故答案为：4；3．
【分析】由根与系数的关系可得出关于p或q的一元一次方程，解之即可得出结论．
14．【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=4，x1x2=1，
所以x1（1+x2）+x2=x1+x1x2+x2
=x1+x2+x1x2
=4+1
=5．
故答案为5．
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=4，x1x2=1，然后把x1（1+x2）+x2展开得到x1+x2+x1x2，然后利用整体代入的方法计算即可．
15．【答案】17
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的两个根，
∴m+n=3，mn=﹣4，
则m2+n2=（m+n）2﹣2mn=9+8=17．
故答案为：17．
【分析】由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系，求出m+n与mn的值，将所求式子利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值．
16．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，
∴x1 x2= =﹣ ．
故填空答案为﹣ ．
【分析】直接根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1 x2．
17．【答案】23
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2=﹣5，x1 x2=1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1 x2=（﹣5）2﹣2×1=23．
故答案为：23．
【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=﹣5、x1 x2=1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1 x2中，即可求出结论．
18．【答案】m＜a＜b＜n
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：因为方程（m﹣x）（x﹣n）=3（m、n为常数，且m＜n）的两实数根分别为a、b（a＜b），
所以二次函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）与直线y=3的交点的横坐标分别为a、b，
而二次函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）与x轴的两交点的坐标为（m，0），（n，0），抛物线开口向下，
所以m＜a＜b＜n．
故答案为m＜a＜b＜n．
【分析】利用数形结合的思想，根据题意得到二次函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）与直线y=3的交点的横坐标分别为a、b，加上二次函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）与x轴的两交点的坐标为（m，0），（n，0），抛物线开口向下，于是可得到m＜a＜b＜n．
19．【答案】解：∵x=1是方程的根，
∴1+3﹣m=0，
∴m=4，
设另一个根为x2，则1+x2=﹣3，
∴x2=﹣4，
∴m的值是4，另一个根是x=﹣4
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】由于x=1是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后根据根与系数的关系可以求出方程的另一根．
20．【答案】解：根据题意，得
-m=-1，
解得，m=1；
故原方程可化为：x2-3x=0
由韦达定理，知x1+x2=3；
∴0+x2=3，
解得，x2=3．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】根据一元二次方程的解定义，将x=0代入关于x的方程，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2=解出方程的另一个根．
21．【答案】解：设方程的两个根分别为α、β，
∴α+β=3，αβ=m﹣3．
∵ = = =1，
∴m=6，
经检验，m=6是分式方程 =1的解．
∵方程x2﹣3x+m﹣3=0有两个实数根，
∴△=（﹣3）2﹣4（m﹣3）=21﹣4m≥0，
∴m≤ ，
∴m=6舍去．
∴m无实数根
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】设方程的两个根分别为α、β，由根与系数的关系可得出α+β=3、αβ=m﹣3，结合 =1可得出 =1，解之即可得出m的值，再根据根的判别式即可得出△=21﹣4m≥0，解之即可得出m的取值范围，由此即可确定m无解．
22．【答案】解：∵关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m，
∴ ，
解得， ，即m，n的值分别是1、﹣2．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】利用根与系数的关系知﹣2+m=﹣1，﹣2m=n，据此易求m、n的值．
23．【答案】解：根据题意得x1+x2=3m，x1x2=2（m﹣1），
∵ + =﹣ ，
∴ =﹣ ，
∴ =﹣ ，
解得m= ，
∵△＞0，
∴m的值为 ．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2=3m，x1x2=2（m﹣1），再变形已知条件得到 =﹣ ，则 =﹣ ，然后解方程求出m，再利用判别式的意义可确定m的值．
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