人教版数学八年级上册第14章 14.2.2完全平方公式 同步练习
一、单选题
1．下列式子中一定成立的是（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣b2 B．（a+b）2=a2+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 D．（﹣a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
2．已知（m﹣n）2=32，（m+n）2=4000，则m2+n2的值为（ ）
A．2014 B．2015 C．2016 D．4032
3．若（x﹣2y）2=x2﹣xy+4y2+M，则M为（ ）
A．xy B．﹣xy C．3xy D．﹣3xy
4．下列各式正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2+b2 B．（x+6）（x﹣6）=x2﹣6
C．（x+2）2=x2+2x+4 D．（x﹣y）2=（y﹣x）2
5．唐老师给出：a+b=1，a2+b2=2，你能计算出ab的值为（ ）
A．﹣1 B．3 C． D．
6．如果（x﹣y）2+M=（x+y）2，那么M等于（ ）
A．2xy B．﹣2xy C．4xy D．﹣4xy
7．已知a+b=1，ab=3，则a2+b2﹣ab的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣8 C．10 D．﹣10
8．（5x2﹣4y2）（﹣5x2+4y2）运算的结果是（ ）
A．﹣25x4﹣16y4 B．﹣25x4+40x2y2﹣16y4
C．25x4﹣16y4 D．25x4﹣40x2y2+16y4
9．若a2+ab+b2+A=（a+b）2，那么A等于（ ）
A．﹣3ab B．﹣ab C．0 D．ab
10．已知x+ =7，则x2+ 的值为（ ）
A．51 B．49 C．47 D．45
11．（2017八下·宁德期末）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣6x+9
12．（2017八下·山西期末）若 是完全平方式，则m的值是（ ）
A．－1 B．7 C．7或－1 D．5或1
二、填空题
13．（2017八上·宜春期末）若9x2+kx+1是一个完全平方式，则k= ．
14．（2017八上·双台子期末）如果4x2+kxy+25y2是一个完全平方公式，那么k的值是 ．
15．（2017八上·海勃湾期末）若a+b=4，且ab=2，则a2+b2= ．
16．（2017八下·宣城期末）已知a+b=2，则 = .
三、计算题
17．（2017八上·新会期末）已知（x+y）2=25，xy= ，求x﹣y的值．
18．（2017八上·钦州期末）已知（x+y）2=1，（x﹣y）2=49，求x2+y2与xy的值．
19．（2017八上·罗平期末）将4个数a b c d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成 ，定义 =ad﹣bc．
上述记号叫做2阶行列式，若 =8．求x的值．
四、解答题
20．（2017八下·容县期末）已知x＝ ，y＝ ，求 ＋ 的值；
21．（2015八上·晋江期末）先化简，再求值：（2x﹣y）2+（6x3﹣8x2y+4xy2）÷（﹣2x），其中 ，y=﹣2．
22．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）将图②中的阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，求等式。
（2）若m+2n=7，mn=3，利用（1）的结论求m﹣2n的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，
故选C．
【分析】原式利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．
2．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（m﹣n）2=32，
m2﹣2mn+n2=32 ①，
（m+n）2=4000，
m2+2mn+n2=4000 ②，
①+②得：2m2+2n2=4032
m2+n2=2016．
故选：C．
【分析】根据完全平方公式，即可解答．
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（x﹣2y）2=x2﹣4xy+4y2，
而（x﹣2y）2=x2﹣xy+4y2+M，
∴M=﹣3xy．
故选D．
【分析】根据完全平方公式得到（x﹣2y）2=x2﹣4xy+4y2，然后根据已知得到M=﹣3xy．
4．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；
B、（x+6）（x﹣6）=x2﹣62，故此选项错误；
C、（x+2）2=x2+4x+4，故此选项错误；
D、（x﹣y）2=[﹣（y﹣x）]2=（y﹣x）2，故此选项正确；
故选：D．
【分析】根据完全平方公式和平方差公式依次计算可判断．
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：2ab=（a+b）2﹣（a2+b2），
∵a+b=1，a2+b2=2，
∴2ab=1﹣2=﹣1，
解得ab=﹣ ．
故选D．
【分析】此题只需由2ab=（a+b）2﹣（a2+b2）即可得出ab的值．
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（x﹣y）2+M=（x+y）2，
x2﹣2xy+y2+M=x2+2xy+y2，
∴M=4xy．
故答案选：C．
【分析】根据完全平方公式结构特点，展开左右对比即可得解．
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b=1，ab=3，
∴a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab
=12﹣3×3
=﹣8．
故选B．
【分析】先利用完全平方公式得到a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，然后利用整体代入的方法计算即可．
8．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：原式=﹣（5x2﹣4y2）2=﹣25x4+40x2y2﹣16y4，
故选：B．
【分析】根据完全平方公式，可得答案．
9．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2，
又∵a2+ab+b2+A=（a+b）2，
∴A=a2+2ab+b2﹣（a2+ab+b2）=ab．
故选D．
【分析】将完全平方式（a+b）2展开，然后与左边的式子相比较，从而求出A的值．
10．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：把x+ =7，两边平方得：（x+ ）2=x2+ +2=49，
则x2+ =47，
故选C．
【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求式子的值．
11．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断可知：
A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A错误；
B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B错误；
C、x2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C错误；
D、x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故D正确．
故选：D．
12．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：完全平方式的形式是a2±2ab+b2，本题首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项应为±8x，所以2（m﹣3）=±8，即m=7或﹣1．故答案选C．
13．【答案】±6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（3k±1）2=9x2+kx+1，
∴k=±6
故答案为：±6
【分析】根据完全平方公式可知：（3k±1）2=9x2+kx+1，从而可求出k的值．
14．【答案】±20
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵4x2+kxy+25y2=（2x）2+kxy+（5y）2，
∴kxy=±2×2x×5y，
解得k=±20．
故答案为：±20．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
15．【答案】12
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b=4，ab=2，
（a+b）2=a2+2ab+b2，
∴16=a2+b2+4，
∴a2+b2=14
故答案为：12
【分析】根据完全平方公式即可求出a2+b2的值．
16．【答案】2
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】 解： = （a+b）2=2.
17．【答案】解：∵（x+y）2=x2+2xy+y2，
∴25=x2+y2+ ，
∴x2+y2=
∵（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，
∴（x﹣y）2= ﹣ =16
∴x﹣y=±4
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
18．【答案】解：∵（x+y）2=x2+y2+2xy=1①，（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=49②，
∴①+②得：2（x2+y2）=50，即x2+y2=25；
①﹣②得：4xy=﹣48，即xy=﹣12
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】已知等式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求式子的值．
19．【答案】解：根据题意化简 =8，
得：（x+1）2﹣（1﹣x）2=8，
整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8=0，即4x=8，
解得：x=2．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x的值．
20．【答案】解：∵x＋y＝ ＝ ，xy＝ ＝1，
∴ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝3
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值
【解析】【分析】先把已知条件变为x+y、xy，再由分式的加法法则把原式进行化简，进而可得出结论．
21．【答案】解：原式=4x2﹣4xy+y2﹣3x2+4xy﹣2y2=x2﹣y2，
当x= ，y=﹣2时，原式= ﹣4=﹣ ．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】原式利用完全平方公式，以及多项式乘以单项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
22．【答案】解：（1）（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2；故答案为：（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2
（2）（m﹣2n）2=（m+2n）2﹣8mn=25，
则m﹣2n=±5．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系；
（2）根据（1）所得出的关系式，可求出（m﹣2n）2，继而可得出m﹣2n的值．
1 / 1人教版数学八年级上册第14章 14.2.2完全平方公式 同步练习
一、单选题
1．下列式子中一定成立的是（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣b2 B．（a+b）2=a2+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 D．（﹣a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，
故选C．
【分析】原式利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．
2．已知（m﹣n）2=32，（m+n）2=4000，则m2+n2的值为（ ）
A．2014 B．2015 C．2016 D．4032
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（m﹣n）2=32，
m2﹣2mn+n2=32 ①，
（m+n）2=4000，
m2+2mn+n2=4000 ②，
①+②得：2m2+2n2=4032
m2+n2=2016．
故选：C．
【分析】根据完全平方公式，即可解答．
3．若（x﹣2y）2=x2﹣xy+4y2+M，则M为（ ）
A．xy B．﹣xy C．3xy D．﹣3xy
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（x﹣2y）2=x2﹣4xy+4y2，
而（x﹣2y）2=x2﹣xy+4y2+M，
∴M=﹣3xy．
故选D．
【分析】根据完全平方公式得到（x﹣2y）2=x2﹣4xy+4y2，然后根据已知得到M=﹣3xy．
4．下列各式正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2+b2 B．（x+6）（x﹣6）=x2﹣6
C．（x+2）2=x2+2x+4 D．（x﹣y）2=（y﹣x）2
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；
B、（x+6）（x﹣6）=x2﹣62，故此选项错误；
C、（x+2）2=x2+4x+4，故此选项错误；
D、（x﹣y）2=[﹣（y﹣x）]2=（y﹣x）2，故此选项正确；
故选：D．
【分析】根据完全平方公式和平方差公式依次计算可判断．
5．唐老师给出：a+b=1，a2+b2=2，你能计算出ab的值为（ ）
A．﹣1 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：2ab=（a+b）2﹣（a2+b2），
∵a+b=1，a2+b2=2，
∴2ab=1﹣2=﹣1，
解得ab=﹣ ．
故选D．
【分析】此题只需由2ab=（a+b）2﹣（a2+b2）即可得出ab的值．
6．如果（x﹣y）2+M=（x+y）2，那么M等于（ ）
A．2xy B．﹣2xy C．4xy D．﹣4xy
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（x﹣y）2+M=（x+y）2，
x2﹣2xy+y2+M=x2+2xy+y2，
∴M=4xy．
故答案选：C．
【分析】根据完全平方公式结构特点，展开左右对比即可得解．
7．已知a+b=1，ab=3，则a2+b2﹣ab的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣8 C．10 D．﹣10
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b=1，ab=3，
∴a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab
=12﹣3×3
=﹣8．
故选B．
【分析】先利用完全平方公式得到a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，然后利用整体代入的方法计算即可．
8．（5x2﹣4y2）（﹣5x2+4y2）运算的结果是（ ）
A．﹣25x4﹣16y4 B．﹣25x4+40x2y2﹣16y4
C．25x4﹣16y4 D．25x4﹣40x2y2+16y4
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：原式=﹣（5x2﹣4y2）2=﹣25x4+40x2y2﹣16y4，
故选：B．
【分析】根据完全平方公式，可得答案．
9．若a2+ab+b2+A=（a+b）2，那么A等于（ ）
A．﹣3ab B．﹣ab C．0 D．ab
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2，
又∵a2+ab+b2+A=（a+b）2，
∴A=a2+2ab+b2﹣（a2+ab+b2）=ab．
故选D．
【分析】将完全平方式（a+b）2展开，然后与左边的式子相比较，从而求出A的值．
10．已知x+ =7，则x2+ 的值为（ ）
A．51 B．49 C．47 D．45
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：把x+ =7，两边平方得：（x+ ）2=x2+ +2=49，
则x2+ =47，
故选C．
【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求式子的值．
11．（2017八下·宁德期末）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣6x+9
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断可知：
A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A错误；
B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B错误；
C、x2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C错误；
D、x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故D正确．
故选：D．
12．（2017八下·山西期末）若 是完全平方式，则m的值是（ ）
A．－1 B．7 C．7或－1 D．5或1
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：完全平方式的形式是a2±2ab+b2，本题首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项应为±8x，所以2（m﹣3）=±8，即m=7或﹣1．故答案选C．
二、填空题
13．（2017八上·宜春期末）若9x2+kx+1是一个完全平方式，则k= ．
【答案】±6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（3k±1）2=9x2+kx+1，
∴k=±6
故答案为：±6
【分析】根据完全平方公式可知：（3k±1）2=9x2+kx+1，从而可求出k的值．
14．（2017八上·双台子期末）如果4x2+kxy+25y2是一个完全平方公式，那么k的值是 ．
【答案】±20
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵4x2+kxy+25y2=（2x）2+kxy+（5y）2，
∴kxy=±2×2x×5y，
解得k=±20．
故答案为：±20．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
15．（2017八上·海勃湾期末）若a+b=4，且ab=2，则a2+b2= ．
【答案】12
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b=4，ab=2，
（a+b）2=a2+2ab+b2，
∴16=a2+b2+4，
∴a2+b2=14
故答案为：12
【分析】根据完全平方公式即可求出a2+b2的值．
16．（2017八下·宣城期末）已知a+b=2，则 = .
【答案】2
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】 解： = （a+b）2=2.
三、计算题
17．（2017八上·新会期末）已知（x+y）2=25，xy= ，求x﹣y的值．
【答案】解：∵（x+y）2=x2+2xy+y2，
∴25=x2+y2+ ，
∴x2+y2=
∵（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，
∴（x﹣y）2= ﹣ =16
∴x﹣y=±4
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
18．（2017八上·钦州期末）已知（x+y）2=1，（x﹣y）2=49，求x2+y2与xy的值．
【答案】解：∵（x+y）2=x2+y2+2xy=1①，（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=49②，
∴①+②得：2（x2+y2）=50，即x2+y2=25；
①﹣②得：4xy=﹣48，即xy=﹣12
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】已知等式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求式子的值．
19．（2017八上·罗平期末）将4个数a b c d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成 ，定义 =ad﹣bc．
上述记号叫做2阶行列式，若 =8．求x的值．
【答案】解：根据题意化简 =8，
得：（x+1）2﹣（1﹣x）2=8，
整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8=0，即4x=8，
解得：x=2．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x的值．
四、解答题
20．（2017八下·容县期末）已知x＝ ，y＝ ，求 ＋ 的值；
【答案】解：∵x＋y＝ ＝ ，xy＝ ＝1，
∴ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝3
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值
【解析】【分析】先把已知条件变为x+y、xy，再由分式的加法法则把原式进行化简，进而可得出结论．
21．（2015八上·晋江期末）先化简，再求值：（2x﹣y）2+（6x3﹣8x2y+4xy2）÷（﹣2x），其中 ，y=﹣2．
【答案】解：原式=4x2﹣4xy+y2﹣3x2+4xy﹣2y2=x2﹣y2，
当x= ，y=﹣2时，原式= ﹣4=﹣ ．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】原式利用完全平方公式，以及多项式乘以单项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
22．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）将图②中的阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，求等式。
（2）若m+2n=7，mn=3，利用（1）的结论求m﹣2n的值．
【答案】解：（1）（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2；故答案为：（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2
（2）（m﹣2n）2=（m+2n）2﹣8mn=25，
则m﹣2n=±5．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系；
（2）根据（1）所得出的关系式，可求出（m﹣2n）2，继而可得出m﹣2n的值．
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