高中数学人教A版（2019）选择性必修三 第六章 计数原理单元章节检测试卷
一、单选题
1．（2019·重庆模拟）某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方案共有（ ）
A．36种 B．44种 C．48种 D．54种
2．（2019·南平模拟）从6位女学生和5位男学生中选出3位学生，分别担任数学、信息技术、通用技术科代表，要求这3位科代表中男、女学生都要有，则不同的选法共有（ ）．
A．810种 B．840种 C．1620种 D．1680种
3．（2019·鞍山模拟）某地举办科技博览会，有 个场馆，现将 个志愿者名额分配给这 个场馆，要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（ ）种
A． B． C． D．
4．（2017·新课标Ⅱ卷理）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
5．（2019·全国Ⅲ卷理）(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
6．（2021·八省联考） 的展开式中 的系数是（ ）
A．60 B．80 C．84 D．120
7．（2019高三上·金华期末）已知 ，则
A．64 B．48 C． D．
8．（2019高三上·宁波期末）设 ，则 （ ）.
A．-4 B．-8 C．-12 D．-16
9．（2019高三上·台州期末）在 的展开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．
10．（2018高三上·重庆月考）已知二项式 的展开式中 的系数是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（2018·南充模拟）在 的展开式中含有常数项，则正整数 的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
12．（2017·新课标Ⅲ卷理）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为 （ ）
A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80
二、填空题
13．（2020·新课标Ⅱ·理）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
14．（中原名校2019-2020学年高三下学期理数质量考评一试卷）若 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是 ．
15．（2019·靖远模拟） 的展开式中 的系数为 ．
16．（2019·定远模拟）已知 则 ．
三、解答题
17．（二项式系数的性质++++4 ）求二项式（ + ）8的展开式中：求：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数最大的项．
18．（二项式系数的性质++++4 ）已知f（x）=（2x﹣3）n展开式的二项式系数和为64，且（2x﹣3）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+an（x﹣1）n．
（1）求a2的值；（用数字作答）
（2）求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…|an|的值．（用数字作答）
19．（二项式定理的应用++++++3 ）综合题。
（1）求证：4×6n+5n+1﹣9是20的倍数（n∈N+）；
（2）今天是星期一，再过3100天是星期几？
20．（二项式系数的性质++++4 ）综合题。
（1） 的展开式中，求x3的系数；
（2）已知 的展开式中含 的项的系数为30，求a的值；
（3） 的展开式中各项系数的和为2，求该展开式中的常数项．
21．（二项式定理的应用++++++3 ）已知在（2x+ ）n的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的两倍．
（1）求n的值；
（2）求含x的项的系数；
（3）求展开式中系数的最大的项．
22．（二项式定理的应用++++++3 ）已知 ，求：
（1）a1+a2+…+a7；
（2）a1+a3+a5+a7；
（3）|a0|+|a1|+…+|a7|
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】六项不同的任务分别为A、B、C、D、E、F，
如果任务A排在第一位时，E排在第二位，剩下四个位置，先排好D、F，再在D、F之间的3个空位中插入B、C，此时共有排列方法： ；
如果任务A排在第二位时，E排在第三位，则B，C可能分别在A、E的两侧，排列方法有 ，可能都在A、E的右侧，排列方法有 ；
如果任务A排在第三位时，E排在第四位，则B，C分别在A、E的两侧 ；
所以不同的执行方案共有 种．
故答案为：B
【分析】利用分类加法计数原理结合已知条件，用组合数公式求出不同的执行方案种数。
2．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：不考虑男女生共有 种
全部是男生的有 种
全部是女生的有 种
所以男、女学生都有的共有 种
故答案为：A.
【分析】利用实际问题的已知条件结合排列数解决计数问题的方法，从反面求出男、女学生都有的种树。
3．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】每个场馆至少有一个名额的分法为 种，
至少有两个场馆的名额相同的分配方法有（1，1，22），（2,2,20），（3,3,18），（4,4,16），（5,5,14），（6,6,12），（7,7,10），（8,8,8），（9,9,6），（10,10,4），（11,11,2），
再对场馆分配，共有 种，
所以每个场馆至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种，
故答案为：A.
【分析】利用组合的方法解决实际问题中的计数问题，从而求出每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法。
4．【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：4项工作分成3组，可得： =6，
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，
可得：6× =36种．
故选：D．
【分析】把工作分成3组，然后安排工作方式即可．
5．【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】 【解答】解：∵ 的通项公式为 ，
∴展开式中x3的系数为 ，
故答案为：A.
【分析】由已知利用 的通项公式为 ，结合 即可求出展开式中x3的系数.
6．【答案】D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】 的展开式中 的系数是
因为 且 ，所以 ，
所以 ，
以此类推， ，
故答案为：D.
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 的展开式中 的系数是 ，再利用组合数公式的性质，所以 ，所以 ，以此类推，从而化简求出的值，进而求出 的展开式中 的系数 。
7．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：由 ，
得 ，
．
故答案为：C．
【分析】利用 二项式定理得其通项公式，可得所求.
8．【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 ， 是展开式中 的系数，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式，从而找出是展开式中的系数，从而利用展开式的通项公式求出的值。
9．【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为 ，故 ，
又 的展开式中 的系数为 ，
故答案为：A.
【分析】将 化为，利用二项式展开式的通项公式可得其展开式中常数项 .
10．【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 展开式的通项公式为： ，
令 可得 ，令 可得 ，
结合题意有： ，
据此可得： .
故答案为：D.
【分析】本题利用二项式定理和展开式的通项公式，结合x 的系数是-10，求出a的值。
11．【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由于 和 的最小公倍数为 ，故当存在 与 时，展开式有常数项，即 为常数项，此时 ，
故答案为：B.
【分析】本题利用二项式定理中的展开式中的系数公式结合展开式中含有常数项这一条件，得出x的次方为0，从而求得正整数n的最小值。
12．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1= （2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）r x5﹣ryr．
令5﹣r=2，r=3，解得r=3．
令5﹣r=3，r=2，解得r=2．
∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数= +23× =40．
故选：C．
【分析】（2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1= （2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）r x5﹣ryr．令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．即可得出．
13．【答案】36
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种
故答案为：36.
【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.
14．【答案】1
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，
所以展开式中共有11项，所以 ；
令 ，可求得展开式中各项的系数和是：
．
故答案为：1．
【分析】由题意得出展开式中共有11项， ；再令 求得展开式中各项的系数和．
15．【答案】120
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 ，
因为 的展开式中含 的项为
的展开式中含 的项为 ，
所以 的系数为 .
故答案为：120
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用展开式中的通项公式求出展开式中 的系数。
16．【答案】24
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意根据 ， .
即答案为24 .
【分析】利用二项式定理结合已知条件求出.
17．【答案】（1）解：二项式系数最大的项即展开式的中间项，也即第5项，
所求项为T4+1= =
（2）解：设第r+1项的系数值最大，则 ，
∴5≤r≤6，即第6项和第7项的系数最大，
，
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【分析】（1）二项式系数最大的项即展开式的中间项，也即第5项，利用通项公式即可得出．（2）设第r+1项的系数值最大，则 ，解出即可得出．
18．【答案】（1）解：f（x）=（2x﹣3）n展开式的二项式系数和为64，
∴2n=64，解得n=6；
∵（2x﹣3）6=[﹣1+2（x﹣1）]6=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a9（x﹣1）6，
∴a2= （﹣1）4 22=60
（2）解：在（2x﹣3）6=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a6（x﹣1）6中，
即[﹣1+2（x﹣1）]6=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a9（x﹣1）6，
令x=0，可得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…|an|=（﹣1﹣2）6=729
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【分析】（1）根据（2x﹣3）n展开式的二项式系数和求出n的值，化（2x﹣3）6=[﹣1+2（x﹣1）]6，求出a2的值；（2）在（2x﹣3）6=[﹣1+2（x﹣1）]6=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a9（x﹣1）6中，令x=0即可求出|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…|an|的值．
19．【答案】（1）证明：∵4×6n+5n+1﹣9=4 （5+1）n+5 （4+1）n﹣9
=4（Cn05n+Cn15n﹣1+…+Cnn﹣15+1）+5（Cn04n+Cn14n﹣1+…+Cnn﹣14+1）﹣9
=20[（Cn05n﹣1+Cn15n﹣2+…+Cnn﹣1）+（Cn04n﹣1+Cn14n﹣2+…+Cnn﹣1）]，
故结论成立
（2）解：设7Mn表示7和一个正整数的乘积，
∵3100=950=（7+2）50=C500 750 20+C501 749 21+…+C5049 7 249+C5050 70 250
=7Mn+250（Mn∈N+），
又250=23×16+2=4×816=4（1+7）16=4（C160+7C161+72C162+…+716C1616）=4+7Nn（Nn∈N+），
∴3100被7除余数是4，故再过3100天是星期五
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）把4×6n+5n+1﹣9=4 （5+1）n+5 （4+1）n﹣9按照二项式定理展开，提取公因式，可得结论成立．（2）利用二项式定理把 3100=（7+2）50按照二项式定理展开，化简为7Mn+250（Mn∈N+），再把250 =4（1+7）16按照二项式定理展开，可得3100被7除余数，从而得出结论．
20．【答案】（1）解： 的展开式的通项公式为Tr+1= 25﹣r，
令5﹣ =3，r=4，可得展开式中x3的系数为10
（2）解：根据所给的二项式写出展开式的通项，Tr+1=
展开式中含 的项的系数为30，
∴ ﹣r= ，
∴r=1，并且﹣5a=30，解得a=﹣6
（3）解：∵ 的展开式中各项系数的和为（a+1）（2﹣1）=2，
∴a=1，
（2x﹣ ）5的通项为Tr+1= ，
故常数项为 + =40
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【分析】（1）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数．（2）根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为 求得r，再代入系数求出结果．（3）根据 的展开式中各项系数的和为2求得a=1，再根据它的展开式的通项公式求得它的常数项．
21．【答案】（1）解：∵ ： =2：1，
∴n=5
（2）解：设（2x+ ）n的展开式的通项为Tr+1，则Tr+1= 25﹣r 3r x ，
令5﹣ r=1得：r=3．
∴含x的项的系数为T4= 22 33x=2160x
（3）解：设展开式中系数最大的项为Tr+1，则 ，
∴r=4．
∴展开式中系数最大的项为T5=4860x
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）由 ： =2：1可解得n；（2）设出其展开式的通项为Tr+1，令x的幂指数为1即可求得r的值；（3）展开式中系数最大的项为Tr+1，利用Tr+1项的系数≥Tr+2项的系数且Tr+1项的系数≥Tr项的系数即可．
22．【答案】（1）解：在 中，令x=0，可得常数项a0=1．
在所给的等式中，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a7=﹣1，
∴a1+a2+a3+…+a7=﹣2
（2）解：在所给的等式知 中，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a7=﹣1①，
令x=﹣1可得得 ②，
用①减去②再除以2可得a1+a3+a5+…+a7=﹣1094
（3）解：在（1+2x）7 中，令x=1，可得
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）在所给的等式中，令x=0，可得常数项a0=1；令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a7=﹣1，从而求得a1+a2+a3+…+a7的值．（2）在所给的等式中，分别令x=1、﹣1，得到2个等式，再把这2个等式相减，可得a1+a3+a5+…+a7的值．（3）在（1+2x）7 中，令x=1，可得要求式子的值．
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修三 第六章 计数原理单元章节检测试卷
一、单选题
1．（2019·重庆模拟）某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方案共有（ ）
A．36种 B．44种 C．48种 D．54种
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】六项不同的任务分别为A、B、C、D、E、F，
如果任务A排在第一位时，E排在第二位，剩下四个位置，先排好D、F，再在D、F之间的3个空位中插入B、C，此时共有排列方法： ；
如果任务A排在第二位时，E排在第三位，则B，C可能分别在A、E的两侧，排列方法有 ，可能都在A、E的右侧，排列方法有 ；
如果任务A排在第三位时，E排在第四位，则B，C分别在A、E的两侧 ；
所以不同的执行方案共有 种．
故答案为：B
【分析】利用分类加法计数原理结合已知条件，用组合数公式求出不同的执行方案种数。
2．（2019·南平模拟）从6位女学生和5位男学生中选出3位学生，分别担任数学、信息技术、通用技术科代表，要求这3位科代表中男、女学生都要有，则不同的选法共有（ ）．
A．810种 B．840种 C．1620种 D．1680种
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：不考虑男女生共有 种
全部是男生的有 种
全部是女生的有 种
所以男、女学生都有的共有 种
故答案为：A.
【分析】利用实际问题的已知条件结合排列数解决计数问题的方法，从反面求出男、女学生都有的种树。
3．（2019·鞍山模拟）某地举办科技博览会，有 个场馆，现将 个志愿者名额分配给这 个场馆，要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（ ）种
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】每个场馆至少有一个名额的分法为 种，
至少有两个场馆的名额相同的分配方法有（1，1，22），（2,2,20），（3,3,18），（4,4,16），（5,5,14），（6,6,12），（7,7,10），（8,8,8），（9,9,6），（10,10,4），（11,11,2），
再对场馆分配，共有 种，
所以每个场馆至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种，
故答案为：A.
【分析】利用组合的方法解决实际问题中的计数问题，从而求出每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法。
4．（2017·新课标Ⅱ卷理）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：4项工作分成3组，可得： =6，
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，
可得：6× =36种．
故选：D．
【分析】把工作分成3组，然后安排工作方式即可．
5．（2019·全国Ⅲ卷理）(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】 【解答】解：∵ 的通项公式为 ，
∴展开式中x3的系数为 ，
故答案为：A.
【分析】由已知利用 的通项公式为 ，结合 即可求出展开式中x3的系数.
6．（2021·八省联考） 的展开式中 的系数是（ ）
A．60 B．80 C．84 D．120
【答案】D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】 的展开式中 的系数是
因为 且 ，所以 ，
所以 ，
以此类推， ，
故答案为：D.
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 的展开式中 的系数是 ，再利用组合数公式的性质，所以 ，所以 ，以此类推，从而化简求出的值，进而求出 的展开式中 的系数 。
7．（2019高三上·金华期末）已知 ，则
A．64 B．48 C． D．
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：由 ，
得 ，
．
故答案为：C．
【分析】利用 二项式定理得其通项公式，可得所求.
8．（2019高三上·宁波期末）设 ，则 （ ）.
A．-4 B．-8 C．-12 D．-16
【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 ， 是展开式中 的系数，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式，从而找出是展开式中的系数，从而利用展开式的通项公式求出的值。
9．（2019高三上·台州期末）在 的展开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为 ，故 ，
又 的展开式中 的系数为 ，
故答案为：A.
【分析】将 化为，利用二项式展开式的通项公式可得其展开式中常数项 .
10．（2018高三上·重庆月考）已知二项式 的展开式中 的系数是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 展开式的通项公式为： ，
令 可得 ，令 可得 ，
结合题意有： ，
据此可得： .
故答案为：D.
【分析】本题利用二项式定理和展开式的通项公式，结合x 的系数是-10，求出a的值。
11．（2018·南充模拟）在 的展开式中含有常数项，则正整数 的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由于 和 的最小公倍数为 ，故当存在 与 时，展开式有常数项，即 为常数项，此时 ，
故答案为：B.
【分析】本题利用二项式定理中的展开式中的系数公式结合展开式中含有常数项这一条件，得出x的次方为0，从而求得正整数n的最小值。
12．（2017·新课标Ⅲ卷理）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为 （ ）
A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1= （2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）r x5﹣ryr．
令5﹣r=2，r=3，解得r=3．
令5﹣r=3，r=2，解得r=2．
∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数= +23× =40．
故选：C．
【分析】（2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1= （2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）r x5﹣ryr．令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．即可得出．
二、填空题
13．（2020·新课标Ⅱ·理）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
【答案】36
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种
故答案为：36.
【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.
14．（中原名校2019-2020学年高三下学期理数质量考评一试卷）若 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是 ．
【答案】1
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，
所以展开式中共有11项，所以 ；
令 ，可求得展开式中各项的系数和是：
．
故答案为：1．
【分析】由题意得出展开式中共有11项， ；再令 求得展开式中各项的系数和．
15．（2019·靖远模拟） 的展开式中 的系数为 ．
【答案】120
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 ，
因为 的展开式中含 的项为
的展开式中含 的项为 ，
所以 的系数为 .
故答案为：120
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用展开式中的通项公式求出展开式中 的系数。
16．（2019·定远模拟）已知 则 ．
【答案】24
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意根据 ， .
即答案为24 .
【分析】利用二项式定理结合已知条件求出.
三、解答题
17．（二项式系数的性质++++4 ）求二项式（ + ）8的展开式中：求：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数最大的项．
【答案】（1）解：二项式系数最大的项即展开式的中间项，也即第5项，
所求项为T4+1= =
（2）解：设第r+1项的系数值最大，则 ，
∴5≤r≤6，即第6项和第7项的系数最大，
，
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【分析】（1）二项式系数最大的项即展开式的中间项，也即第5项，利用通项公式即可得出．（2）设第r+1项的系数值最大，则 ，解出即可得出．
18．（二项式系数的性质++++4 ）已知f（x）=（2x﹣3）n展开式的二项式系数和为64，且（2x﹣3）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+an（x﹣1）n．
（1）求a2的值；（用数字作答）
（2）求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…|an|的值．（用数字作答）
【答案】（1）解：f（x）=（2x﹣3）n展开式的二项式系数和为64，
∴2n=64，解得n=6；
∵（2x﹣3）6=[﹣1+2（x﹣1）]6=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a9（x﹣1）6，
∴a2= （﹣1）4 22=60
（2）解：在（2x﹣3）6=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a6（x﹣1）6中，
即[﹣1+2（x﹣1）]6=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a9（x﹣1）6，
令x=0，可得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…|an|=（﹣1﹣2）6=729
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【分析】（1）根据（2x﹣3）n展开式的二项式系数和求出n的值，化（2x﹣3）6=[﹣1+2（x﹣1）]6，求出a2的值；（2）在（2x﹣3）6=[﹣1+2（x﹣1）]6=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a9（x﹣1）6中，令x=0即可求出|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…|an|的值．
19．（二项式定理的应用++++++3 ）综合题。
（1）求证：4×6n+5n+1﹣9是20的倍数（n∈N+）；
（2）今天是星期一，再过3100天是星期几？
【答案】（1）证明：∵4×6n+5n+1﹣9=4 （5+1）n+5 （4+1）n﹣9
=4（Cn05n+Cn15n﹣1+…+Cnn﹣15+1）+5（Cn04n+Cn14n﹣1+…+Cnn﹣14+1）﹣9
=20[（Cn05n﹣1+Cn15n﹣2+…+Cnn﹣1）+（Cn04n﹣1+Cn14n﹣2+…+Cnn﹣1）]，
故结论成立
（2）解：设7Mn表示7和一个正整数的乘积，
∵3100=950=（7+2）50=C500 750 20+C501 749 21+…+C5049 7 249+C5050 70 250
=7Mn+250（Mn∈N+），
又250=23×16+2=4×816=4（1+7）16=4（C160+7C161+72C162+…+716C1616）=4+7Nn（Nn∈N+），
∴3100被7除余数是4，故再过3100天是星期五
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）把4×6n+5n+1﹣9=4 （5+1）n+5 （4+1）n﹣9按照二项式定理展开，提取公因式，可得结论成立．（2）利用二项式定理把 3100=（7+2）50按照二项式定理展开，化简为7Mn+250（Mn∈N+），再把250 =4（1+7）16按照二项式定理展开，可得3100被7除余数，从而得出结论．
20．（二项式系数的性质++++4 ）综合题。
（1） 的展开式中，求x3的系数；
（2）已知 的展开式中含 的项的系数为30，求a的值；
（3） 的展开式中各项系数的和为2，求该展开式中的常数项．
【答案】（1）解： 的展开式的通项公式为Tr+1= 25﹣r，
令5﹣ =3，r=4，可得展开式中x3的系数为10
（2）解：根据所给的二项式写出展开式的通项，Tr+1=
展开式中含 的项的系数为30，
∴ ﹣r= ，
∴r=1，并且﹣5a=30，解得a=﹣6
（3）解：∵ 的展开式中各项系数的和为（a+1）（2﹣1）=2，
∴a=1，
（2x﹣ ）5的通项为Tr+1= ，
故常数项为 + =40
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【分析】（1）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数．（2）根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为 求得r，再代入系数求出结果．（3）根据 的展开式中各项系数的和为2求得a=1，再根据它的展开式的通项公式求得它的常数项．
21．（二项式定理的应用++++++3 ）已知在（2x+ ）n的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的两倍．
（1）求n的值；
（2）求含x的项的系数；
（3）求展开式中系数的最大的项．
【答案】（1）解：∵ ： =2：1，
∴n=5
（2）解：设（2x+ ）n的展开式的通项为Tr+1，则Tr+1= 25﹣r 3r x ，
令5﹣ r=1得：r=3．
∴含x的项的系数为T4= 22 33x=2160x
（3）解：设展开式中系数最大的项为Tr+1，则 ，
∴r=4．
∴展开式中系数最大的项为T5=4860x
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）由 ： =2：1可解得n；（2）设出其展开式的通项为Tr+1，令x的幂指数为1即可求得r的值；（3）展开式中系数最大的项为Tr+1，利用Tr+1项的系数≥Tr+2项的系数且Tr+1项的系数≥Tr项的系数即可．
22．（二项式定理的应用++++++3 ）已知 ，求：
（1）a1+a2+…+a7；
（2）a1+a3+a5+a7；
（3）|a0|+|a1|+…+|a7|
【答案】（1）解：在 中，令x=0，可得常数项a0=1．
在所给的等式中，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a7=﹣1，
∴a1+a2+a3+…+a7=﹣2
（2）解：在所给的等式知 中，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a7=﹣1①，
令x=﹣1可得得 ②，
用①减去②再除以2可得a1+a3+a5+…+a7=﹣1094
（3）解：在（1+2x）7 中，令x=1，可得
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）在所给的等式中，令x=0，可得常数项a0=1；令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a7=﹣1，从而求得a1+a2+a3+…+a7的值．（2）在所给的等式中，分别令x=1、﹣1，得到2个等式，再把这2个等式相减，可得a1+a3+a5+…+a7的值．（3）在（1+2x）7 中，令x=1，可得要求式子的值．
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