苏教版高中数学必修一3.3幂函数

苏教版高中数学必修一3.3幂函数
一、单选题
1．（2019高一下·凌源月考）若幂函数 的图象过点 ，则函数 的最大值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】设f（x）＝xα，
∵f（x）的图象过点（2， ），
∴f（2）＝2α ，
则α ，
则f（x） ，
故其最大值为 .
故答案为：B
【分析】根据点的坐标确定幂函数的表达式，结合函数的单调性，求出函数的最大值即可.
2．（2019高一上·哈尔滨期末）下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 （　　）
A．① ，② ，③ ，④
B．① ，② ，③ ，④
C．① ，② ，③ ，④
D．① ，② ，③ ，④
【答案】B
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项C，D，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A
故答案为：B．
【分析】根据幂函数的性质逐一确定即可.
3．（2019高一上·西安期中）已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2) (n∈Z)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或－3
【答案】A
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】∵幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2） （n∈Z）的图象关于y轴对称，
且在（0，+∞）上是减函数，
∴ ，
解得n＝1．
故答案为：A．
【分析】由幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2） （n∈Z）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，知 ，由此能求出n的值．
4．（2019高一上·友好期中）设 ， ， ，则下列正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】 ， ， ，设 ，当 时，函数为增函数，故
故答案为：B
【分析】可将 全部转化成幂为 的幂函数，再根据函数增减性判断大小即可.
5．当 时，幂函数y=xα的图象不可能经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】解答：当α= 、1、2、3 时，y=xα是定义域内的增函数，图象过原点，
当α=﹣1 时，幂函数即y= ，图象在第一、第三象限，
故图象一定不在第四象限．
∴答案选 D．
分析：利用幂函数的图象特征和性质，结合答案进行判断．
6．下列函数：①y=x2+1；② ；③y=2x2；④ ；⑤ ，其中幂函数是（　　）
A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤
【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】幂函数的定义规定；y=xa（a为常数）为幂函数，
所以选项中：①y=x2+1错；
② 正确；
③y=2x2错；
④ 正确；
⑤ 错，其中幂函数是②④．
故选C．
【分析】根据幂函数的定义，直接判定选项的正误，推出正确结论．
7．（2020·江门模拟）若函数f(x)是幂函数，且满足 ，则 的值为（　　）
A．－3 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质；幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【解答】设 ，则由 ，得 .
所以 ，故 .
故答案为：D.
【分析】设出幂函数的一般形式，从而把 转化为关于幂指数的方程，解出幂指数后可求 .
8．函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图像如图所示，则实数a、b、c的大小关系为（　　）
A．c【答案】A
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由幂函数图象特征知，a＞1，0＜b＜1，c＜0， 故答案为：A．
【分析】根据题意结合幂函数的图象与性质逐一判断即可得出结论。
9．下列结论中，正确的是（　　）
A．幂函数的图象都通过点(0，0)，(1，1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1，3， 时，幂函数y＝xα是增函数
D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数
【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故A不正确；
因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B不正确；
当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故D不正确．
故答案为：C.
【分析】根据题意由幂函数的性质以及图像逐一判断即可得到结论。
10．若 ，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【解答】结合 ， 及 的图象易知，当 时， . 故答案为：A
【分析】利用指数函数以及幂函数的单调性即可得出结论。
11．（2018高一上·定远期中）已知幂函数f(x)＝ ，若f(a＋1)A．(3，5) B．(－1，＋∞) C．(－∞，5) D．(－1，5)
【答案】A
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】∵幂函数f（x）= = 的定义域为{x|x＞0}，在（0，+∞）上单调递减．
∴若f（a+1）＜f（10﹣2a），
则 ，
即 ，
解得3＜a＜5，即a的取值范围是（3，5）．
故答案为：A
【分析】根据幂函数的定义域和单调性，列出不等式组求解即可求出实数a的取值范围.
12．（2018高一上·潜江月考）函数 是幂函数，对任意 ，且 ，满足 ，若 ，且 的值为负值，则下列结论可能成立的是（　　）
A． B．
C． D．以上都可能
【答案】C
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由于函数 为幂函数，故 ，解得 .当 时， ，当 时， .由于“对任意 ，且 ，满足 ”故函数在 上为增函数，故 .由于 ，故函数值单调递增的奇函数.由于 ，所以 且 ，
故答案为：C.
【分析】根据幂函数的定义，结合函数的单调性，求出m，得到函数的表达式，即可确定a+b和ab的符号.
13．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1（x）=x2，f2（x）=4x，f3（x）=log2x，f4（x）=2x如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是（　　）
A．f1（x）=x2 B．f2（x）=4x
C．f3（x）=log2x D．f4（x）=2x
【答案】D
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】根据题意
最终跑在最前面的人一为f值最大的函数
通过分析各种类型函数的增长f1（x）=x2，f2（x）=4x，f3（x）=log2x，f4（x）=2x，D中，f4（x）=2x增长最快
故选D
【分析】根据题意，本题实际考查各类函数的增长模型，通过对四类函数分析，指数函数增长最快，选出选项．
二、填空题
14．一种产品的产量原来为a，在今后m年内，计划使产量每年比上一年增加p%，则产量y随年数x变化的函数解析式为　 　，定义域为　 　．
【答案】y=a（1+p%）x；{x|x为整数，且0≤x≤m}
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】解：设年产量为y，年数x，y=a（1+p%）x；
定义域：{x|x为整数，且0≤x≤m}．
故答案为：y=a（1+p%）x；{x|x为整数，且0≤x≤m}．
【分析】根据在今后m年内，计划使产量平均每年比上年增加p%，可得等比数列模型，即可求得函数解析式
15．（2018高一上·玉溪期末）已知 是幂函数，且 在定义域上单调递增，则 　 　.
【答案】3
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】∵ 是幂函数，且 在定义域上单调递增，
∴ ，解得：
故答案为：3
【分析】根据题目中所给的条件的特点，根据幂函数的定义以及函数的单调性求出m的值即可.
16．（2018高一上·浏阳期中）幂函数 的图象过点 ，那么 　 　．
【答案】8
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】∵幂函数f（x）的图象过点（2， ），设幂函数为y=xn，则有2n= ，∴n= ，幂函数f（x）= ，那么f（64）= =8，
故答案为：8．
【分析】设出幂函数表达式，求出n值，将x=64代入即可.
17．（2018高一上·大连期末）已知幂函数 的图象关于原点对称且与x轴、y轴均无交点，则整数m的值为　 　．
【答案】-1
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】函数 为幂函数，所以 解得m=3或m=-1，
幂函数 的图象关于原点对称且与x轴、y轴均无交点，所以 <0，所以m=3舍掉， m=-1符合题意；
故答案为：-1.
【分析】根据已知函数为幂函数即可求出m的取值，再根据图像关于原点对称和与x轴、y轴均无交点这一限定条件，排除不符合题意的取值。
18．（2018高一上·深圳月考）幂函数 的单调增区间是　 　
【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由题意得 单调增区间是
故答案为: [ 0 , + ∞ )
【分析】由幂函数的定义,系数m-1必为1,求出m的值,再求单调区间.
19．已知点（ ，2）在幂函数y=f（x）的图象上，点（﹣2， ）在幂函数y=g（x）的图象上，则f（2）+g（﹣1）=　 　 ．
【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：设f（x）=xα（α为常数），
∵幂函数y=f（x）的图象过点（ ，2），
∴α=﹣1．
∴f（x）=x﹣1，
同理g（x）=x﹣2，
∴f（2）+g（﹣1）= = ．
故答案为： ．
【分析】求出函数的解析式，代入计算可得结论．
三、解答题
20．已知幂函数y=f（x）的图象过点 ．
（1）求函数f（x）的解析式
（2）记g（x）=f（x）+x，判断g（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明之．
【答案】（1）解：由题意令y=f（x）=xa，由于图象过点（ ， ）， 得 = a，a=﹣1
∴y=f（x）=x﹣1
（2）解：g（x）=f（x）+x=x+ 函数 在区间（1，+∞）上是增函数，
证明：任取x1、x2使得x1＞x2＞1，
都有
由x1＞x2＞1得，x1﹣x2＞0，x1x2＞0，x1x2﹣1＞0，
于是g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），
所以，函数 在区间（1，+∞）上是增函数．
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式即可；（2）函数在区间（1，+∞）上为增函数，理由为：在区间（1，+∞）上任取x1＞x2＞1，求出f（x1）﹣f（x2），通分后，根据设出的x1＞x2＞1，判定其差大于0，即f（x1）＞f（x2），从而得到函数为增函数．
21．已知幂函数f（x）=（m3﹣m+1）x （m∈Z）的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称
（1）求f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x+1）＞f（x﹣2）
【答案】（1）解：函数f（x）是幂函数，则m3﹣m+1=1，
解得：m=0，或1或﹣1，
又f（x）的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称
∴f（x）=x﹣4；
（2）解：由（1）得：f（x）在（0，+∞），（﹣∞，0）递增，
故|x+1|＜|x﹣2|，|x+1|≠0，解得：x＜ 且x≠﹣1，
故不等式的解集是： ．
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义，求出函数f（x）的解析式即可；（2）根据函数的单调性、奇偶性，得到关于x的不等式，解出即可．
22．函数f（x）=是偶函数．
（1）试确定a的值，及此时的函数解析式；
（2）证明函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数；
（3）当x∈[﹣2，0]时，求函数f（x）=的值域．
【答案】【解答】（1）∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
即，
∴x2+ax﹣3=x2﹣ax﹣3；
∴a=0，
∴f（x）=；
（2）证明：任取x1、x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2；
∴；
∵x1＜x2＜0，
∴x1+x2＜0，x1﹣x2＜0，
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＞0，
∴＞1，即f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；
（3）由（2）知，f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；
∴当x∈[﹣2，0]时，f（﹣2）==2，f（0）=；
∴函数f（x）在[﹣2，0]上的值域是[，2]．
【知识点】幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【分析】（1）根据f（x）是偶函数，f（﹣x）=f（x），求出a=0；
（2）用定义证明f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；
（3）由（2）得，根据f（x）在[﹣2，0]的单调性，求出f（x）在[﹣2，0]上的值域．
23．已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3，m为何值时，f（x）：
（1）是幂函数；
（2）是正比例函数；
（3）是反比例函数；
（4）是二次函数．
【答案】（1）解：令m2﹣m﹣1=1，
解得m=2或m=﹣1，
所以m=2或m=﹣1时，f（x）是幂函数；
（2）解：令﹣5m﹣3=1，
解得m=﹣ ，
所以m=﹣ 时，f（x）是正比例函数；
（3）解：令﹣5m﹣3=﹣1，
解得m=﹣ ，
所以m=﹣ 时，f（x）是反比例函数；
（4）解：令﹣5m﹣3=2，
解得m=﹣1，
所以m=﹣1时，f（x）=x2是二次函数．
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义，令m2﹣m﹣1=1求出m的值即可；（2）根据正比例函数的定义，令﹣5m﹣3=1求出m的值即可；（3）根据反比例函数的定义，令﹣5m﹣3=﹣1求出m的值即可；（4）根据二次函数的定义，令﹣5m﹣3=2求出m的值即可．
24．（2016高一上·新疆期中）已知幂函数f（x）=x（2﹣k）（1+k）（k∈Z），且f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）试判断是否存在正数q，使函数g（x）=1﹣qf（x）+（2q﹣1）x在区间[﹣1，2]上的值域为[﹣4， ]．若存在，求出q的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：因为幂函数f（x）=x（2﹣k）（1﹣k）在（0，+∞）上单调递增，
所以（2﹣k）（1+k）＞0，故﹣1＜k＜2．
又因为k∈Z，故k=0，或k=1，所以f（x）=x2
（2）解：由（1）知g（x）=﹣qx2+（2q﹣1）x+1，
假设存在这样的正数q符合题意，
则函数g（x）的图象是开口向下的抛物线，
其对称轴为x= =1﹣ ＜1，
因而，函数g（x）在[﹣1，2]上的最小值只能在x=﹣1或x=2处取得
又g（2）=﹣4q+4q﹣2+1=﹣1≠﹣4，从而必有g（﹣1）=2﹣3q=﹣4
解得q=2，
此时，g（x）=﹣2x2+3x+1，其对称轴x= ∈[﹣1，2]
∴g（x）在[﹣1，2]上的最大值为g（ ）=﹣2×（ ）2+3× +1= 符合题意
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）由f（2）＜f（3）知幂函数在（0，+∞）上为增函数，故（2﹣k）（1+k）＞0，解出k即可．（2）写出g（x）的解析式g（x）=﹣qx2+（2q﹣1）x+1，为二次函数，只需考虑二次函数的对称轴和单调性即可．
25．（2019高一上·南充期中）已知幂函数 在 上单调递增.
（1）求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：因为 是幂函数，所以 ，解得 或 ，
又因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 .
（2）解：由于 在区间 都是减函数，且
分三种情况讨论：
①当 ，即 时，原不等式成立；
②当 且 时，有 ，即 ，解集为空集；
③当 且 时，有 ，即 ，
∴
综上所述： 的取值范围是 .
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】（1）由幂函数的定义可得 ，再利用 在 上单调递增，即可得出 范围；（2）由于 在区间 ， 上都是减函数，且 ，分三种情况讨论，即可得出．
1 / 1苏教版高中数学必修一3.3幂函数
一、单选题
1．（2019高一下·凌源月考）若幂函数 的图象过点 ，则函数 的最大值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
2．（2019高一上·哈尔滨期末）下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 （　　）
A．① ，② ，③ ，④
B．① ，② ，③ ，④
C．① ，② ，③ ，④
D．① ，② ，③ ，④
3．（2019高一上·西安期中）已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2) (n∈Z)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或－3
4．（2019高一上·友好期中）设 ， ， ，则下列正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．当 时，幂函数y=xα的图象不可能经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．下列函数：①y=x2+1；② ；③y=2x2；④ ；⑤ ，其中幂函数是（　　）
A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤
7．（2020·江门模拟）若函数f(x)是幂函数，且满足 ，则 的值为（　　）
A．－3 B． C．3 D．
8．函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图像如图所示，则实数a、b、c的大小关系为（　　）
A．c9．下列结论中，正确的是（　　）
A．幂函数的图象都通过点(0，0)，(1，1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1，3， 时，幂函数y＝xα是增函数
D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数
10．若 ，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2018高一上·定远期中）已知幂函数f(x)＝ ，若f(a＋1)A．(3，5) B．(－1，＋∞) C．(－∞，5) D．(－1，5)
12．（2018高一上·潜江月考）函数 是幂函数，对任意 ，且 ，满足 ，若 ，且 的值为负值，则下列结论可能成立的是（　　）
A． B．
C． D．以上都可能
13．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1（x）=x2，f2（x）=4x，f3（x）=log2x，f4（x）=2x如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是（　　）
A．f1（x）=x2 B．f2（x）=4x
C．f3（x）=log2x D．f4（x）=2x
二、填空题
14．一种产品的产量原来为a，在今后m年内，计划使产量每年比上一年增加p%，则产量y随年数x变化的函数解析式为　 　，定义域为　 　．
15．（2018高一上·玉溪期末）已知 是幂函数，且 在定义域上单调递增，则 　 　.
16．（2018高一上·浏阳期中）幂函数 的图象过点 ，那么 　 　．
17．（2018高一上·大连期末）已知幂函数 的图象关于原点对称且与x轴、y轴均无交点，则整数m的值为　 　．
18．（2018高一上·深圳月考）幂函数 的单调增区间是　 　
19．已知点（ ，2）在幂函数y=f（x）的图象上，点（﹣2， ）在幂函数y=g（x）的图象上，则f（2）+g（﹣1）=　 　 ．
三、解答题
20．已知幂函数y=f（x）的图象过点 ．
（1）求函数f（x）的解析式
（2）记g（x）=f（x）+x，判断g（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明之．
21．已知幂函数f（x）=（m3﹣m+1）x （m∈Z）的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称
（1）求f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x+1）＞f（x﹣2）
22．函数f（x）=是偶函数．
（1）试确定a的值，及此时的函数解析式；
（2）证明函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数；
（3）当x∈[﹣2，0]时，求函数f（x）=的值域．
23．已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3，m为何值时，f（x）：
（1）是幂函数；
（2）是正比例函数；
（3）是反比例函数；
（4）是二次函数．
24．（2016高一上·新疆期中）已知幂函数f（x）=x（2﹣k）（1+k）（k∈Z），且f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）试判断是否存在正数q，使函数g（x）=1﹣qf（x）+（2q﹣1）x在区间[﹣1，2]上的值域为[﹣4， ]．若存在，求出q的值；若不存在，请说明理由．
25．（2019高一上·南充期中）已知幂函数 在 上单调递增.
（1）求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】设f（x）＝xα，
∵f（x）的图象过点（2， ），
∴f（2）＝2α ，
则α ，
则f（x） ，
故其最大值为 .
故答案为：B
【分析】根据点的坐标确定幂函数的表达式，结合函数的单调性，求出函数的最大值即可.
2．【答案】B
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项C，D，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A
故答案为：B．
【分析】根据幂函数的性质逐一确定即可.
3．【答案】A
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】∵幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2） （n∈Z）的图象关于y轴对称，
且在（0，+∞）上是减函数，
∴ ，
解得n＝1．
故答案为：A．
【分析】由幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2） （n∈Z）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，知 ，由此能求出n的值．
4．【答案】B
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】 ， ， ，设 ，当 时，函数为增函数，故
故答案为：B
【分析】可将 全部转化成幂为 的幂函数，再根据函数增减性判断大小即可.
5．【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】解答：当α= 、1、2、3 时，y=xα是定义域内的增函数，图象过原点，
当α=﹣1 时，幂函数即y= ，图象在第一、第三象限，
故图象一定不在第四象限．
∴答案选 D．
分析：利用幂函数的图象特征和性质，结合答案进行判断．
6．【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】幂函数的定义规定；y=xa（a为常数）为幂函数，
所以选项中：①y=x2+1错；
② 正确；
③y=2x2错；
④ 正确；
⑤ 错，其中幂函数是②④．
故选C．
【分析】根据幂函数的定义，直接判定选项的正误，推出正确结论．
7．【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质；幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【解答】设 ，则由 ，得 .
所以 ，故 .
故答案为：D.
【分析】设出幂函数的一般形式，从而把 转化为关于幂指数的方程，解出幂指数后可求 .
8．【答案】A
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由幂函数图象特征知，a＞1，0＜b＜1，c＜0， 故答案为：A．
【分析】根据题意结合幂函数的图象与性质逐一判断即可得出结论。
9．【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故A不正确；
因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B不正确；
当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故D不正确．
故答案为：C.
【分析】根据题意由幂函数的性质以及图像逐一判断即可得到结论。
10．【答案】A
【知识点】幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【解答】结合 ， 及 的图象易知，当 时， . 故答案为：A
【分析】利用指数函数以及幂函数的单调性即可得出结论。
11．【答案】A
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】∵幂函数f（x）= = 的定义域为{x|x＞0}，在（0，+∞）上单调递减．
∴若f（a+1）＜f（10﹣2a），
则 ，
即 ，
解得3＜a＜5，即a的取值范围是（3，5）．
故答案为：A
【分析】根据幂函数的定义域和单调性，列出不等式组求解即可求出实数a的取值范围.
12．【答案】C
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由于函数 为幂函数，故 ，解得 .当 时， ，当 时， .由于“对任意 ，且 ，满足 ”故函数在 上为增函数，故 .由于 ，故函数值单调递增的奇函数.由于 ，所以 且 ，
故答案为：C.
【分析】根据幂函数的定义，结合函数的单调性，求出m，得到函数的表达式，即可确定a+b和ab的符号.
13．【答案】D
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】根据题意
最终跑在最前面的人一为f值最大的函数
通过分析各种类型函数的增长f1（x）=x2，f2（x）=4x，f3（x）=log2x，f4（x）=2x，D中，f4（x）=2x增长最快
故选D
【分析】根据题意，本题实际考查各类函数的增长模型，通过对四类函数分析，指数函数增长最快，选出选项．
14．【答案】y=a（1+p%）x；{x|x为整数，且0≤x≤m}
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】解：设年产量为y，年数x，y=a（1+p%）x；
定义域：{x|x为整数，且0≤x≤m}．
故答案为：y=a（1+p%）x；{x|x为整数，且0≤x≤m}．
【分析】根据在今后m年内，计划使产量平均每年比上年增加p%，可得等比数列模型，即可求得函数解析式
15．【答案】3
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】∵ 是幂函数，且 在定义域上单调递增，
∴ ，解得：
故答案为：3
【分析】根据题目中所给的条件的特点，根据幂函数的定义以及函数的单调性求出m的值即可.
16．【答案】8
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】∵幂函数f（x）的图象过点（2， ），设幂函数为y=xn，则有2n= ，∴n= ，幂函数f（x）= ，那么f（64）= =8，
故答案为：8．
【分析】设出幂函数表达式，求出n值，将x=64代入即可.
17．【答案】-1
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】函数 为幂函数，所以 解得m=3或m=-1，
幂函数 的图象关于原点对称且与x轴、y轴均无交点，所以 <0，所以m=3舍掉， m=-1符合题意；
故答案为：-1.
【分析】根据已知函数为幂函数即可求出m的取值，再根据图像关于原点对称和与x轴、y轴均无交点这一限定条件，排除不符合题意的取值。
18．【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由题意得 单调增区间是
故答案为: [ 0 , + ∞ )
【分析】由幂函数的定义,系数m-1必为1,求出m的值,再求单调区间.
19．【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：设f（x）=xα（α为常数），
∵幂函数y=f（x）的图象过点（ ，2），
∴α=﹣1．
∴f（x）=x﹣1，
同理g（x）=x﹣2，
∴f（2）+g（﹣1）= = ．
故答案为： ．
【分析】求出函数的解析式，代入计算可得结论．
20．【答案】（1）解：由题意令y=f（x）=xa，由于图象过点（ ， ）， 得 = a，a=﹣1
∴y=f（x）=x﹣1
（2）解：g（x）=f（x）+x=x+ 函数 在区间（1，+∞）上是增函数，
证明：任取x1、x2使得x1＞x2＞1，
都有
由x1＞x2＞1得，x1﹣x2＞0，x1x2＞0，x1x2﹣1＞0，
于是g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），
所以，函数 在区间（1，+∞）上是增函数．
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式即可；（2）函数在区间（1，+∞）上为增函数，理由为：在区间（1，+∞）上任取x1＞x2＞1，求出f（x1）﹣f（x2），通分后，根据设出的x1＞x2＞1，判定其差大于0，即f（x1）＞f（x2），从而得到函数为增函数．
21．【答案】（1）解：函数f（x）是幂函数，则m3﹣m+1=1，
解得：m=0，或1或﹣1，
又f（x）的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称
∴f（x）=x﹣4；
（2）解：由（1）得：f（x）在（0，+∞），（﹣∞，0）递增，
故|x+1|＜|x﹣2|，|x+1|≠0，解得：x＜ 且x≠﹣1，
故不等式的解集是： ．
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义，求出函数f（x）的解析式即可；（2）根据函数的单调性、奇偶性，得到关于x的不等式，解出即可．
22．【答案】【解答】（1）∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
即，
∴x2+ax﹣3=x2﹣ax﹣3；
∴a=0，
∴f（x）=；
（2）证明：任取x1、x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2；
∴；
∵x1＜x2＜0，
∴x1+x2＜0，x1﹣x2＜0，
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＞0，
∴＞1，即f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；
（3）由（2）知，f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；
∴当x∈[﹣2，0]时，f（﹣2）==2，f（0）=；
∴函数f（x）在[﹣2，0]上的值域是[，2]．
【知识点】幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【分析】（1）根据f（x）是偶函数，f（﹣x）=f（x），求出a=0；
（2）用定义证明f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；
（3）由（2）得，根据f（x）在[﹣2，0]的单调性，求出f（x）在[﹣2，0]上的值域．
23．【答案】（1）解：令m2﹣m﹣1=1，
解得m=2或m=﹣1，
所以m=2或m=﹣1时，f（x）是幂函数；
（2）解：令﹣5m﹣3=1，
解得m=﹣ ，
所以m=﹣ 时，f（x）是正比例函数；
（3）解：令﹣5m﹣3=﹣1，
解得m=﹣ ，
所以m=﹣ 时，f（x）是反比例函数；
（4）解：令﹣5m﹣3=2，
解得m=﹣1，
所以m=﹣1时，f（x）=x2是二次函数．
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义，令m2﹣m﹣1=1求出m的值即可；（2）根据正比例函数的定义，令﹣5m﹣3=1求出m的值即可；（3）根据反比例函数的定义，令﹣5m﹣3=﹣1求出m的值即可；（4）根据二次函数的定义，令﹣5m﹣3=2求出m的值即可．
24．【答案】（1）解：因为幂函数f（x）=x（2﹣k）（1﹣k）在（0，+∞）上单调递增，
所以（2﹣k）（1+k）＞0，故﹣1＜k＜2．
又因为k∈Z，故k=0，或k=1，所以f（x）=x2
（2）解：由（1）知g（x）=﹣qx2+（2q﹣1）x+1，
假设存在这样的正数q符合题意，
则函数g（x）的图象是开口向下的抛物线，
其对称轴为x= =1﹣ ＜1，
因而，函数g（x）在[﹣1，2]上的最小值只能在x=﹣1或x=2处取得
又g（2）=﹣4q+4q﹣2+1=﹣1≠﹣4，从而必有g（﹣1）=2﹣3q=﹣4
解得q=2，
此时，g（x）=﹣2x2+3x+1，其对称轴x= ∈[﹣1，2]
∴g（x）在[﹣1，2]上的最大值为g（ ）=﹣2×（ ）2+3× +1= 符合题意
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）由f（2）＜f（3）知幂函数在（0，+∞）上为增函数，故（2﹣k）（1+k）＞0，解出k即可．（2）写出g（x）的解析式g（x）=﹣qx2+（2q﹣1）x+1，为二次函数，只需考虑二次函数的对称轴和单调性即可．
25．【答案】（1）解：因为 是幂函数，所以 ，解得 或 ，
又因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 .
（2）解：由于 在区间 都是减函数，且
分三种情况讨论：
①当 ，即 时，原不等式成立；
②当 且 时，有 ，即 ，解集为空集；
③当 且 时，有 ，即 ，
∴
综上所述： 的取值范围是 .
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】（1）由幂函数的定义可得 ，再利用 在 上单调递增，即可得出 范围；（2）由于 在区间 ， 上都是减函数，且 ，分三种情况讨论，即可得出．
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