13.1.2 线段的垂直平分线的性质 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
人教版八年级上册
知识回顾
1.什么叫轴对称图形？
2.什么叫轴对称？
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另外一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称.
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.
学习目标
1.理解并掌握线段垂直平分线的性质、判定.
2.会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理.
3.综合运用轴对称图形的性质、线段垂直平分线的性质和判定来解决问题.
新知导入
前面我们已经学习了轴对称图形和两个图形成轴对称的意义和性质，这节课我们一起运用轴对称来探索线段垂直平分线的性质和判定.
A
B
l
P1
P2
P3
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，连接P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B，...，△P1AB、△P2AB、△P3AB是否关于直线l对称？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
探究新知
A
B
l
P1
P2
P3
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
在图中的直线l 上再任取一点，那么这一点与线段AB 两个端点的距离相等吗？
P4
相等
垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等．
猜想：
知识点 1
线段的垂直平分线的性质定理
探究新知
　　已知：如图，直线l⊥AB，垂足为D，AD =DB，点C 在l 上．
　　求证：CA =CB．
猜想与验证
A
B
C
D
l
证明：∵　l⊥AB，
∴ ∠ADC =∠BDC．
　　 ∵ AC =BC，AD =BD，
　　 ∴ △ACD ≌△BCD（SAS）
　　 ∴ AC =BC．
归纳总结
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
用符号语言表示为：∵ AD =BD，l⊥AB，∴ CA =CB．
A
B
C
D
l
注意：线段的垂直平分线，也叫“中垂线”
使用方法
使用条件：已知有垂直平分线，
得出结论：垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
探究新知
　解：∵　AD⊥BC，BD =DC，
∴　AD 是BC 的垂直平分线，
∴　AB =AC．
　　 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
A
B
C
D
E
　∴　AB =AC =CE．
∵　AB =CE，BD =DC，
∴　AB +BD =CD +CE．
即　AB +BD =DE ．
∵　点C 在AE 的垂直平分线上，
∴　AC =CE．
当堂练习
1．如图，在△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长为18，则AC的长等于（　　）
A．6 B．9
C．10 D．12
B
当堂练习
2．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
若BC＝5，求△ADE的周长．
解∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝DB+DE+EC＝BC＝5；
探究新知
知识点 2
线段的垂直平分线的判定定理
　　反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？
点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
P
A
B
C
探究新知
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵　PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
P
A
B
C
课堂小结
用数学符号表示为：
∵　PA =PB，
∴　点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A
B
C
线段的垂直平分线的判定定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
反思探索
这些点能组成什么几何图形？
　　 你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
　　在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；反过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A、B 的距离相等的所有点的集合．
P
A
B
C
l
试一试：
探究新知
例 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
A
B
O
E
D
C
证明：
∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE.
∴ OE是CD的垂直平分线.
又∵OE=OE，
∴Rt△OED≌Rt△OEC.
∴DO=CO.
当堂练习
1．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC边的垂直平分线MN经过点A，求证：点A在CD的垂直平分线上．
证明：连接AC，
∵MN垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∵AB＝AD，
∴AC＝AD，
∴点A在CD的垂直平分线上．
当堂练习
2．如图，点D是BC的中点，DE垂直平分AC，垂足为E，F是BA的中点，求证：DF是AB的垂直平分线．
证明：连接AD，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝DC，
∵点D是BC的中点
∴BD＝CD
∴AD＝BD
在△ADF与△BDF中
∴△ADF≌△BDF（SSS）
∴∠AFD＝∠BFD
∵∠AFD+∠BFD＝180°
∴∠AFD＝∠BFD＝90°
∴DF⊥AB
∴DF是AB的垂直平分线．
探究新知
过直线外一点作已知直线的垂线
知识点 3
　　例1　尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB外一点C（如图）.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
C
A
B
D
P
F
E
作法：
（1）任意取一点P，使点P和点C在AB的两旁.
（2）以点C为圆心，CP长为半径作弧，交AB于点D和E.
（3）分别以点D和点E为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点F.
（4）作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
当堂小测
1．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点D，交BC于点E．若AB＝10cm，AC＝8cm，则△ACD的周长是（　　）
A．12cm B．18cm
C．16cm D．14cm
B
当堂小测
2．如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接AD，CD，则下列结论正确的是（　　）
A．AD＝CD B．∠A＝∠C
C．∠B＝∠ADC D．DE＝DF
A
当堂小测
3．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于D，E，AE＝4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为 　 　cm．
22
当堂小测
4．如图所示，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8，分别作出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，则△PMN的周长为 　　．
8
当堂小测
5．如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．
求证：OE垂直平分BD．
证明：在△AOB与△COD中，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE＝DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD．
总结
线段
的垂直平分线
性质
判定
尺规
作图
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
画一个轴对称图形或成轴对称图形的对称轴
谢谢
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