初中数学苏科版七年级上册6.5垂直 同步练习
一、单选题
1．（2020七下·许昌期末）点 为直线 外一点，点 为直线 上三点， ，则点到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．不大于
【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：当PC⊥m时，PC是点P到直线m的距离，即点P到直线m的距离2cm，
当PC不垂直直线m时，点P到直线m的距离小于PC的长，即点P到直线m的距离小于2cm，
综上所述：点P到直线m的距离不大于2cm，
故答案为：D.
【分析】根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案.
2．（2020七下·防城港期末）如图，连接直线 外一点 与直线 上各点 ， ，其中 ，这些线段 ， ， ， ， 中，最短的线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵PO⊥l，
∴这些线段PO，PA1，PA2，PA3，…中，最短的线段是 PO.
故答案为：A.
【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”作答即可.
3．（2020七下·韩城期末）如图，把河 中的水引到村庄C拟修水渠中最短的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵CP⊥AB，
∴把河中的水引到村庄C拟修水渠中最短的是CP.
故答案为：C.
【分析】利用垂线段最短，根据图形可得答案。
4．（2020七下·横县期末）如图，点O为直线AB上一点，OC⊥OD. 如果∠1=35°，那么∠2的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°
∵∠1+∠COD+∠2=180°
∴∠2=180°-90°-35°=55°.
故答案为：C.
【分析】利用垂直的定义可证得∠COD=90°，观察图形可知∠1+∠COD+∠2=180°，由此可求出∠2的度数。
5．（2020七下·右玉期末）如图,测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度,其依据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．两点之间线段最短 D．两点之间直线最短
【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：由图可知，依据是垂线段最短，
故答案为：B.
【分析】根据垂线的定义即可求解.
6．（2020七下·文水期末）如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件中：①∠AOD＝90° ；②∠AOD＝∠AOC；③∠AOC+∠BOC＝180°；④∠AOC+∠BOD＝180°，能说明AB⊥CD的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：①∠AOD=90°，可以得出AB⊥CD；
②∵∠AOD＝∠AOC，∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOD=90°，
∴AB⊥CD：
③∠AOC+∠BOC＝180°，不能得到AB⊥CD；
④∵∠AOC+∠BOD=180°，∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC=90°，
∴AB⊥CD；
故能说明AB⊥CD的有①②④共3个．
故答案为：C．
【分析】根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．
7．（2020七下·莘县期末）下列说法中不正确的是（ ）
A．在同一平面内，经过一点能画一条且只能画一条直线与已知直线垂直
B．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
C．一条直线的垂线可以画无数条
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【答案】B
【知识点】垂线；垂线段最短；点到直线的距离
【解析】【解答】解：A、C、D正确，
B应改为：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.
故答案为：B.
【分析】根据垂线、点到直线的距离以及垂线段最短分别进行分析即可.
8．（2020七下·唐山期中）如图，已知直线 AB，CD 相交于点 O，EF⊥AB 于点 O，若∠BOC=55°，则∠DOF=（ ）
A．35° B．45° C．55° D．90°
【答案】A
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵直线AB、EF相交于点O，
∴∠AOD=∠BOC=55°，
∵AB⊥CD，
∴∠DOF=90°-∠AOD=90°-55°=35°．
故答案为：A．
【分析】已知∠BOC=55°，利用对顶角相等可求∠AOD，因为EF⊥AB，则∠AOD+∠DOF=90°，即可求∠DOF．
9．（2020七下·南山期中）如图，点P是直线a外一点，过点P作 于点A，在直线a上取一点B，连结PB，使 ，C在线段AB上，连结PC．若 ，则线段PC的长不可能是（ ）
A．3.8 B．4.9 C．5.6 D．5.9
【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵过点P作 于点A, ， ，
∴PB=6，
∴PC的长度应该属于4 6之间(包含4和6)；
故PC的长度不可能是3.8，
故答案为A．
【分析】直接利用垂线段最短以及结合已知得出PC的取值范围进而得出答案．
10．（2019七上·利川月考）如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是
故答案为：B.
【分析】依据点到直线的距离垂线段最短，以及两点之间，线段最短即可求解.
二、填空题
11．（2020七下·北京期末）如图，线段AB=15cm，线段AD=12cm，线段AC=9cm，则点A到BC的距离为 cm．
【答案】9
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：如图所示，已知 ，AC=9cm，由点到直线的距离定义可知，点A到BC的距离为AC的长度，即为9cm；
故答案为：9．
【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离，如图中，AC的距离就是点A到直线BC的距离．
12．（2020七下·襄城期末）在同一平面内，直线AB与直线CD相交于点O，∠BOC：∠BOD＝4：5，射线OE⊥CD，则∠BOE的度数为 .
【答案】170°或10°
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】∵∠BOC：∠BOD＝4：5，
∵∠BOC＝ ×180°＝80°，
①如图1，OE在AB的上方时，
又∵OE⊥CD，
∴∠COE＝90° ，
∴∠BOE＝90° +80° ＝170°
②如图2，OE在AB的下方时，
同理得∠BOE＝90° ﹣80°＝10°，
综上，∠BOE的度数为170 °或10°.
故答案是：170°或10° .
【分析】首先根据叙述作出图形，根据条件求得∠COB的度数，分两种情况根据角的和与差即可求解.
13．（2020七下·北京月考）如图，已知直线 ， 相交于点 ， 于 ，若 ，则 °， °， °．
【答案】58；58；122
【知识点】垂线；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵EO⊥AB，（已知）
∴∠AOE=90°，（垂线的定义）
∵∠1=32°，（已知）
∴∠3=90-32=58°，（余角的性质）
∴∠2=∠3=58°，（对顶角）
∴∠4=180°-58°=122°，（邻补角的性质）
故答案为：58；58；122.
【分析】根据垂线，对顶角，邻补角的知识求出角度即可.
14．（2020七下·南宁月考）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，在铁路线上选一点来建火车站，应建在 点.
【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据垂线段最短可得：应建在A点，
故答案为：A.
【分析】根据垂线段最短即可求出答案.
15．（2020七上·建邺期末）如图，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，其理由是 .
【答案】过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【知识点】垂线
【解析】【解答】∵OM⊥l，ON⊥l，
∴OM与ON重合（平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直），
故答案为：平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【分析】平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，据此可得结论．
16．（2019七下·上杭期末）已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则正确的图形可以是如图中的图 (填甲或乙)，你选择的依据是 （写出你学过的一条公理）.
【答案】乙；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【知识点】垂线
【解析】【解答】根据题意可得图形
故答案为：乙，根据：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【分析】根据题意，即可得到直角坐标系中的图形，根据其性质选择符合条件的定理即可。
17．（2019七下·全椒期末）如图，已知直线AD、BE、CF相交于O，OG⊥AD，且∠BOC=35°，∠FOG=30°，则∠DOE= ．
【答案】25°
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵OG⊥AD，
∴∠GOD=90°，
∵∠EOF=∠BOC=35°，
又∵∠FOG=30°，
∴∠DOE=∠GOD-∠EOF-∠GOF=90°-35°-30°=25°，
故答案为：25°．
【分析】由已知条件和观察图形可知∠EOF与∠BOC是对顶角，OG⊥AD，∠GOD为90°，利用这些关系可解此题．
18．（2019七下·海淀期中）如图，电子宠物P在圆上运动，点O处设置有一个信号转换器，将宠物P的位置信号沿着垂直于线段OP的方向OQ传送，被信号接收板l接收．若传送距离越近，接收到的信号越强，则当P点运动到图中 号点的位置时，接收到的信号最强（填序号①，②，③或④）．
【答案】①
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】根据垂线段最短，得出当OQ⊥直线l时，信号最强，
即当当P点运动到图中①号点的位置时，接收到的信号最强；
故答案为①．
【分析】根据垂线段最短得出即可．
三、解答题
19．（2020七下·凉州月考）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，求∠BOE，∠AOG的度数.
【答案】解：∵∠FOD与∠COE是对顶角，且∠FOD=28°
∴∠COE=28°
又 ∵AB⊥CD
∴∠AOC=∠BOC=90°
∴∠BOE=90°-28°=62°,∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+28°=118°
∵OE平分∠AOE，
∴∠AOG=118°÷2=59°
【知识点】角的大小比较；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用对顶角相等求出∠COE的度数，再利用垂直的定义可得到∠AOC=∠BOC=90°，然后求出∠BOE和∠AOE的度数，利用角平分线的定义就可求出∠AOG的度数。
20．如图，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E，试比较四条线段DE、DC、AC、AB的大小．
【答案】解：∵AC⊥BC，
∴AC＜AB，
∵CD⊥AB，
∴DC＜AC，
∵DE⊥BC，
∴DE＜DC，
∴DE＜DC＜AC＜AB
【知识点】垂线段最短
【解析】【分析】分别根据垂线段最短依次进行判断，然后按照从小到大的顺序排列即可．
21．如图，点O是直线AB上一点，∠AOC=40°，OD平分∠AOC，∠COE=70°．
（1）请你说明DO⊥OE；
（2）OE平分∠BOC吗？为什么？
【答案】解：（1）∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC=∠AOC=20．
∵∠COE=70°，
∴∠DOE=90°，
∴DO⊥OE．
（2）OE平分∠BOC．
理由：∵∠AOC+∠COE+∠BOE=180°，
又∵∠AOC=40°，∠COE=70°，
∴∠BOE=70°，
∴∠BOE=∠COE，
∴OE平分∠BOC．
【知识点】垂线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义求得∠COD=20°，再根据垂线的定义证明；
（2）求得∠BOC的度数，根据角平分线的定义即可求得OE平分∠BOC．
四、作图题
22．（2020七上·越城期末）如图，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．
（1）从码头A到火车站B怎样走最近，请画图并选择理由 ；（填入一个序号）
（2）从码头A到铁路a怎样走最近，请画图 并并选择理由 ；（填入一个序号）
①两点确定一条直线 ②两点之间线段最短 ③垂线段最短
【答案】（1）②
（2）；③
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：（1）如图，连结AB
理由：②两点之间线段最短 ;
（ 2 ）如图，过A作a的垂线段AD,
理由：③垂线段最短.
【分析】（1）从码头A到火车站B的距离是点到点的距离，即两点间的距离．依据两点之间线段最短解答．（2）从码头A到铁路a的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．
23．（2020七上·汽开区期末）画图并填空：如图，请画出自A地经过B地去河边l的最短路线．
（1）确定由A地到B地最短路线的依据是 ．
（2）确定由B地到河边l的最短路线的依据是 ．
【答案】（1）两点之间，线段最短
（2）垂线段最短
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：连接AB，过点B作BD⊥l，垂足为点D，自A地经过B地去河边l的最短路线，如图所示．
⑴确定由A地到B地最短路线的依据是两点之间，线段最短．
⑵确定由B地到河边l的最短路线的依据是垂线段最短．
【分析】（1）根据两点之间，线段最短，连接AB，线段AB即为由A地到B地最短路线；（2）根据垂线段最短，过点B作BD⊥l，垂足为点D，线段BD即为由B地到河边l的最短路线.
24．（2019七下·富宁期中）如图所示的方格纸中有∠CAB，按下列要求画图并回答问题（在方格中，虚线与虚线的交点称为格点）。
（1）①在AB上找一格点D，连接CD，使得CD⊥AB；
②在AB上找一格点E，连接CE，使得CE⊥AC；
（2）线段 的长度是点C到AB的距离，线段 的长度是点A到CE的距离。
【答案】（1）画图如下，
如上图所示
（2）CD；AC
【知识点】垂线；点到直线的距离
【解析】【解答】（2）由直线外一点到这条直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，可知线段CD的长度是点C到AB的距离；线段AC的长度是点A到CE的距离.
故答案为：CD，AC.
【分析】（1） ① 利用方格纸的特点及垂直的定义即可找出点D的位置，再连接CD即可； ② 根据三角形的内角和及垂直的定义，只要满足所找的点E满足∠ECD=∠A即可，由AD=2CD，故只要满足CD=2DE，即可得出点E的位置，从而连接CE即可；
（2）根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，即可得出线段CD的长度是点C到AB的距离；线段AC的长度是点A到CE的距离.
五、综合题
25．（2020七下·崇左期末）如图4，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，EO⊥AB于点O，FO⊥CD于点O.
（1）
若∠AOD=40°，求∠EOC的度数；
（2）
若∠AOD: ∠EOF=1:5，求∠BOP的度数.
【答案】（1）解： ∵EO⊥AB，∴∠AOE=90°.
∵∠AOD=40°，
∴∠EOC＝180°－ ∠AOD－ ∠AOE
＝180°－40°－90°
＝50°.
（2）解： ∵ ∠AOD: ∠EOF＝1:5，设∠AOD为x°, 则∠EOF为5x°
∵DO⊥FO，∴∠DOF＝90°.
∵∠AOD+∠AOE+∠EOF+∠DOF＝360°，
∴ x + 90°+ 5x + 90°＝360°.
解得x＝30°,即∠AOD＝30°.
又∴∠BOC＝∠AOD＝30°(对顶角相等)
∵OP是∠BOC的平分线,
∴∠POB＝ ∠BOC ＝
【知识点】垂线；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义求出∠AOE的度数，再根据∠EOC＝180°－ ∠AOD－ ∠AOE，代入计算求出∠EOC的度数。
（2）利用已知条件∠AOD: ∠EOF=1:5，设∠AOD为x°, 则∠EOF为5x°，由∠AOD+∠AOE+∠EOF+∠DOF＝360°，建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠AOD的度数，再利用对顶角相等和角平分线的定义可求出∠POB的度数。
26．（2020七上·苏州期末）如图所示，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；
（2）若∠1＝ ∠BOC，求∠MOD的度数．
【答案】（1）解：ON⊥CD．理由如下：
∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝90°，
∴∠1＋∠AOC＝90°，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＋∠AOC＝90°，
即∠CON＝90°，
∴ON⊥CD．
（2）解：∵OM⊥AB，∴∠MOB=90°，
∴∠BOC=∠MOB+∠1=90°+∠1
∵∠1＝∠BOC= (∠1+90°) ，
∴∠1 =22.5° ，
又∵∠1＋∠MOD＝180°，
∴∠MOD＝180° ∠1＝157.5°．
【知识点】角的大小比较；垂线
【解析】【分析】（1）根据垂直定义可得∠AOM＝90°，进而可得∠1＋∠AOC＝90°，再利用等量代换可得到∠2＋∠AOC＝90°，从而可得ON⊥CD；
（2）根据垂直定义和条件可得∠1＝22.5° ，再根据邻补角定义可得∠MOD的度数．
27．如图，直线 相交于点 于点 ，连接 .
（1）若 ，则 = ;
（2）若 =2 cm， =1.5 cm， =2.5 cm，则点 到 的距离是 cm.
【答案】（1）65°
（2）1.5
【知识点】余角、补角及其性质；点到直线的距离
【解析】【解答】解：⑴∵OE⊥CD，
∴∠DOE=90°，
∵∠AOC=25°，
∴∠BOD=90°，
∴∠BOE=90° 25°=65°，
⑵∵OE⊥CD，OE=1.5cm，
∴点E到直线CD的距离是1.5cm，
故答案为：65°；1.5.
【分析】（1）根据题意可知，∠AOC和∠EOB互余，根据两个角的和为90°，即可得到∠BOE的度数；
（2）根据题意可知，OE⊥CD，所以OE即为点E到CD的距离。
28．如图，P是∠AOB的边OB上一点．
（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（3）点O到直线PC的距离是线段 的长度；
（4）比较PH与CO的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：如图：
（2）解：如图：
（3）OP
（4）解：PH＜CO，
∵垂线段最短，
∴PH＜PO，PO＜OC，
∴PH＜CO
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离
【解析】【解答】解：（3）OP，故答案为：OP；
【分析】（1）（2）根据题意画垂线；（3）根据点到直线的距离的定义得到线段PH的长度是点P到OA的距离，线段OP的长是点C到直线OB的距离；（4）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到PC＞PH，CO＞CP，即可得到线段PH、OC的大小关系．
1 / 1初中数学苏科版七年级上册6.5垂直 同步练习
一、单选题
1．（2020七下·许昌期末）点 为直线 外一点，点 为直线 上三点， ，则点到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．不大于
2．（2020七下·防城港期末）如图，连接直线 外一点 与直线 上各点 ， ，其中 ，这些线段 ， ， ， ， 中，最短的线段是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020七下·韩城期末）如图，把河 中的水引到村庄C拟修水渠中最短的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020七下·横县期末）如图，点O为直线AB上一点，OC⊥OD. 如果∠1=35°，那么∠2的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
5．（2020七下·右玉期末）如图,测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度,其依据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．两点之间线段最短 D．两点之间直线最短
6．（2020七下·文水期末）如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件中：①∠AOD＝90° ；②∠AOD＝∠AOC；③∠AOC+∠BOC＝180°；④∠AOC+∠BOD＝180°，能说明AB⊥CD的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2020七下·莘县期末）下列说法中不正确的是（ ）
A．在同一平面内，经过一点能画一条且只能画一条直线与已知直线垂直
B．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
C．一条直线的垂线可以画无数条
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
8．（2020七下·唐山期中）如图，已知直线 AB，CD 相交于点 O，EF⊥AB 于点 O，若∠BOC=55°，则∠DOF=（ ）
A．35° B．45° C．55° D．90°
9．（2020七下·南山期中）如图，点P是直线a外一点，过点P作 于点A，在直线a上取一点B，连结PB，使 ，C在线段AB上，连结PC．若 ，则线段PC的长不可能是（ ）
A．3.8 B．4.9 C．5.6 D．5.9
10．（2019七上·利川月考）如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2020七下·北京期末）如图，线段AB=15cm，线段AD=12cm，线段AC=9cm，则点A到BC的距离为 cm．
12．（2020七下·襄城期末）在同一平面内，直线AB与直线CD相交于点O，∠BOC：∠BOD＝4：5，射线OE⊥CD，则∠BOE的度数为 .
13．（2020七下·北京月考）如图，已知直线 ， 相交于点 ， 于 ，若 ，则 °， °， °．
14．（2020七下·南宁月考）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，在铁路线上选一点来建火车站，应建在 点.
15．（2020七上·建邺期末）如图，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，其理由是 .
16．（2019七下·上杭期末）已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则正确的图形可以是如图中的图 (填甲或乙)，你选择的依据是 （写出你学过的一条公理）.
17．（2019七下·全椒期末）如图，已知直线AD、BE、CF相交于O，OG⊥AD，且∠BOC=35°，∠FOG=30°，则∠DOE= ．
18．（2019七下·海淀期中）如图，电子宠物P在圆上运动，点O处设置有一个信号转换器，将宠物P的位置信号沿着垂直于线段OP的方向OQ传送，被信号接收板l接收．若传送距离越近，接收到的信号越强，则当P点运动到图中 号点的位置时，接收到的信号最强（填序号①，②，③或④）．
三、解答题
19．（2020七下·凉州月考）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，求∠BOE，∠AOG的度数.
20．如图，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E，试比较四条线段DE、DC、AC、AB的大小．
21．如图，点O是直线AB上一点，∠AOC=40°，OD平分∠AOC，∠COE=70°．
（1）请你说明DO⊥OE；
（2）OE平分∠BOC吗？为什么？
四、作图题
22．（2020七上·越城期末）如图，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．
（1）从码头A到火车站B怎样走最近，请画图并选择理由 ；（填入一个序号）
（2）从码头A到铁路a怎样走最近，请画图 并并选择理由 ；（填入一个序号）
①两点确定一条直线 ②两点之间线段最短 ③垂线段最短
23．（2020七上·汽开区期末）画图并填空：如图，请画出自A地经过B地去河边l的最短路线．
（1）确定由A地到B地最短路线的依据是 ．
（2）确定由B地到河边l的最短路线的依据是 ．
24．（2019七下·富宁期中）如图所示的方格纸中有∠CAB，按下列要求画图并回答问题（在方格中，虚线与虚线的交点称为格点）。
（1）①在AB上找一格点D，连接CD，使得CD⊥AB；
②在AB上找一格点E，连接CE，使得CE⊥AC；
（2）线段 的长度是点C到AB的距离，线段 的长度是点A到CE的距离。
五、综合题
25．（2020七下·崇左期末）如图4，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，EO⊥AB于点O，FO⊥CD于点O.
（1）
若∠AOD=40°，求∠EOC的度数；
（2）
若∠AOD: ∠EOF=1:5，求∠BOP的度数.
26．（2020七上·苏州期末）如图所示，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；
（2）若∠1＝ ∠BOC，求∠MOD的度数．
27．如图，直线 相交于点 于点 ，连接 .
（1）若 ，则 = ;
（2）若 =2 cm， =1.5 cm， =2.5 cm，则点 到 的距离是 cm.
28．如图，P是∠AOB的边OB上一点．
（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（3）点O到直线PC的距离是线段 的长度；
（4）比较PH与CO的大小，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：当PC⊥m时，PC是点P到直线m的距离，即点P到直线m的距离2cm，
当PC不垂直直线m时，点P到直线m的距离小于PC的长，即点P到直线m的距离小于2cm，
综上所述：点P到直线m的距离不大于2cm，
故答案为：D.
【分析】根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案.
2．【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵PO⊥l，
∴这些线段PO，PA1，PA2，PA3，…中，最短的线段是 PO.
故答案为：A.
【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”作答即可.
3．【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵CP⊥AB，
∴把河中的水引到村庄C拟修水渠中最短的是CP.
故答案为：C.
【分析】利用垂线段最短，根据图形可得答案。
4．【答案】C
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°
∵∠1+∠COD+∠2=180°
∴∠2=180°-90°-35°=55°.
故答案为：C.
【分析】利用垂直的定义可证得∠COD=90°，观察图形可知∠1+∠COD+∠2=180°，由此可求出∠2的度数。
5．【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：由图可知，依据是垂线段最短，
故答案为：B.
【分析】根据垂线的定义即可求解.
6．【答案】C
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：①∠AOD=90°，可以得出AB⊥CD；
②∵∠AOD＝∠AOC，∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOD=90°，
∴AB⊥CD：
③∠AOC+∠BOC＝180°，不能得到AB⊥CD；
④∵∠AOC+∠BOD=180°，∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC=90°，
∴AB⊥CD；
故能说明AB⊥CD的有①②④共3个．
故答案为：C．
【分析】根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．
7．【答案】B
【知识点】垂线；垂线段最短；点到直线的距离
【解析】【解答】解：A、C、D正确，
B应改为：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.
故答案为：B.
【分析】根据垂线、点到直线的距离以及垂线段最短分别进行分析即可.
8．【答案】A
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵直线AB、EF相交于点O，
∴∠AOD=∠BOC=55°，
∵AB⊥CD，
∴∠DOF=90°-∠AOD=90°-55°=35°．
故答案为：A．
【分析】已知∠BOC=55°，利用对顶角相等可求∠AOD，因为EF⊥AB，则∠AOD+∠DOF=90°，即可求∠DOF．
9．【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵过点P作 于点A, ， ，
∴PB=6，
∴PC的长度应该属于4 6之间(包含4和6)；
故PC的长度不可能是3.8，
故答案为A．
【分析】直接利用垂线段最短以及结合已知得出PC的取值范围进而得出答案．
10．【答案】B
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是
故答案为：B.
【分析】依据点到直线的距离垂线段最短，以及两点之间，线段最短即可求解.
11．【答案】9
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：如图所示，已知 ，AC=9cm，由点到直线的距离定义可知，点A到BC的距离为AC的长度，即为9cm；
故答案为：9．
【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离，如图中，AC的距离就是点A到直线BC的距离．
12．【答案】170°或10°
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】∵∠BOC：∠BOD＝4：5，
∵∠BOC＝ ×180°＝80°，
①如图1，OE在AB的上方时，
又∵OE⊥CD，
∴∠COE＝90° ，
∴∠BOE＝90° +80° ＝170°
②如图2，OE在AB的下方时，
同理得∠BOE＝90° ﹣80°＝10°，
综上，∠BOE的度数为170 °或10°.
故答案是：170°或10° .
【分析】首先根据叙述作出图形，根据条件求得∠COB的度数，分两种情况根据角的和与差即可求解.
13．【答案】58；58；122
【知识点】垂线；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵EO⊥AB，（已知）
∴∠AOE=90°，（垂线的定义）
∵∠1=32°，（已知）
∴∠3=90-32=58°，（余角的性质）
∴∠2=∠3=58°，（对顶角）
∴∠4=180°-58°=122°，（邻补角的性质）
故答案为：58；58；122.
【分析】根据垂线，对顶角，邻补角的知识求出角度即可.
14．【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据垂线段最短可得：应建在A点，
故答案为：A.
【分析】根据垂线段最短即可求出答案.
15．【答案】过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【知识点】垂线
【解析】【解答】∵OM⊥l，ON⊥l，
∴OM与ON重合（平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直），
故答案为：平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【分析】平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，据此可得结论．
16．【答案】乙；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【知识点】垂线
【解析】【解答】根据题意可得图形
故答案为：乙，根据：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【分析】根据题意，即可得到直角坐标系中的图形，根据其性质选择符合条件的定理即可。
17．【答案】25°
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵OG⊥AD，
∴∠GOD=90°，
∵∠EOF=∠BOC=35°，
又∵∠FOG=30°，
∴∠DOE=∠GOD-∠EOF-∠GOF=90°-35°-30°=25°，
故答案为：25°．
【分析】由已知条件和观察图形可知∠EOF与∠BOC是对顶角，OG⊥AD，∠GOD为90°，利用这些关系可解此题．
18．【答案】①
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】根据垂线段最短，得出当OQ⊥直线l时，信号最强，
即当当P点运动到图中①号点的位置时，接收到的信号最强；
故答案为①．
【分析】根据垂线段最短得出即可．
19．【答案】解：∵∠FOD与∠COE是对顶角，且∠FOD=28°
∴∠COE=28°
又 ∵AB⊥CD
∴∠AOC=∠BOC=90°
∴∠BOE=90°-28°=62°,∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+28°=118°
∵OE平分∠AOE，
∴∠AOG=118°÷2=59°
【知识点】角的大小比较；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用对顶角相等求出∠COE的度数，再利用垂直的定义可得到∠AOC=∠BOC=90°，然后求出∠BOE和∠AOE的度数，利用角平分线的定义就可求出∠AOG的度数。
20．【答案】解：∵AC⊥BC，
∴AC＜AB，
∵CD⊥AB，
∴DC＜AC，
∵DE⊥BC，
∴DE＜DC，
∴DE＜DC＜AC＜AB
【知识点】垂线段最短
【解析】【分析】分别根据垂线段最短依次进行判断，然后按照从小到大的顺序排列即可．
21．【答案】解：（1）∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC=∠AOC=20．
∵∠COE=70°，
∴∠DOE=90°，
∴DO⊥OE．
（2）OE平分∠BOC．
理由：∵∠AOC+∠COE+∠BOE=180°，
又∵∠AOC=40°，∠COE=70°，
∴∠BOE=70°，
∴∠BOE=∠COE，
∴OE平分∠BOC．
【知识点】垂线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义求得∠COD=20°，再根据垂线的定义证明；
（2）求得∠BOC的度数，根据角平分线的定义即可求得OE平分∠BOC．
22．【答案】（1）②
（2）；③
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：（1）如图，连结AB
理由：②两点之间线段最短 ;
（ 2 ）如图，过A作a的垂线段AD,
理由：③垂线段最短.
【分析】（1）从码头A到火车站B的距离是点到点的距离，即两点间的距离．依据两点之间线段最短解答．（2）从码头A到铁路a的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．
23．【答案】（1）两点之间，线段最短
（2）垂线段最短
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：连接AB，过点B作BD⊥l，垂足为点D，自A地经过B地去河边l的最短路线，如图所示．
⑴确定由A地到B地最短路线的依据是两点之间，线段最短．
⑵确定由B地到河边l的最短路线的依据是垂线段最短．
【分析】（1）根据两点之间，线段最短，连接AB，线段AB即为由A地到B地最短路线；（2）根据垂线段最短，过点B作BD⊥l，垂足为点D，线段BD即为由B地到河边l的最短路线.
24．【答案】（1）画图如下，
如上图所示
（2）CD；AC
【知识点】垂线；点到直线的距离
【解析】【解答】（2）由直线外一点到这条直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，可知线段CD的长度是点C到AB的距离；线段AC的长度是点A到CE的距离.
故答案为：CD，AC.
【分析】（1） ① 利用方格纸的特点及垂直的定义即可找出点D的位置，再连接CD即可； ② 根据三角形的内角和及垂直的定义，只要满足所找的点E满足∠ECD=∠A即可，由AD=2CD，故只要满足CD=2DE，即可得出点E的位置，从而连接CE即可；
（2）根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，即可得出线段CD的长度是点C到AB的距离；线段AC的长度是点A到CE的距离.
25．【答案】（1）解： ∵EO⊥AB，∴∠AOE=90°.
∵∠AOD=40°，
∴∠EOC＝180°－ ∠AOD－ ∠AOE
＝180°－40°－90°
＝50°.
（2）解： ∵ ∠AOD: ∠EOF＝1:5，设∠AOD为x°, 则∠EOF为5x°
∵DO⊥FO，∴∠DOF＝90°.
∵∠AOD+∠AOE+∠EOF+∠DOF＝360°，
∴ x + 90°+ 5x + 90°＝360°.
解得x＝30°,即∠AOD＝30°.
又∴∠BOC＝∠AOD＝30°(对顶角相等)
∵OP是∠BOC的平分线,
∴∠POB＝ ∠BOC ＝
【知识点】垂线；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义求出∠AOE的度数，再根据∠EOC＝180°－ ∠AOD－ ∠AOE，代入计算求出∠EOC的度数。
（2）利用已知条件∠AOD: ∠EOF=1:5，设∠AOD为x°, 则∠EOF为5x°，由∠AOD+∠AOE+∠EOF+∠DOF＝360°，建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠AOD的度数，再利用对顶角相等和角平分线的定义可求出∠POB的度数。
26．【答案】（1）解：ON⊥CD．理由如下：
∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝90°，
∴∠1＋∠AOC＝90°，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＋∠AOC＝90°，
即∠CON＝90°，
∴ON⊥CD．
（2）解：∵OM⊥AB，∴∠MOB=90°，
∴∠BOC=∠MOB+∠1=90°+∠1
∵∠1＝∠BOC= (∠1+90°) ，
∴∠1 =22.5° ，
又∵∠1＋∠MOD＝180°，
∴∠MOD＝180° ∠1＝157.5°．
【知识点】角的大小比较；垂线
【解析】【分析】（1）根据垂直定义可得∠AOM＝90°，进而可得∠1＋∠AOC＝90°，再利用等量代换可得到∠2＋∠AOC＝90°，从而可得ON⊥CD；
（2）根据垂直定义和条件可得∠1＝22.5° ，再根据邻补角定义可得∠MOD的度数．
27．【答案】（1）65°
（2）1.5
【知识点】余角、补角及其性质；点到直线的距离
【解析】【解答】解：⑴∵OE⊥CD，
∴∠DOE=90°，
∵∠AOC=25°，
∴∠BOD=90°，
∴∠BOE=90° 25°=65°，
⑵∵OE⊥CD，OE=1.5cm，
∴点E到直线CD的距离是1.5cm，
故答案为：65°；1.5.
【分析】（1）根据题意可知，∠AOC和∠EOB互余，根据两个角的和为90°，即可得到∠BOE的度数；
（2）根据题意可知，OE⊥CD，所以OE即为点E到CD的距离。
28．【答案】（1）解：如图：
（2）解：如图：
（3）OP
（4）解：PH＜CO，
∵垂线段最短，
∴PH＜PO，PO＜OC，
∴PH＜CO
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离
【解析】【解答】解：（3）OP，故答案为：OP；
【分析】（1）（2）根据题意画垂线；（3）根据点到直线的距离的定义得到线段PH的长度是点P到OA的距离，线段OP的长是点C到直线OB的距离；（4）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到PC＞PH，CO＞CP，即可得到线段PH、OC的大小关系．
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