【苏教版】高中数学必修一 第一章 集合

数学 科目 教学设计
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教学内容 第一章 集合
教学目标 1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系；(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
重点 集合的含义与表示、集合间的基本关系与基本运算；
难点 自然语言、图形语言、集合语言之间相互转换；
教学准备 教案、配套练习等
教学过程 一、知识结构第一课时 集合的含义【学习导航】 知识网络 学习要求1．初步理解集合的含义，常用数集及其记法； 2．集合中的元素的特性；3．理解属于关系和相等的意义；集合的分类； 4．集合的分类.【课堂互动】自学评价1．集合的含义： 构成一个集合(set). 一般用大写拉丁字母表示，如集合A，B等。2．集合中的元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素（element），简称元。一般用小写拉丁字母表示.如a,b等.点睛：（1）集合是一个“整体”。 （2）构成集合的对象必须是“确定”的、“不同”的。其中“确定”是指构成集合的对象具有非常明确的特征，这个特征不是模棱两可的，对于任一对象而言，要么在这个集合中，要么不在这个集合中，二者必居其一；“不同”是指构成集合的各个对象是互不相同的。 （3）一个集合的对象具有广泛性，如数可以构成集合，点可以构成集合，商品也可以构成集合，即集合中的元素可以表示任何事物。3．集合中元素的特性：（1）确定性.设A 是一个给定的集合，x是某一元素，则x是A的元素，或者不是A的元素，两 种情况必有一种且只有一种成立.（2）互异性.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.（3）无序性.集合与其中元素的排列次序无关.4．常用数集及其记法： 一般地，自然数集记作_______ ，正整数集记作__________或___________整数集记作________，有理数记作_______，实数集记作________。5．元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就记作__________读作“________________”；如果a不是集合A的元素，就记作______或______读作“_______________”；6．集合的分类：按它的元素个数多少来分：（1） ________叫做有限集；（2）_________________叫做无限集；（3） __叫做空集，记为_______【典例精析】一、运用集合中元素的特性来解决问题【例1】下列研究的对象能否构成集合（1）世界上最高的山峰 （2）高一数学课本中的难题（3）中国国旗的颜色 （4）充分小的负数的全体（5）book中的字母 （6）立方等于本身的实数（7）不等式2x-8<13的正整数解【例2】集合M中的元素为1，x，x2-x，求x的范围？【例3】三个元素的集合1，a，，也可表示为0，a2，a+b，求a2005+ b2006的值． 二、运用元素与集合的关系来解决一些问题【例4】集合A中的元素由x=a+b(a∈Z,b∈Z)组成，判断下列元素与集合A的关系？（1）0 （2） （3）【例5】不包含-1，0，1的实数集A满足条件a∈A，则∈A，如果2∈A,求A中的元素？【选修延伸】【例6】设S是满足下列两个条件的实数所构成的集合： ①1S，②若，则，请解答下列问题：（1）若2∈S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；（2）求证：若，则（3）在集合S中元素能否只有一个？请说明理由；【追踪训练】1．下列研究的对象能否构成集合① 某校个子较高的同学； ② 倒数等于本身的实数 ③ 所有的无理数④ 讲台上的一盒白粉笔 ⑤中国的直辖市 ⑥中国的大城市 2．下列写法正确的是___________________①Q ②当n∈N时，由所有(-1)n的数值组成的集合为无限集 ③R ④-1∈Z ⑤由book中的字母组成的集合与元素k，o，b组成的集合是同一个集合3．用∈或填空 1_______N -3_________N 0__________N ________N 1_______Z -3_________Q 0__________Z ________R 0_______N* ________R _______Q cos300_______Z4．由实数-x，|x|，，x，组成的集合最多含有元素的个数是_____个5. 已知集合A由＋2，（a＋1）2，＋3＋3三根元素组成，若1A，求实数的值。第二课时 集合的表示【学习导航】 知识网络学习要求1．集合的表示的常用方法：列举法、描述法； 2．初步理解集合相等的概念，并会初步运用，3．培养学生的逻辑思维能力和运算能力.【课堂互动】自学评价1. 集合的常用表示方法：（1）列举法将集合的元素一一列举出来，并____________ _____表示集合的方法叫列举法.注意：①元素与元素之间必须用“，”隔开； ②集合的元素必须是明确的； ③各元素的出现无顺序； ④集合里的元素不能重复； ⑤集合里的元素可以表示任何事物（2）描述法将集合的所有元素都具有的性质（ ）表示出来，写成_ ____的形式,称之为描述法.注意：①写清楚该集合中元素满足性质； ②不能出现未被说明的字母；③多层描述时，应当准确使用“或”，“且”； ④所有描述的内容都要写在集合的括号内；⑤用于描述的语句力求简明，准确.思考:还有其它表示集合的方法吗？ 文字描述法：是一种特殊的描述法，如：{正整数}，{三角形} 图示法（Venn图）：用平面上封闭曲线的内部代集合.2. 集合相等如果两个集合A，B所含的元素完全相同，________ __ 则称这两个集合相等，记为： 【典例精析】一、用集合的两种常用方法具体地表示集合【例1】用列举法表示下列集合：（1）中国国旗的颜色的集合； （2）单词mathematics中的字母的集合；（3）自然数中不大于10的质数的集合； （4）同时满足的整数解的集合；（5）由所确定的实数集合.（6）{(x,y)|3x+2y=16，x∈N，y∈N }【例2】用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整数的集合；（2）使有意义的x的集合；（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；（4）偶数的集合；（5）负奇数的集合；（6）不等式x-2>5的解集；（7）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；（8）图中阴影部分内点的集合； 【例3】已知A={a|}，试用列举法表示集合A．二、有关集合相等方面的问题【例4】已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a2,b2}，且Q=P，求1+a2+b2的值．三、集合与方程的问题【例5】已知集合A＝＋＝若集合A是空集，求实数a的取值范围。若集合是单元素集，求实数a的值，并把这个元素写出来。若集合A有两个元素，求实数a的取值范围。【选修延伸】【例6】 已知集合B={x|}有唯一元素，用列举法表示a的值构成的集合A.【追踪训练】1.用列举法表示下列集合：(1){x|x2+x－6=0}(2){x|x为15的正约数}(3){x|x为不大于10的正偶数}(4){(x,y)|0≤x≤2，0≤y<2，x，y∈Z}2. 用描述法表示下列集合：(1)奇数的集合；(2)正偶数的集合；(3)不等式2x-3>5的解集；(4)直角坐标平面内属于第四象限的点的集合； .3. 下列集合表示法正确的是 (1){1，2，2}； (2){Ф}；(3){全体有理数}； (4)方程组的解的集合为{2，4}；(5)不等式x2-5>0的解集为{x2-5>0}.4．集合A={x|y=x2+1}，B={t|p=t2+1}，C={y|x =}，这三个集合的关系？5．已知A={x|}，试用列举法表示集合A6. 已知A=＋2=0,，若中至多有一个元素，求的取值范围。第三课时 子集、全集、补集【学习导航】知识网络学习要求1．了解集合之间包含关系的意义； 2．理解子集、真子集的概念和掌握它们的符号表示；3．子集、真子集的性质；4．了解全集的意义，理解补集的概念．【课堂互动】自学评价1．子集的概念及记法：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（ ），则称集合 A为集合B的子集（subset）,记为_______或_______读作“__________”或“___________”可用右图表示： 注意：（1）A是B的子集的含义：任意x∈A，能推出x∈B；（2）不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.2．子集的性质：①AA ② ③,则（子集的传递性）3．真子集的概念及记法：如果，并且A≠B，这时集合 A称为集合B的真子集（proper set）,记为_________或________读作“__________________”或“_________________”4．真子集的性质：①是任何非空集合的真子集符号表示为___________________② 真子集具备传递性符号表示为___________________5．全集的概念：如果集合U包含我们所要研究的各个集合，这时U可以看做一个全集（universal set）全集通常记作_____6．补集的概念：设____________，由U中不属于A的所有元素组成的集合称为U的子集A的补集（complementary set）, 记为___________读作“____________”即：=_____________ 可用右图阴影部分来:__________________7．补集的性质：① =___________②=__________③=__________【典例精析】一、元素与集合之间、集合与集合之间的关系【例1】以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来．a与{a} （2）0 与 （3）与{20，，} （4）S={-2，-1，1，2}， A={-1，1}， B={-2，2}； （5）S=R，A={x|x≤0，x∈R}，B={x|x>0 ，x∈R }；（6）S={x|x为地球人 }，A={x|x 为中国人}，B={x|x为外国人 }二、写出一个集合的子集、真子集及其个数公式【例2】①写出集合{a，b}的所有子集及其真子集；②写出集合{a，b，c}的所有子集及其真子集；【例3】已知集合，写出所有的集合A.【例4】已知M={1，2，3，4，5}，非空集合P满足：①PM，②若，则6-∈P，写出所有的集合P？点睛:写子集，真子集要按一定顺序来写．①一个集合里有n个元素，那么它有2n个子集；②一个集合里有n个元素，那么它有2n-1个真子集；③一个集合里有n个元素，那么它有2n-2个非空真子集．三、运用子集的性质【例5】设集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，x∈R}，若BA，求实数a的取值范围．四、补集的求法【例6】①方程组的解集为A，U=R，试求A及．②设全集U=R，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，是的真子集，求实数a的取值范围．【选修延伸】【例7】已知全集S={1，3x3+3x2+2x}，集合A={1，|2x-1|}，如果={0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x，若不存在，请说明理由．【追踪训练】1．判断下列表示是否正确：(1) a{a } {a }∈{a，b }(3) {a，b } {b，a } (4) {-1，1} {-1，0，1}(5) {-1，1}2．指出下列各组中集合A与B之间的关系．(1) A={-1，1}， B=Z； (2) A={1，3，5，15}， B={x|x是15的正约数}；(3) A = N*， B=N(4) A ={x|x=1+a2,a∈N* } B={x|x=a2-4a+5,a∈N*}3．以下各组是什么关系，用适当的符号表来．(1) 与{0} (2) {-1，1}与{1，-1}(3) {(a,b)} 与{(b,a)} (4) 与{0，1，}4．若U=Z，A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则＝ ＝ 5．已知{1，2 }M{1，2，3，4，5}，则这样的集合M有多少个？6.已知M={1，2，3，4，5，6， 7,8，9}，集合P满足：PM，且若，则10- ∈P，则这样的集合P有多少个？ 7．设全集是数集U={2，3，a2+2a-3}，已知A={b，2}，={5}，求实数a，b的值．8．已知集合A={x|x2-1=0 }，B={x|x2-2ax+b=0} ，BA，求a，b满足的条件。9．已知集合A={x|x=a+，a∈Z}，B={x|x=，b∈Z}，C={x|x=，c∈Z}，试判断A、B、C满足的关系第四课时 集合的运算---交集【学习导航】 知识网络学习要求1．理解交集的概念及其交集的性质；2．会求已知两个集合的交集； 3．理解区间的表示法；4．提高学生的逻辑思维能力.【课堂互动】自学评价1．交集的定义：一般地，_______________________________，称为A与B交集 (intersection set)，记作____________读作“___________”.交集的定义用符号语言表示为：_______________________交集的定义用图形语言表示为：_______________________注意：（1）交集（A∩B）实质上是A与B的公共元素所组成的集合. （2）当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B=.2．交集的常用性质： （1） A∩A = A； （2） A∩=； （3） A∩B = B∩A； （4）(A∩B)∩C =A∩(B∩C)； （5） A∩B A， A∩BB3．集合的交集与子集：思考: A∩B=A，可能成立吗？【答】________________4．区间的表示法：设a，b是两个实数，且a0}，B={x|x≤1}，求A∩B；（3）设A={x|x=3k，k∈Z}，B={y|y=3k+1 k∈Z }，C={z|z=3k+2，k∈Z}，D={x|x=6k+1，k∈Z}， 求A∩B； A∩C；C∩B；D∩B；【例2】已知数集 A={a2，a+1，-3}，数集B={a-3,a-2，a2+1}，若A∩B={-3}，求a的值．【例3】（1）设集合A={y|y=x2-2x+3，x∈R}，B={y|y=-x2+2x+10，x∈R}，求A∩B （2）设集合A={(x,y)|y=x+1，x∈R}， B={(x,y)|y=-x2+2x+，x∈R}，求A∩B；二、运用交集的性质解题【例4】已知集合A={2，5}，B={x|x2+px+q=0，x∈R}（1）若B={5}，求p，q的值．（2）若A∩B= B ，求实数p，q满足的条件．三、借助Venn图解决集合的运算问题【例5】已知全集U={不大于20的质数}，M,N是U的两个子集，且满足M∩()={3，5}， {7，19}，{2，17}，求M，N的值．【选修延伸】【例6】已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0}，B={x|x<0}，若A∩B ≠，求实数m的取值范围．【追踪训练】1. 设集合A={小于7的正偶数}，B={-2，0，2，4}，求A∩B；2. 设集合A={x|x≥0}，B={x|x≤0,x∈R}，求A∩B；3. 设集合A={(x,y)|y=-4x+1，x∈R}，B={(x,y)|x=y2-1}求A∩B； 4. 设集合A={x||x=2k+1，k∈Z}，B={y|y=2k-1，k∈Z}，C={x|x=2k ，k∈Z}，求A∩B，B∩C． 5.已知集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx+1=0=0}，若A∩B =B，求实数m所构成的集合M．6.已知集合M={x|x≤-1}，N={x|x>a-2}，若M∩N≠，则a满足的条件是什么？第五课时 集合的运算---并集【学习导航】 知识网络 学习要求1．理解并集的概念及其并集的性质； 2．会求已知两个集合的并集； 3．初步会求集合的运算的综合问题； 4．提高学生的分析解决问题的能力.【课堂互动】自学评价1.并集的定义：一般地，____________ ___，称为集合A与集合B的并集(unionset) 记作__________读作“___________”.交集的定义用符号语言表示为: __________________________________交集的定义用图形语言表示为：_________________________________注意：并集（A∪B）实质上是A与B的所有元素所组成的集合，但是公共元素在同一个集合中要注意元素的互异性.2．并集的常用性质：（1） A∪A = A； （2） A∪= A； （3）A∪B = B∪A； （4）(A∪B)∪C =A∪(B∪C)； （5） AA∪B， BA∪B3．集合的并集与子集：思考: A∪B=A，可能成立吗？A∪是什么集合？【答】_____________结论：A∪B=BAB【典例精析】一、求集合的交、并、补集【例1】根据下面给出的A 、B，求A∪B ①A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}；②A={y|y=x2-2x}，B={x||x|≤3}；③A={梯形}，B={平行四边形}．【例2】已知全集U=R，A={x|-4≤x<2}，B=(-1，3)，P={x|x≤0，或x≥}，求：①(A∪B)∩P ②∪P ③ (A∩B)∪ ．【例3】已知集合A={y|y=x-1，x∈R},B={(x,y)|y=x2-1，x∈R},C={x|y=x+1，y≥3}，求:（A∪C）∩B.二、运用并集的性质解题【例4】已知集合A={x|x2-1=0 }，B={x|x2-2ax+b=0}，A∪B=A，求a，b的值或a,b所满足的条件．【选修延伸】【例5】若A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2+2x-8=0}，（1）若A∪B=A∩B，求a的值；（2） A∩B，A∩C=，求a的值．【追踪训练】1.设A=(-1，3]，B=[2，4），求A∪B；2.已知A={y|y=x2-1}，B={y|x2=-y+2}，求A∪B；3.写出阴影部分所表示的集合： 4.集合U={1，2，3，4，5，6}，B={1，4} A={2，3，5} .求：()∩ 5.若集合P={1，2，4，m}，Q={2，m2}，满足P∪Q={1，2，4，m}，求实数m的值组成的集合．6.已知集合A={x|x2-4x+3=0}，B={x|x2-ax-1=0}，C={x|x2-mx+1=0}，且A∪B=A，A∩C=C，求a，m的值或取范围.第六课时 交集、并集综合应用【学习导航】学习要求：1.熟练掌握交集、并集的概念及其性质。2.注意用数轴、文氏图来解决交集、并集问题。3.分类讨论思想在解题中的应用。【精典范例】一、交集并集性质的应用【例1】已知集合A={(x,y)|x2－y2－y=4}，B={(x,y)|x2－xy－2y2=0}，C={(x,y)|x－2y=0}，D{(x,y)|x+y=0}。(1)判断B、C、D间的关系；(2)求A∩B。二、交集、并集在实际生活中的应用【例2】某学校高一(5)班有学生50人，参加航模小组的有25人，参加电脑小组的有32人，求既参加航模小组，又参加电脑小组的人数的最大值和最小值。三、数形结合思想与交集并集的应用【例3】已知集合A={x|－20}，B={x|a≤x≤b}，满足A∩B={x|0－2}，求a、b的值。四、分类讨论思想与交集并集的综合应用【例4】已知集合A={x|x2－4x+3=0}，B={x|x2－ax+a－1=0}，C={x|x2－mx+1=0}，且A∪B=A，A∩C=C，求a,m的值或取值范围。【追踪训练】集合A={x|x<－3，或x>3}，B={x|x<1，或x>4}，则A∩B=__________.集合A={a2，a+1，－3}，B={a－3，2a－1，a2+1}，若A∩B={－3},则a的值为___________.3．集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是___________.4．已知A={x|x2－px+15=0}，B={x|x2－ax－b=0}，且A∪B={2,3,5}，A∩B={3}，求p,a,b的值。5．设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2－1=0,a∈R}.(1)若A∩B=B，求实数a的值。(2)若A∪B=B，求实数a的值。第七课时 小结与复习课【学习导航】 知识网络 学习要求1．掌握集合的有关基本义概念，运用集合的概念解决问题；2．掌握集合的包含关系（子集、真子集）；3．掌握集合的运算(交、并、补)；4．再解决有关集合问题时，要注意各种思想方法（数形集结合、补集思想、分类讨论）的运用.【课堂互动】自学评价1．对于集合的问题：要确定属于哪一类集合（数集，点集，或某类图形集），然后再确定处理此类问题的方法.2．关于集合中的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，然后再进行运算.3．含参数的集合问题，多根据集合的的互异性处理，有时需要用到分类讨论、数形集结合的思想.4.集合问题多与函数、方程有关，要注意各类知识的融会贯通.【典例精析】【例1】设U={1，2，3，4，5}，且A∩B={2}，()∩B ={4}， ()∩={1，5}，则下列结论正确的是 ①3∈A，3∈B ②2∈，3∈B 3∈，3∈A ④3∈，3∈【例2】全集U=R，集合A={x|x2-x-6<0}，B={x|x2+2x-8>0}，C={x|x2-4ax+3a2<0}， (1)试求a的取值范围，使A∩BC； (2)试求a的取值范围，使【例3】 已知集合A={x|x2+4ax-4a+3=0}， B={x|x2+(a-1)x+a2=0}，C={x|x2+2ax-2a=0}， 其中至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围.【追踪训练】1.设U={x|0教 学反 思
集合
定义、性质、运用
交集、并集
集合的定义及其表示
子集、全集、补集
集合中元素的特性
集合的分类
集合的表示法
定义、性质、运用
集合
集合定义
确定性
元素的特性
集合的分类
无序性
互异性
有限集
无限集
空集
集合的表示
描述法
列举法
集
合
的
关
系
包含
全集
相等
子集
真子集
补集
交集
定义
集合的运算
运用
性质
并集
定义
集合的运算
运用
性质
集合
集合与集合的关系
集合的概念
集合的表示法
列举法
描述法
包含关系
元素的性质
分类
集合运算
确定性
无序性
互异性
有限集
无限集
空集
子集
相 等
真子集
并集
交集
补集