【苏教版】高中数学必修一 第二章 函数的简单性质

数学 科目 教学设计
教学过程 第六课时 函数的单调性（1）【学习导航】 知识网络 学习要求1．理解函数单调性概念；2．掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性；3．提高观察、抽象的能力．；自学评价1．单调增函数的定义：一般地，设函数的定义域为，区间．如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有 ，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间．注意：⑴“任意”、“都有”等关键词；⑵单调性、单调区间是有区别的；2．单调减函数的定义：一般地，设函数的定义域为，区间．如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有 ，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间．3.函数的单调性：如果函数在区间上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，单调增区间和单调间区间统称为单调区间。注意：若函数在其定义域内的两个区间M,N上都是增（减）函数，不一定有在上是增（减）函数。4．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是上升图像；而函数在其单调减区间上的图像是下降的图像。简单地说成“上增下减”。5．函数单调性证明的步骤：（1）取值：根据题意在区间上任取，且；（2）作差（商）变形比较大小（3）下结论“函数在某个区间上是单调增（或减）函数”.【典例精析】【例1】画出下列函数图象，并写出单调区间． （1）； （2）； （3）．【例2】求证：函数f(x)=－x3+1在区间(－∞,+ ∞)上是单调减函数【例3】求函数的单调区间。【例4】求函数的单调区间。【例5】求函数的单调区间。【选修延伸】【例6】函数在其定义域上是减函数吗？【追踪训练】1. 有关函数描述正确的是： ①在内单调递增 ②在内单调递减③在内单调递增 ④在内单调递减2. 函数的单调增区间为 ．.3．函数y＝3x－2x2＋1的单调递增区间是 4. 函数f(x＋1)＝x2－2x＋1的定义域是，则f(x)的单调递减区间是 ．5. 函数y=的单调减区间为 .6. 求证：在区间上是减函数． 7．讨论函数在上的单调性. 第七课时 函数的单调性（2）【学习导航】 学习要求1．熟练掌握证明函数单调性的方法；2．会证明一些较复杂的函数在某个区间上的单调性；3．能利用函数的单调性解决一些简单的问题．【典例精析】【例1】判断函数的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．【例2】求证：函数在上是单调减函数．【例3】 (1)若函数在上是增函数，在上是减函数，则实数的值为 ；若函数在上是增函数，则实数的取值范围为 ；若函数的单调递增区间为，则实数的值为 ．【选修延伸】【例4】已知函数的定义域为，且对任意的正数，都有，求满足的的取值范围．若定义域改为的的范围又怎样了呢？【追踪训练】1. 函数是定义域上单调递减函数，且过点和，则的自变量的取值范围是 2. 已知函数f(x)是区间(0,＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1) （填、、）3. 函数y=|x+1|的单调递增区间为 ，单调递减区间 4．已知函数和在上都是减函数,在上 ①是增函数 ②是减函数 ③既不是增函数也不是减函数 ④的单调性不能确定5. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ．6. 若在上是增函数，且，则 ．（填、、）7. 函数在上递减，在上递增，则实数的取值范围 .8．用函数单调性的定义证明：函数在上是增函数．第八课时 函数的最值【学习导航】 知识网络 学习要求1．了解函数的最大值与最小值概念；2．理解函数的最大值和最小值的几何意义；3．能求一些常见函数的最值和值域．自学评价1．函数最值的定义： 一般地，设函数的定义域为． 若存在定值，使得对于任意，有恒成立，则称为的最大值，记为；若存在定值，使得对于任意，有恒成立，则称为的最小值，记为；2．单调性与最值：设函数的定义域为，若是减函数，则，；若是增函数，则，．【典例精析】【例1】如图为函数，的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．【例2】求下列函数的最小值：（1）； （2），．【例3】按要求求值（1）求函数在上的最大值 （2）求函数的最值.（3）求函数的最值 （4）求函数的最值。【选修延伸】 含参二次函数最值问题【例4】 求，的最小值．【追踪训练】1.函数的最大值是 。2. y=x2+的最小值为 . 3.函数在区间上的最大值为，则 ．4.函数的最大值为 .5.已知二次函数在上有最大值4，求实数的值． 第9课时 函数的奇偶性（1）【学习导航】 知识网络 学习要求1．了解函数奇偶性的含义；2．掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性；3．初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质自学评价1．偶函数的定义： 如果对于函数的定义域内的任意一个，都有 ，那么称函数是偶函数．注意：（1）“任意”、“都有”等关键词； （2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；2．奇函数的定义： 如果对于函数的定义域内的任意一个，都有 ，那么称函数是奇函数．3．函数图像与单调性：奇函数的图像关于 对称；偶函数的图像关于 轴对称．4．函数奇偶性证明的步骤：（1）考察函数的定义域是否关于“0”对称；（2）计算的解析式，并考察其与的解析式的关系；（3）下结论.【典例精析】一、判断函数的奇偶性：【例1】判断下列函数是否是奇函数或偶函数： 　 (2)， (4)　　(5)二、根据函数奇偶性定义求一些特殊的函数值：【例2】已知函数是定义域为的奇函数，求的值．三、已知函数的奇偶性求参数值：【例3】已知函数是偶函数，求实数的值．【选修延伸】构造函数的奇偶性求函数值 【例3】已知函数若，求的值。思维点拔：等式和的变形形式：我们在探讨或证明函数的奇偶性过程中，处了将进行化简，其方向是或以外，我们还可以看到其等价形式、或当恒成立时，也有、．【追踪训练】给定四个函数；；；；其中是奇函数的个数是 个2. 如果二次函数是偶函数，则 ．3. 判断下列函数的奇偶性：（1） (2) （3）4．下列结论正确的是： ①偶函数的图象一定与轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象若不经过原点，则它与轴的交点的个数一定是偶数；④定义在上的增函数一定是奇函数．5. 若函数为奇函数，且当时，，则当时，正确的有 ① ② ③≤0 ④－6. 设函数f（x）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数中必为奇函数的有__ _．①y=－| f（x）| ②y=xf（x2） ③y=－f（－x） ④y= f（x）－f（－x）7. 设奇函数f（x）的定义域为[－5,5].若当x∈[0,5]时, f（x）的图象如下图,则不等式的解是 . 8．是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，求的表达式． 第11课时 函数的奇偶性（2）【学习导航】 学习要求熟练掌握判断函数奇偶性的方法；2．熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质；3．能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题．【典例精析】一、函数的单调性和奇偶性结合性质推导：【例1】已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)=在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论。二、利用函数奇偶性求函数解析式：【例2】已知是定义域为的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x－2|，求x<0时，f(x)的解析式．【选修延伸】【例3】定义在（－2，2）上的奇函数在整个定义域上是减函数，若f(m－1)+f(2m－1)>0，求实数m的取值范围．【例4】定义在实数集上的函数f(x)，对任意，有且。思维点拔：函数奇偶性与函数单调性关系若函数是偶函数，则该函数在关于＂０＂对称的区间上的单调性是相反的，且一般情况下偶函数在定义域上不是单调函数；若函数是奇函数，则该函数在关于＂０＂对称区间上的点调性是相同的．【追踪训练】设是定义在R上的偶函数,且在[0，+∞)上是减函数,则f(－)与f(a2－a+1)（）的大小关系是 ①f(－)f(a2－a+1) ④与a的取值无关2. 定义在上的奇函数，则常数 ， ；3.是偶函数，其图象与轴共有四个交点，则方程所有实数解的和是 .　　　　　　 4. 定义在(－∞，+∞)上的函数满足f(－x)=f(x)且f(x)在(0，+∞)上，则不等式f(a)b ③|a|<|b| ④0≤ab≥05. 是奇函数，它在区间（其中）上为增函数，则它在区间上 . ①是减函数且有最大值 ②是减函数且有最小值 ③ 是增函数且有最小值 ④是增函数且有最大值6.已知函数ax7+6x5+cx3+dx+8，且f(－5)= －15，则f(5)= ．7. 函数是定义在上的奇函数，且为增函数，若，求实数a的范围。 第12课时 函数的单调性和奇偶性复习【学习导航】学习要求1．熟练掌握函数单调性，并理解复合函数的单调性问题。2．熟练掌握函数奇偶性及其应用。3．学会对函数单调性，奇偶性的综合应用。【典例精析】一、利用函数单调性求函数最值【例1】已知函数y=f(x)对任意x,y∈R均为f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0,f(1)=－.(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；(2)求f(x)在[－3，3]上的最大、小值。 二、复合函数单调性【例2】求函数y=的单调区间，并对其中一种情况证明。三、利用奇偶性，讨论方程根情况【例3】已知y=f(x)是偶函数，且图象与x轴四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是 四、利用奇偶性，单调性解不等式【例4】设f(x)是定义在[－2，2]上的偶函数，当x≥0时，f(x)单调递减，若f(1－m)证明函数单调性
求函数单调区间
函数单调性
单调性定义
单调区间定义
单调性与图像
证明函数单调性
求函数单调区间
函数单调性
单调性定义
单调区间定义
单调性与图像
函数最值
函数最值概念
函数最值与图像
函数最值求法
函数奇偶性
奇偶性定义
奇偶性与函数图像
奇偶性的证明