1.3 集合的基本运算 讲义（Word版含答案）

集合的基本运算讲义
一、并集
例题：考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系：
（1），；
（2），；
并集的定义：
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作：A∪B（读作：“A并B”），即
这样，在问题（1）（2）中，集合A，B的并集是C，即 = C
说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。
讨论：A∪B与集合A、B有什么特殊的关系？
练习
1、
2、
（1）、（2）、
二、交集的定义：
例题：考察下面的问题，集合A，B与集合C之间有什么关系？
一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集，记作A∩B（读“A交B”）即：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
讨论：A∩B与A、B、B∩A的关系？
三、全集、补集
例题：
1、已知，则A、B与R有何关系？
2、U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、B={全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？
集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。
1全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。
补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集合A相对于全集U的补集，记作：，读作：“A在U中的补集”，即
提问：集合A与之间有什么关系？
,
四、元素与集合的关系
,.
五、摩根公式
.
3.包含关系
4.容斥原理
六、例题讲解
1、集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．(1)求A∩B；(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
解　(1)∵B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{x|2≤x<3}．(2)∵C＝{x|x>－}，B∪C＝C B C，∴－<2，∴a>－4.
2、知集合A=｛x|x2+4x=0｝，集合B=｛x|x2+2（a+1）x+a2-1=0｝，其中x∈R，若A∩B=B，求实数a的取值范围.
解：A=｛0，-4｝，∵A∩B=B，∴BA.∴B=，｛0｝，｛-4｝，｛0，-4｝.（1）当B=时，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0无实根，∴Δ=4（a+1）2-4（a2-1）＜0，解得a＜-1.（2）当B=｛0｝或B=｛-4｝时，方程有两个相等实根，∴Δ=4（a+1）2-4（a2-1）=0，得a=-1.代入验证，B=｛0｝满足题意.
（3）当B=｛-4，0｝时，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0的两个根为-4，0，则
解得a=1，此时B=｛x|x2+4x=0｝=｛-4，0｝满足题意.综上可知，a≤-1或a=1.答案：a≤-1或a=1
3、向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体人数的，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的人数多3人，其余的不赞成；另外对A、B都不赞成的学生人数比对A、B都赞成的学生人数的多1人，问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
解：如右图所示，设50名学生为全集U，所以赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33人，设对A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的学生人数为+1，赞成A不赞成B的人数为30-x，赞成B而不赞成A的人数为33-x，所以由题意，得(30-x)+( 33-x)+x+ +1=50．
∴x=21，+1=8.所以对A、B都赞成的人数为21人，对A、B都不赞成的有8人.
4、集合，
满足，求实数的值.
解：，，而，则至少有一个元素在中.
又，∴，，即，得
而矛盾，∴.
5、集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}．(1)若A＝，求实数a的取值范围；(2)若A是单元素集，求a的值及集合A.
解：(1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解．若a＝0，方程有一解x＝，不合题意．
若a≠0，要使方程ax2－3x＋2＝0无解，则Δ＝9－8a<0，则a>.综上可知，若A＝，则a的取值范围应为a>.
(2)当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一根x＝，A＝{}符合题意．当a≠0时，＝9－8a＝0，即a＝时，方程有两个相等的实数根＝，则A＝{}．综上可知，当a＝0时，A＝{}；当a＝时，A＝{}．
6、设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围
解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1,2}．(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0，解得a＝－1或a＝－3.当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；
当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件.综上，a的值为－1或－3.
(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴BA.
①当Δ<0，即a<－3时，B＝满足条件；②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}满足条件；
③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得解得矛盾.
7、集M＝{x|m≤x≤m＋}，N＝{x|n－≤x≤n}，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，求集合M∩N的长度的最小值．
解　在数轴上表示出集合M与N，可知当m＝0且n＝1或n－＝0且m＋＝1时，M∩N的“长度”最小．当m＝0且n＝1时，M∩N＝{x|≤x≤}，长度为－＝；当n＝且m＝时，M∩N＝{x|≤x≤}，长度为－＝.
综上，M∩N的长度的最小值为.
8、k∈A，如果k－1 A且k＋1 A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有几个？
解　依题意可知，“孤立元”必须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．因此，符合题意的集合是：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6个．
9、50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A，B，C三道知识题作答情况如下：答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A，B者5人，答错A，C者3人，答错B，C者4人，A，B，C都答错的有1人，问A，B，C都答对的有多少人？
.
解　由题意，设全班同学为全集U，画出Venn图，A表示答错A的集合，B表示答错B的集合，C表示答错C的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此A∪B∪C中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A，B，C全对的有50－32＝18人．
10、设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
解　∵A∩B＝B，∴B A.∵A＝{－2}≠ ，∴B＝ 或B≠ .当B＝ 时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.
当B≠ 时，此时a≠0，则B＝{－}，∴－∈A，即有－＝－2，得a＝.综上，a＝0或a＝.
12、就有关A、B两事，向50名学生调查赞成与否，赞成A的有30人，其余不赞成；赞成B的有33人，其余不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生的三分之一多1人，问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
解：设对A、B都赞成的有x人，对A、B都不赞成的有人∴，∴x=21
∴对A、B都赞成的学生有21人，对A、B都不赞成的学生有8人.
13、已知A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}．(1)若A∩B≠A，求实数a的取值范围；(2)若A∩B≠ ，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．
解　(1)如图可得，在数轴上实数a在－2的右边，可得a≥－2；(2)由于A∩B≠ ，且A∩B≠A，所以在数轴上，实数a在－2的右边且在4的左边，可得－2≤a＜4.
14、已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝ ，求a的取值范围．
解析　由A∩B＝ ，(1)若A＝ ，有2a>a＋3，∴a>3.(2)若A≠ ，如图：
∴-1≤2a ，a＋3≤5解得≤a≤2.综上所述，a的取值范围是{a|≤a≤2或a>3}．
15、已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解　∵A∪B＝A，∴B A.若B＝ 时，2a＞a＋3，即a＞3；若B≠ 时，解得：－1≤a≤2，
16、已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．
(1)A∩B＝ ；(2)A (A∩B)．
解　(1)若A＝ ，则A∩B＝ 成立．此时2a＋1＞3a－5，即a＜6.若A≠ ，如图所示，则解得6≤a≤7.
综上，满足条件A∩B＝ 的实数a的取值范围是{a|a≤7}．(2)因为A (A∩B)，且(A∩B) A，所以A∩B＝A，即A B.显然A＝ 满足条件，此时a＜6.若A≠ ，如图所示，则或由解得a∈ ；由解得a＞.综上，满足条件A (A∩B)的实数a的取值范围是{a|a＜6，或a＞}．
16、已知A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}．(1)当m＝1时，求A∪B；(2)若B RA，求实数m的取值范围．
解　(1)m＝1，B＝{x|1≤x＜4}，A∪B＝{x|－1＜x＜4}．(2) RA＝{x|x≤－1，或x＞3}．
当B＝ 时，即m≥1＋3m得m≤－，满足B RA，当B≠ 时，使B RA成立，则或解之得m＞3.综上可知，实数m的取值范围是.
17、已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}．(1)若A B，求a的取值范围；(2)若全集U＝R，且A ( UB)，求a的取值范围．
解　∵A＝{x|－4≤x≤－2}，B＝{x|x≥a}，(1)由A B，结合数轴(如图所示)
可知a的范围为a≤－4.(2)∵U＝R，∴ UB＝{x|x＜a}，要使A UB，须a＞－2.
18、学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？
解　如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a，b，x.
根据题意有解得x＝5，即两项都参加的有5人．
19、已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪( UA)＝R，B∩( UA)＝{x|0解　∵A＝{x|1≤x≤2}，∴ UA＝{x|x<1或x>2}．又B∪( UA)＝R，A∪( UA)＝R，可得A B.
而B∩( UA)＝{x|020、设全集为R，集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2解：如图所示．
∴A∪B＝{x|2 R(A∩B)＝{x|x≥6或x<3}．又∵ RA＝{x|x<3或x≥7}，
∴( RA)∩B＝{x|2∴A∪( RB)＝{x|x≤2或x≥3}．
经典例题
（一）、选择题
21、M，P是两个非空集合，定义M与P的差集M－P＝{x|x∈M且x P}，则M－(M－P)等于(　　)
A．P B．M C．M∩P D．M∪P
解：由题意，作出Venn图，如图所示：可得M－(M－P)= M∩P，故选C.
22、已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则( UA)∪( UB)等于(　　)
A．{1,6} B．{4,5} C．{2,3,4,5,7} D．{1,2,3,6,7}
解：由补集的定义可得： UA={1,3,6}, UB={1,2,6,7},所以( UA)∪( UB)={1,2,3,6,7}.
23、已知全集U=R,集合M={x|-1≤x≤3},则 UM=(　　)
A．{x|-13} D．{x|x≤-1或x≥3}
解：由题意，全集，集合，所以或，故选C.
24、已知全集U=R,M={x|x≤1},P={x|x≥2},则 U(M∪P)等于(　　)
A. {x|1解：因为M∪P={x|x≤1或x≥2},所以 U(M∪P)={x|125、已知集合A={1,3,m2},B={1,m},A∪B=A,则m等于(　　)
A.3 B.0或3 C.1或0 D.1或3
解：因为B∪A=A,所以B A,因为集合A={1,3,m2},B={1,m},所以m=3,或m2=m,所以m=3或m=0.故选B.
26、已知集合M={x|-34},则M∪N=(　　)
A.{x|x<-5,或x>-3} B.{x|-55}
解：在数轴上分别表示集合M和N,如图所示,
则M∪N={x|x<-5,或x>-3}.
27、已知全集U=N*,集合A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=4n,n∈N*},则(　　)
A.U=A∪B B.U=( UA)∪B C.U=A∪( UB) D.U=( UA)∪( UB)
解：由题意易得BA,画出如图所示的示意图,显然U=A∪( U B),故选C.
（二）、填空题
28、已知M＝{x|x≤－1}，N＝{x|x>a－2}，若M∩N≠ ，则a的范围是________.
解：集合M＝{x|x≤－1}，N＝{x|x>a－2}，M∩N≠ ，则a<1,故填a<1.
29、已知全集U＝{1，2，a2－2 a＋3}，A＝{1，a}， UA＝{3}，则实数a等于________．
解：因为 UA＝{3}，所以a2－2a＋3＝3，解得a＝0或a＝2.
30、设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则 R(M∩N)＝________.
解：由题意，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则MN＝{x|－2≤x<1},
所以 R(M∩N)＝{x|x<－2或x≥1}.
31、设全集I={1,3,5,7,9},集合A={1,|a-5|,9}, IA={5,7},则a的值为_____.
解：由题意，
可得，所以或.
32、已知集合A={x|x<1,或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5解：如图所示,可知a=1,b=6,2a-b=-4.
33、集合A={x|x≤-1或x>6},B={x|-2≤x≤a},若A∪B=R,则实数a的取值范围为_________.
解：由图示可知a≥6.
所以a的取值范围为{a|a≥6}
34、已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|x解：根据题意,集合A={x|1≤x≤2},若A∩B=A,则有A B,必有a>2,若A∩B=,必有a≤1.
（三）、解答题
35、已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤5},B={x|a+1≤x≤2a-1}且A U B,求实数a的取值范围.
解：若B=,则a+1>2a-1,则a<2,此时 U B=R,所以A U B;
若B≠,则a+1≤2a-1,即a≥2,此时 U B={x|x2a-1},
由于A U B,如图,则a+1>5,所以a>4,所以实数a的取值范围为{a|a<2,或a>4}.
36、已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}．(1)当a＝10时，求A∩B，A∪B；
(2)求能使A (A∩B)成立的a的取值范围．
解：(1)当a＝10时，A＝{x|21≤x≤25}．又B＝{x|3≤x≤22}，所以A∩B＝{x|21≤x≤22}，A∪B＝{x|3≤x≤25}．
(2)由A (A∩B)，可知A B，又因为A为非空集合，所以解得6≤a≤9.
37、已知集合A＝{x|－3＜x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．
解：∵A∪B＝A，∴B A，①当B＝ 时，k＋1＞2k－1，∴k＜2.②当B≠ ，则根据题意如图所示：
根据数轴可得解得2≤k≤.综合①②可得k的取值范围为.
38、设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范围．
解：由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.
39、已知集合A＝{x|－3＜x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．
解∵A∪B＝A，∴B A，①当B＝ 时，k＋1＞2k－1，∴k＜2.
②当B≠ ，则根据题意如图所示：
根据数轴可得解得2≤k≤.综合①②可得k的取值范围为.
40、已知集合A={x|0≤x≤4},集合B={x|m+1≤x≤1-m},且A∪B=A,求实数m的取值范围.
解：∵A∪B=A,∴B A.∵A={x|0≤x≤4}≠ ,∴B= 或B≠ .
当B= 时,有m+1>1-m,解得m>0.当B≠ 时,用数轴表示集合A和B,如图所示,
∵B A,∴解得-1≤m≤0.
检验知m=-1,m=0符合题意.综上所得,实数m的取值范围是m>0或-1≤m≤0,即m≥-1.
41、设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范围．
解：如图所示，
由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.
42、已知M＝{1,2，}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．
解：∵M∩N＝{3}，∴3∈M；∴，即，，解得＝－1或4.
当＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；当＝4时，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合题意．∴＝4.