第二章一元二次函数、方程和不等式 讲义（Word版无答案）

一元二次函数、方程和不等式A
知识点一：等式性质与不等式性质
1．等式的基本性质
性质1　如果，那么...........................；
性质2　如果，，那么............................；
性质3　如果，那么..............................；
性质4　如果，那么....................................；
性质5　如果，...............................，那么.
2．不等式的性质
性质1 如果，那么.........................；如果，那么.即 ........................（对称性）
性质2 如果，，那么.................................即， .....................................（传递性）
性质3 如果，那么..........................（加法法则）
性质4 如果，，那么..............................；如果，，那么.............................（乘法法则）
性质5 如果，，那么................................（加法法则）
性质6 如果，那么................................（乘法法则）
性质7 如果，那么............................................（）．（乘方法则）
例1.2.1 对于实数中，给出下列命题中正确的有：_______________________________
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则；
⑤若，则； ⑥若，则；
⑦若，则； ⑧若，则；
⑨若，则； ⑩若，则.
变式练习：1.设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3.（多选题）已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若则 D．若则
4.（多选题）设，，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
例1.2.2 已知，.试求:
的取值范围；
的取值范围；
的取值范围
变式练习： 1. 已知，求的取值范围．
2.已知，，求的取值范围.
知识点二：基本不等式
1.重要不等式：，有，当且仅当..............................时，等号成立；
2.基本不等式：..............................，有，当且仅当..............................时，等号成立；
其中...........................叫做正数的算术平均数；...................叫做正数的几何平均数
3.基本不等式求最值的条件：
(1)必须是..........................................；（一正）
(2)求积的最大值时，应看和是否为........................,若(和为定值)，则当.......................时，积有最.....................值，且这个值为..............................；求和的最小值时，应看积是否为....................... ，若(积为定值),则当..............................时，和有最...........................................值，且这个值为..................................（二定）
(3)等号成立的条件是否满足.（三相等）
4.常用不等式
（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用)；
（2）若，（当且仅当时，取等号）；
（3）若，则（糖水的浓度问题）；
（4）若，则（当且仅当时等号成立）；拓展：对于个正数，满足（当且仅当时，等号成立）
题型一：对基本不等式的理解
例2.1.1 给出下面三个推导过程：
①因为，所以； ②因为，所以；
③因为，所以
其中正确的推导过程为__________________________________
变式练习：1.下列命题中正确的是(　　)
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
已知都是正数，且，求证：
；
.
题型二：利用基本不等式求最值
1.“一正、二定、三相等”的应用
例2.2.1 已知函数，求值域的取值范围
变式练习：1. 在下列函数中,最小值是2的是（ ）
2. 已知，若不等式恒成立，则的最大值等于(　　)
已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ）
若都是正数，则的最小值为( ).
2. 配凑项与系数
例2.2.2 (1) 已知，求的最大值；
已知，求的最小值；
已知，求函数的最小值.
变式练习：1. 求的最大值.
2. 已知，求的最大值.
若，求函数的最大值
4. 已知，求的最小值.
3.已知求的最小值问题（乘“1”法）
例2.2.3 （1）已知且，求的最小值；
（2）已知正数满足，求的最小值；
（3）若正数满足，求的最小值
（4）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
（5）知正实数、满足，则的最小值为（ ）
变式练习：1. 已知，，，则的最小值为（ ）
2. 已知，，，则的最小值为（　　）
3. 已知非负数满足，则的最小值是（ ）
已知，且，则的最小值为（ ）
5.（2022宣城市二模11） 已知正实数满足，则的最小值是（ ）
6. 已知正数满足，则的最小值是（ ）
7. 已知正实数满足，则的最小值是（ ）
8. （2022合肥一六八中学最后一卷7）已知正数满足，则的最小值为（ ）
9. 已知均为正实数，且，则的最小值为__________
10. 已知正实数满足，则的最小值为______________
11. 已知，，，则取到最小值为 ．
12. 若，且，则的最小值为_________
13. 若正实数满足，则的最小值是_____．
4.型如，求或取值范围问题（整体思想的运用）
例2.2.4 若：
(1)求的取值范围；
(2)求的取值范围.
变式练习：1. 若实数满足，则的最小值为( )
B. 2 C. 2 D. 4
2. 已知，，且，则的最小值为（ ）
已知，，，则（ ）
的最大值为2 的最小值为4
的最小值为3 的最小值为
4. 设为正实数，若,求的取值范围为______________.
5. 已知都是正数，且满足，则的最大值为_________．
6. 已知，且，则的最小值为___________．
7. 非负实数满足，则的最小值为___________.
8. 已知，且，则的最小值等于_______．
9. 已知，且，则的最小值是____________．
10. 已知，且，则的最小值等于_______．
5.消元法
例2.2.5 已知正数，满足，则的最大值为______．
变式练习：1.已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.若正数，满足，则的最小值是______，此时______.
3.若正实数满足，则的最小值为___________.
6.同时平方法
例2.2.6 已知为实数，，求函数的最值
变式练习：1. 求函数的最值
设都是正数，且使，求实数的最大值.
题型三：利用基本不等式解决实际问题
例2.3 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围 36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
变式练习：1. 某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其容积为，深为，如果池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
2. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为万元和万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少处，才能使两项费用之和最小？
设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设 ，求的最大面积及相应的值.
知识点三：二次函数与一元二次方程、不等式
二次函数 的图像
一元二次方程 的根
一元二次不等式 的解集
一元二次不等式 的解集
题型一：解一元二次不等式
例3.1 当时，不等式的解集为（ ）
变式练习：1. 若，则不等式的解集为（ ）
2. 关于的不等式的解集为___________.
3. 不等式的解集为___________________.
题型二：已知一元二次不等式的解集求参变量的取值范围
例3.2 （1）已知关于的不等式的解集是，求的值
（2）不等式的解集为，求实数的取值范围
（3）已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集
（4）如果方程的两个实根一个小于1，另一个大于1，求实数的取值范围
变式练习:1.已知不等式的解集为或，则实数__________.
2．已知关于的不等式的解集为，则等于（ ）
1 3
3．设，则关于的不等式的解集是_____________
4. 已知不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（　　）
或 或
5. 已知的解是，求关于的不等式的解集.
6. 设不等式的解集为，如果，求实数的取值范围.
题型三：解含参变量的一元二次不等式
例3.2.1 （1）解关于的不等式；
（2）解关于的不等式；
（3）解关于的不等式；
（4）解关于正数的不等式；
变式练习：1. 解关于的不等式；
2. 解关于的不等式；
3. 解关于的不等式；
4. 解关于的不等式；
题型四：二次方程根的分布
例3.4 求实数的取值范围，使关于的方程：
（1）有两个实根，且一个比大，一个比小；
（2）有两个实根，且满足；
（3）至少有一个正根.
变式练习：1. 若方程在区间内恰有一解，则实数的取值范围为（ ）
2. 关于的方程在区间上有唯一实根，则实数的取值范围为（ ）
3. 若关于的方程在内有解，则实数的取值范围为（ ）
一元二次方程的两个根都是正数，则实数的取值范围为（ ）
或
已知二次方程有一正根和一负根，则实数的取值范围为（ ）
或
若关于的方程有两个不相等的负实数根，则实数的取值范围为（ ）
已知方程有两根，且，则实数的取值范围为（ ）
关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围为（ ）
题型五：恒成立、能成立问题
例3.5（1）已知关于的不等式对任意恒成立，求的取值范围
对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围
（3）若存在实数，使不等式成立，求的取值范围
（4）已知不等式．
①若对于所有实数，不等式恒成立，求的取值范围；
②若对于，不等式恒成立，求的取值范围．
变式练习：1.当时，不等式恒成立．则的取值范围是________．
2.若对任何实数恒成立，求实数的取值范围．
3．设，若关于的不等式在上有解，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知不等式对任意的恒成立的的取值集合为，不等式对任意的恒成立的取值集合为，则有（ ）
A． B． C． D．
题型六 ：综合问题
例3.6.1 （1) 已知函数在上为增函数，求的取值范围；
（2）已知函数在上的值域为，求的取值范围；
（3）已知函数在上的最小值为3，求的值；
（4）已知函数在区间上的值域为，求；
（5）已知为实数，不等式有解，且它的解集是不等式的解集的子集，求的取值范围。
例3.6.2 ，若，，
（1）证明：方程有实根； （2）证明：；
（3）设方程的两个实根，求的范围。
拓展知识点四：高次不等式、分式不等式的解法
1.标根法：其步骤是：
（1）分解成若干个一次因式的..............................，并使每一个因式中最高次项的系数为........................................；
（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从......................根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；
2.分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为...............，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用.......................求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
例4.1 若且，则不等式的解集为 .
例4.2 不等式的解集是___________.
变式练习：1. 解关于的不等式；
2. 解关于的不等式；
3. 解关于的不等式；
解关于的不等式；