1.2集合间的基本关系 讲义（Word版含答案）

1.2集合间的基本关系 一、本节知识点讲解 【知识点1】集合间的基本关系 集合与集合之间的 “相等”关系： 如果集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A与集合B中的元素是一样的，因此。集合A与集合B相等。记作A=B。 真子集： 若集合，但存在元素，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）。 记作：A B（或B A）读作：A真包含于B（或B真包含A）。 空集： 不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作： 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 注意： (1)任何一个集合是它本身的子集，即AA。 (2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC。 (3)“AB”的含义：若xA就能推出xB。 (4)集合A是集合B的子集不能理解为集合A是由集合B中的“部分元素”组成的，因为集合A可能是空集，也可能是集合B。 (5)注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N； “”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N。 (6){0}是含有一个元素的集合。 (7)是不含任何元素的集合，因此{0}，注意不能写成＝{0}，{0}。 (8)已知集合A有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有个非空真子集。 【题型1】集合的相等 【例1】下列集合中与{2，3}是同一集合的是（　　） A．{{2}，{3}} B．{（2，3）} C．{（3，2）} D．{3，2} 【变式1】下列各组集合中，表示同一集合的是（　　） A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{3，2}，N＝{2，3} C．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1} D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）} 【变式2】已知集合，下列结论正确的是（　　） A．A＝B B．A＝C C．B＝C D．A＝B＝C 【变式3】集合A＝{0，3}，集合B＝{x|x（x﹣a）＝0}，若A＝B，则a的值为（　　） A．0 B．3 C．﹣3 D．0或3 【例2】已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，2a+3}，若A＝B，则a等于（　　） A．﹣1或3 B．0或﹣1 C．3 D．﹣1 【变式1】已知a、b为实数，若集合与{a，0}表示同一集合，则a+b等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 【变式2】设a，b∈R，集合A＝{1，a+b，a}，B＝{0，，b}，若A＝B，则b﹣a（　　） A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2 【变式3】若{a2，0，﹣1}＝{a，b，0}，则a2017+b2017的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 【小结】 【题型2】集合间的基本关系 【例1】已知A＝{0，1，2}，B＝{1，2}，则集合A与集合B的关系是（　　） A．A＝B B．A B C．B A D．B A 【变式1】已知集合P＝{﹣1，0，1，2}，Q＝{﹣1，0，1}，则（　　） A．P∈Q B．P Q C．Q P D．Q∈P 【变式2】已知集合A＝{x|x＜﹣2或x＞0}，B＝{x|0＜x＜1}，则（　　） A．A＝B B．A B C．B A D．A B 【变式3】集合P＝{x|y＝x2}，集合Q＝{y|y＝x2}，则P与Q的关系为（　　） A．P Q B．Q P C．P＝Q D．以上都不正确 【例2】设集合M＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，N＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，则（　　） A．M＝N B．M N C．N M D．N M 【变式1】设集合M＝{x|x＝2n，n∈Z}，N＝{x|x＝4n±2，n∈Z}，则（　　） A．M N B．M N C．M＝N D．以上都不正确 【变式2】集合A＝{x|x＝2n+1，n∈Z}，B＝{y|y＝4k±1，k∈Z}，则A与B的关系为（　　） A．A B B．A B C．A＝B D．A≠B 【变式3】已知集合，，，则集合A、B、C的大小关系是（　　） A．A C B B．C A B C．A B＝C D．A B C 【例3】满足{1} A {1，2，3}的集合A的个数为（　　） A．2 B．3 C．8 D．4 【变式1】满足{1} A {1，2，3，4}的集合A的个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】满足条件{1，2} A {1，2，3，4，5}的集合A有（　　）种 A．4 B．7 C．8 D．16 【变式3】满足{1，2，3} A {1，2，3，4，5}的集合A的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【小结】 【题型3】集合关系中的参数取值问题 【例1】已知集合A＝{0，x}，B＝{0，2，4}，若A B，则实数x的值为（　　） A．0或2 B．0或4 C．2或4 D．0或2或4 【变式1】已知集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，1，a+1}，且A B，则a＝（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．2 【变式2】已知集合A＝{1+x2，x}，B＝{1，2，3}，且A B，则实数x的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．4 【变式3】设集合A＝{a，b}，B＝{0，a2，﹣b2}，若A B，则a﹣b＝（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．0 【例2】已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}．若B A，则实数a的取值范围为（　　） A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2] 【变式1】已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x≤a}，若M N，则实数a的取值范围是（　　） A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞．﹣1） D．（﹣∞．﹣1] 【变式2】设集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A，B有公共元素，则a的取值范围是（　　） A．﹣1＜a≤2 B．a＞2 C．a≥﹣1 D．a＞﹣1 【变式3】设A＝{x|2≤x≤4}，B＝{x|2a≤x≤a+3}，若B真包含于A，则实数a的取值范围是（　　） A．[1，3] B．（3，+∞）∪{1} C．{1} D．（3，+∞） 【小结】 【题型4】空集 【例1】下列集合中，结果是空集的为（　　） A．{x∈R|x2﹣4＝0} B．{x|x＞9或x＜3} C．{（x，y）|x2+y2＝0} D．{x|x＞9且x＜3} 【变式1】下列集合中，是空集的是（　　） A．{x|x+2＝0} B．{x|x2+1＝0，x∈R} C．{x|x＜1} D．{（x，y）|y2＝﹣x2，x，y∈R} 【变式2】设集合A＝{x|ax2﹣ax﹣1＞0}若A为空集，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣4，0） B．（﹣4，0] C．[﹣4，0） D．[﹣4，0] 【变式3】若关于x的不等式a（1﹣x）＞3x+2的解集为 ，则实数a的取值范围为（　　） A．a≥﹣3 B．a≤﹣3 C．a＝﹣3 D．a＞﹣3 【例2】集合{0}与 的关系是（　　） A．{0} B．{0}∈ C．{0}＝ D．{0} 【变式1】给出下列关系式：①Q； ②{1，2}＝{（1，2）}； ③2∈{1，2}； ④ {0}，其中正确关系式的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】下列四个关系：①{a，b} {b，a}；②{0}＝ ；③ ∈{0}；④0∈{0}，其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】现有五个判断：2 {1，2}， ∈{0}，{1}∈{1，2}，， {0}．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【小结】 【题型5】子集与真子集 【例1】已知A＝{1，9}，B＝{2，0}，则集合A∪B的真子集的个数是（　　） A．16 B．4 C．15 D．8 【变式1】已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，4，5}，C＝A∩B，则C的子集共有（　　） A．2个 B．3个 C．8个 D．4个 【变式2】设集合A＝{x|x2﹣x＝0}，则集合A的真子集的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】集合的真子集的个数为（　　） A．7 B．8 C．31 D．32 【小结】 二、当堂检测 一．选择题（共5小题） 1．已知M＝{x|x2﹣x≤0}，N＝{x|}，则集合M、N之间的关系为（　　） A．M∩N＝ B．M＝N C．N M D．M N 2．已知集合M＝{x|（x﹣1）2≤0}，N＝{x|x＞0}，则（　　） A．N M B．M N C．M∩N＝ D．M∪N＝R 3．集合M＝{x|x＜16}，N＝{x|x2＜16}，则（　　） A．M N B．N M C．M RN D．N RM 4．集合{x|﹣1＜x＜3，x∈N*}的非空子集个数为（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 5．已知集合A＝{x|x∈Z|﹣x2+x+2＞0}，则集合A的子集个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 二．填空题（共2小题） 6．已知复数a，b满足集合{﹣a，b}＝{a2，b+1}，则ab＝　 　 7．已知集合M满足{3，4} M {3，4，5，6}，则满足条件的集合M有　 　个． 三．解答题（共2小题） 8．已知P＝{x|x2﹣8x﹣20≤0}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若S是P的子集，求m的取值范围． 9．设非空集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a，a∈R}，不等式x2﹣2x﹣8＜0的解集为B． （Ⅰ）当a＝0时，求集合A，B； （Ⅱ）当A B时，求实数a的取值范围． 三、家庭作业 一．选择题（共5小题） 1．下列关系式中，正确的是（　　） A．π∈Q B．{（0，1）} {0，1} C． ∈{ } D．{2}∈{1，2} 2．下列各式中，正确的个数是（　　） ①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2} {2，1，0}；③ {0，1，2}； ④ ＝{0}；⑤{0，1}＝{（0，1）}；⑥0＝{0}． A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知集合A＝{x|y，x∈Z}，则集合A的真子集个数为（　　） A．32 B．4 C．5 D．31 4．集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|a﹣1≤x≤2a﹣1}，若B A，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤1 B．a＜1 C．0≤a≤1 D．0＜a＜1 5．集合M＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n+1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m+1，m∈Z}之间的关系是（　　） A．S P M B．S＝P M C．S P＝M D．P＝M S 二．填空题（共4小题） 6．已知集合A＝{x|2＜x≤11}，B＝{x|2x﹣a＞0}．若A B，则实数a的取值范围为　 　． 7．设集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|2k﹣1≤x≤2k+1}，且A B，则实数k的取值范围是　 　． 8．若关于关于x的方程ax2+2x+1＝0的解集有唯一子集，则实数a的取值范围是　 　． 9．设集合{a2，a+b，0}，则a2014+b2015＝　 　． 三．解答题（共2小题） 10．已知集合A＝{a，a﹣1}，B＝{2，y}，C＝{x|1＜x﹣1＜4}． （1）若A＝B，求y的值； （2）若A C，求a的取值范围． 11．已知集合A＝{x|﹣3≤x≤4}，B＝{x|2m﹣1＜x＜m+1}，且B A．求实数m的取值范围． 1.2集合间的基本关系 一、本节知识点讲解 【知识点1】集合间的基本关系 集合与集合之间的 “相等”关系： 如果集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A与集合B中的元素是一样的，因此。集合A与集合B相等。记作A=B。 真子集： 若集合，但存在元素，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）。 记作：A B（或B A）读作：A真包含于B（或B真包含A）。 空集： 不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作： 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 注意： (1)任何一个集合是它本身的子集，即AA。 (2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC。 (3)“AB”的含义：若xA就能推出xB。 (4)集合A是集合B的子集不能理解为集合A是由集合B中的“部分元素”组成的，因为集合A可能是空集，也可能是集合B。 (5)注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N； “”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N。 (6){0}是含有一个元素的集合。 (7)是不含任何元素的集合，因此{0}，注意不能写成＝{0}，{0}。 (8)已知集合A有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有个非空真子集。 【题型1】集合的相等 【例1】下列集合中与{2，3}是同一集合的是（　　） A．{{2}，{3}} B．{（2，3）} C．{（3，2）} D．{3，2} 【解答】解：与{2，3}是同一集合的是{3，2}．故选：D． 【变式1】下列各组集合中，表示同一集合的是（　　） A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{3，2}，N＝{2，3} C．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1} D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）} 故选：B． 【变式2】已知集合，下列结论正确的是（　　） A．A＝B B．A＝C C．B＝C D．A＝B＝C 【解答】解：A＝{x|x≠0}，B＝{y|y≠0}，C表示曲线y上的点形成的集合；故选：A． 【变式3】集合A＝{0，3}，集合B＝{x|x（x﹣a）＝0}，若A＝B，则a的值为（　　） A．0 B．3 C．﹣3 D．0或3 【解答】解：集合B＝{x|x（x﹣a）＝0}＝{0，a}，∵A＝B，∴a＝3，故选：B． 【例2】已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，2a+3}，若A＝B，则a等于（　　） A．﹣1或3 B．0或﹣1 C．3 D．﹣1 【解答】解：∵A＝B∴a2＝2a+3，解得a＝﹣1，或3，a＝﹣1应舍去，∴a＝3．故选：C． 【变式1】已知a、b为实数，若集合与{a，0}表示同一集合，则a+b等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 【解答】解：∵{a，0}，∴，故a＝1，b＝，a+b＝1．故选：C． 【变式2】设a，b∈R，集合A＝{1，a+b，a}，B＝{0，，b}，若A＝B，则b﹣a（　　） A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2 【解答】解：∵a，b∈R，集合A＝{1，a+b，a}，B＝{0，，b}，A＝B， ∴，解得a＝﹣1，b＝1，∴b﹣a＝2．故选：A． 【变式3】若{a2，0，﹣1}＝{a，b，0}，则a2017+b2017的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 【解答】解：根据题意，若{a2，0，﹣1}＝{a，b，0}，则有a＝﹣1或b＝﹣1， 若a＝﹣1，则b＝1，此时两个集合为{1，0，﹣1}和（1，﹣1，0），符合题意； 若b＝﹣1，则a＝1，此时两个集合为{1，0，﹣1}和（1，﹣1，0），符合题意； 综合可得：a2017+b2017＝（﹣1）2017+12017＝0，故选：A． 【小结】 【题型2】集合间的基本关系 【例1】已知A＝{0，1，2}，B＝{1，2}，则集合A与集合B的关系是（　　） A．A＝B B．A B C．B A D．B A 故选：C． 【变式1】已知集合P＝{﹣1，0，1，2}，Q＝{﹣1，0，1}，则（　　） A．P∈Q B．P Q C．Q P D．Q∈P 故选：C． 【变式2】已知集合A＝{x|x＜﹣2或x＞0}，B＝{x|0＜x＜1}，则（　　） A．A＝B B．A B C．B A D．A B 【解答】解：∵集合A＝{x|x＜﹣2或x＞0}，B＝{x|0＜x＜1}，∴B A．故选：C． 【变式3】集合P＝{x|y＝x2}，集合Q＝{y|y＝x2}，则P与Q的关系为（　　） A．P Q B．Q P C．P＝Q D．以上都不正确 【解答】解：P＝{x|y＝x2}＝R，集合Q＝{y|y＝x2}＝[0，+∞），故Q P，故选：B． 【例2】设集合M＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，N＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，则（　　） A．M＝N B．M N C．N M D．N M 【解答】解：当k＝2n时，x＝4n﹣1，当k＝2n+1时，x＝2n+1，n∈Z，故选：A． 【变式1】设集合M＝{x|x＝2n，n∈Z}，N＝{x|x＝4n±2，n∈Z}，则（　　） A．M N B．M N C．M＝N D．以上都不正确 【解答】解：集合M＝{x|x＝2n，n∈Z}，故集合M中的元素是2与整数的乘积的集合， N＝{x|x＝4n±2，n∈Z}＝{x|x＝2（2n±1），n∈Z}，集合N的元素是2与奇数的乘积的集合，选：B． 【变式2】集合A＝{x|x＝2n+1，n∈Z}，B＝{y|y＝4k±1，k∈Z}，则A与B的关系为（　　） A．A B B．A B C．A＝B D．A≠B 【解答】解：若n为偶数，不妨设n＝2k，k∈Z，则x＝2n+1＝4k+1． 若n为奇数，不妨设n＝2k﹣1，k∈Z，则x＝2n+1＝4k﹣2+1＝4k﹣1，故选：C． 【变式3】已知集合，，，则集合A、B、C的大小关系是（　　） A．A C B B．C A B C．A B＝C D．A B C 【解答】解：∵集合C＝{x|，n∈N}，∴当n＝2a（a∈N）时，xa，当n＝b﹣1（b∈N*）时，x，又∵集合A＝{x|x＝k，k∈N}，∴A C， 又∵集合B＝{x|x，m∈N}，∴集合B比集合C多一个元素，即C B，故选：A． 【例3】满足{1} A {1，2，3}的集合A的个数为（　　） A．2 B．3 C．8 D．4 【解答】解：A＝{1}∪B，其中B为{2，3}的子集，且B非空． 显然这样的集合A有3个，即A＝{1，2}或{1，3}或{1，2，3}．故选：B． 【变式1】满足{1} A {1，2，3，4}的集合A的个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 A＝{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，2，3，4}，故选：D． 【变式2】满足条件{1，2} A {1，2，3，4，5}的集合A有（　　）种 A．4 B．7 C．8 D．16 【解答】解：{1，2} A {1，2，3，4，5}的集合A必须含有元素1，2， 因此满足条件的A有23＝8种．故选：C． 【变式3】满足{1，2，3} A {1，2，3，4，5}的集合A的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵{1，2，3} A {1，2，3，4，5}， ∴集合A可以是{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，3，4，5}共3个．故选：C． 【小结】 【题型3】集合关系中的参数取值问题 【例1】已知集合A＝{0，x}，B＝{0，2，4}，若A B，则实数x的值为（　　） A．0或2 B．0或4 C．2或4 D．0或2或4 【解答】解：因为A＝{0，x}，B＝{0，2，4}，A B，所以x＝2，4．故选：C． 【变式1】已知集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，1，a+1}，且A B，则a＝（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．2 【解答】解：则2∈B，所以2＝a+1，即a＝1故选：A． 【变式2】已知集合A＝{1+x2，x}，B＝{1，2，3}，且A B，则实数x的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．4 【解答】解：当1＝1+x2时，x＝0，代入A检验，A＝{1，0}，不符合题意， 1＝x时，代入A检验，A＝{2，1}，符合题意， 2＝1+x2时，x＝±1，代入A检验，x＝1符合题意，x＝﹣1不符合题意， 2＝x时，代入A检验，A＝{5，2}，不符合题意， 3＝1+x2时，x＝±，代入A检验，不符合题意， 3＝x时，代入A检验，不符合题意，综上：实数x的值是：x＝1；故选：B． 【变式3】设集合A＝{a，b}，B＝{0，a2，﹣b2}，若A B，则a﹣b＝（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．0 【解答】解：因为集合A＝{a，b}，B＝{0，a2，﹣b2}，且A B，易知a≠0，且b≠0， ①当时，因为a≠0且b≠0，所以，此时集合A＝{1，﹣1}，集合B＝{0，1，﹣1}，符合题意，所以a﹣b＝2， ②当时，因为a≠0且b≠0，所以，此时集合A＝{1，﹣1}，集合B＝{0，1，﹣1}，符合题意，所以a﹣b＝﹣2，综上所求：a﹣b＝2或﹣2，故选：C． 【例2】已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}．若B A，则实数a的取值范围为（　　） A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2] 【解答】解：∵集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}．若B A，∴a≥2，故选：A． 【变式1】已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x≤a}，若M N，则实数a的取值范围是（　　） A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞．﹣1） D．（﹣∞．﹣1] 【解答】解：已知M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x≤a}，且M N， 所以a≥2．故实数a的取值范围为[2，+∞），故选：B． 【变式2】设集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A，B有公共元素，则a的取值范围是（　　） A．﹣1＜a≤2 B．a＞2 C．a≥﹣1 D．a＞﹣1 【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，故选：D． 【变式3】设A＝{x|2≤x≤4}，B＝{x|2a≤x≤a+3}，若B真包含于A，则实数a的取值范围是（　　） A．[1，3] B．（3，+∞）∪{1} C．{1} D．（3，+∞） 【解答】解：∵A＝{x|2≤x≤4}，B＝{x|2a≤x≤a+3}，且B真包含于A； 当B＝ 时，2a＞a+3，解得a＞3；当B≠ 时，此时a不存在，故选：D． 【小结】 【题型4】空集 【例1】下列集合中，结果是空集的为（　　） A．{x∈R|x2﹣4＝0} B．{x|x＞9或x＜3} C．{（x，y）|x2+y2＝0} D．{x|x＞9且x＜3} 【解答】解：对于A＝{2，﹣2}，不是空集；对于C＝{（0，0）}，不是空集； 对于D，{x|x＞9且x＜3}＝Φ，符合题意．故选：D． 【变式1】下列集合中，是空集的是（　　） A．{x|x+2＝0} B．{x|x2+1＝0，x∈R} C．{x|x＜1} D．{（x，y）|y2＝﹣x2，x，y∈R} 【解答】解：在A中，{x|x+2＝0}＝{﹣2}，不是空集；在B中，{x|x2+1＝0，x∈R}＝ ，是空集； 在C中，{x|x＜1}，不是空集；在D＝{（0，0）}，不是空集．故选：B． 【变式2】设集合A＝{x|ax2﹣ax﹣1＞0}若A为空集，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣4，0） B．（﹣4，0] C．[﹣4，0） D．[﹣4，0] 【解答】解：根据题意，若集合A＝{x|ax2﹣ax﹣1＞0}为空集，则不等式ax2﹣ax﹣1＞0的解集为空集； 若a＝0，此时不等式为﹣1＞0，解集为空集，若a≠0，必有，解可得﹣4≤a＜0， 综合可得：﹣4≤a＜0，即a的取值范围为[﹣4，0]；故选：D． 【变式3】若关于x的不等式a（1﹣x）＞3x+2的解集为 ，则实数a的取值范围为（　　） A．a≥﹣3 B．a≤﹣3 C．a＝﹣3 D．a＞﹣3 【解答】解：可化为（a+3）x＜a﹣2当x的系数a+3＝0，即a＝﹣3时 原不等式可化为0＜﹣5恒不成立，此时关于x的不等式a（1﹣x）＞3x+2的解集为 ，故选：C． 【例2】集合{0}与 的关系是（　　） A．{0} B．{0}∈ C．{0}＝ D．{0} 【解答】解：{0}是非空集合，∴ {0}，即{0} ，故选：A． 【变式1】给出下列关系式：①Q； ②{1，2}＝{（1，2）}； ③2∈{1，2}； ④ {0}，其中正确关系式的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：①为无理数，故不正确；②{1，2}是以1，2为元素的集合， {（1，2）}可以看成是以点（1，2）为元素的集合，故不能相等，所以不正确； ③是元素与集合的关系，正确；④ 是任何集合的子集，故正确．故选：C． 【变式2】下列四个关系：①{a，b} {b，a}；②{0}＝ ；③ ∈{0}；④0∈{0}，其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①{a，b} {b，a}；集合本身是它自己的子集；∴①对； ②{0}＝ ；③ ∈{0}； 是一个集合，没有任何元素，而{0}是一个集合，含有一个元素是0； ④0∈{0}，{0}是一个集合，含有一个元素是0；∴④对；故选：B． 【变式3】现有五个判断：2 {1，2}， ∈{0}，{1}∈{1，2}，， {0}．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：A元素与集合之间不能用包含关系，故2 {1，2}错误； 与{0}是集合与集合的关系，不能使用“∈”符号，故错误； {1}与{1，2}是集合与集合的关系，不能用“∈”符号，故错误； 因为，所以错误； 根据空集是任何非空集合的真子集，故 {0}正确． 故选：A． 【小结】 【题型5】子集与真子集 【例1】已知A＝{1，9}，B＝{2，0}，则集合A∪B的真子集的个数是（　　） A．16 B．4 C．15 D．8 【解答】解：∵集合A＝{1，9}，B＝{2，0}，∴A∪B＝{1，2，9，0}．故选：C． 【变式1】已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，4，5}，C＝A∩B，则C的子集共有（　　） A．2个 B．3个 C．8个 D．4个 【解答】解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{1，4，5}， ∴C＝A∩B＝{1，4}，∴C的子集共有22＝4个．故选：D． 【变式2】设集合A＝{x|x2﹣x＝0}，则集合A的真子集的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵A＝{0，1}，∴A的真子集个数为22﹣1＝3．故选：C． 【变式3】集合的真子集的个数为（　　） A．7 B．8 C．31 D．32 【解答】解：令x＝0，则y＝2；令x＝±1，则y；令x＝±2，则y＝0；故选：A． 【小结】 二、当堂检测 一．选择题（共5小题） 1．已知M＝{x|x2﹣x≤0}，N＝{x|}，则集合M、N之间的关系为（　　） A．M∩N＝ B．M＝N C．N M D．M N 【解答】解：∵M＝{x|0≤x≤1}，N＝{x|0＜x≤1}，∴M∩N＝N，N M．故选：C． 2．已知集合M＝{x|（x﹣1）2≤0}，N＝{x|x＞0}，则（　　） A．N M B．M N C．M∩N＝ D．M∪N＝R 【解答】解：因为集合M＝{x|（x﹣1）2≤0}＝{1}，N＝{x|x＞0}，所以M N．故选：B． 3．集合M＝{x|x＜16}，N＝{x|x2＜16}，则（　　） A．M N B．N M C．M RN D．N RM 【解答】解：N＝{x|x2＜16}＝（﹣4，4），∴N M，故选：B． 4．集合{x|﹣1＜x＜3，x∈N*}的非空子集个数为（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 【解答】解：A中包含2个元素：1，2，故其子集个数为4，非空子集个数为3，故选：A． 5．已知集合A＝{x|x∈Z|﹣x2+x+2＞0}，则集合A的子集个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【解答】解：∵集合A＝{x|x∈Z|﹣x2+x+2＞0}＝{x∈Z|﹣1＜x＜2}＝{0，1}，故选：A． 二．填空题（共2小题） 6．已知复数a，b满足集合{﹣a，b}＝{a2，b+1}，则ab＝　1　 【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{﹣a，b}＝{a2，b+1}， 则①或②，由①得：b不存在，不满足条件． 由②得，若b＝a2，﹣a＝b+1；则两式相结合得或，∴ab＝1； 7．已知集合M满足{3，4} M {3，4，5，6}，则满足条件的集合M有　4　个． 【解答】解：集合M满足{3，4} M {3，4，5，6}，则满足条件的集合M的个数为22＝4． 三．解答题（共2小题） 8．已知P＝{x|x2﹣8x﹣20≤0}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若S是P的子集，求m的取值范围． 【解答】解：P＝{x|x2﹣8x﹣20≤0}＝[﹣2，10]， 非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，所以1﹣m≤1+m，2m≥0，所以m≥0， 若S是P的子集，故，解得m∈[0，3]． 9．设非空集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a，a∈R}，不等式x2﹣2x﹣8＜0的解集为B． （Ⅰ）当a＝0时，求集合A，B； （Ⅱ）当A B时，求实数a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，A＝{x|﹣1＜x＜0}， 解不等式x2﹣2x﹣8＜0得：﹣2＜x＜4，即B＝{x|﹣2＜x＜4}， （Ⅱ）若A B，则有：①A＝ ，即2a≤a﹣1，即a≤﹣1，符合题意， ②A≠ ，有，解得：﹣1＜a≤2，综合①②得：a≤2， 三、家庭作业 一．选择题（共5小题） 1．下列关系式中，正确的是（　　） A．π∈Q B．{（0，1）} {0，1} C． ∈{ } D．{2}∈{1，2} 故选：C． 2．下列各式中，正确的个数是（　　） ①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2} {2，1，0}；③ {0，1，2}； ④ ＝{0}；⑤{0，1}＝{（0，1）}；⑥0＝{0}． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①集合之间的关系是包含与不包含，④ 不含有元素，因此 {0}； ⑤{0，1}与{（0，1）}的元素形式不一样，因此不正确； ⑥元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为0∈{0}，因此不正确．故选：B． 3．已知集合A＝{x|y，x∈Z}，则集合A的真子集个数为（　　） A．32 B．4 C．5 D．31 【解答】解：A＝{x|1≤x≤5，x∈Z}＝{1，2，3，4，5}；故选：D． 4．集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|a﹣1≤x≤2a﹣1}，若B A，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤1 B．a＜1 C．0≤a≤1 D．0＜a＜1 【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|a﹣1≤x≤2a﹣1}，B A， ∴当B＝ 时，a﹣1＞2a﹣1，解得a＜0，当B≠ 时，，解得0≤a≤1．故选：A． 5．集合M＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n+1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m+1，m∈Z}之间的关系是（　　） A．S P M B．S＝P M C．S P＝M D．P＝M S 【解答】解：∵M＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}，N＝{y|y＝3n+1，n∈Z}，S＝{y|y＝6m+1，m∈Z} ∴M＝{…﹣8，﹣5，﹣2，1，4，7，10，13，16…} P＝{…﹣8，﹣5，﹣2，1，4，7，10…} S＝{…1，7，13，19，25，…}故选：C． 二．填空题（共4小题） 6．已知集合A＝{x|2＜x≤11}，B＝{x|2x﹣a＞0}．若A B，则实数a的取值范围为　（﹣∞，4]　． 【解答】解：由已知可得，因为A B，所以，即a≤4， 7．设集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|2k﹣1≤x≤2k+1}，且A B，则实数k的取值范围是　　． 【解答】解：因为A B，∴B≠ ，∴， 8．若关于关于x的方程ax2+2x+1＝0的解集有唯一子集，则实数a的取值范围是　（1，+∞）　． 【解答】解：根据题意，若方程ax2+2x+1＝0的解集有唯一子集， 则方程的解集必为空集，则有△＝22﹣4a＜0，解得a＞1，则a的取值范围为（1，+∞）； 9．设集合{a2，a+b，0}，则a2014+b2015＝　1　． 【解答】解：∵集合A＝{a，，1}，B＝{a2，a+b，0}，且A＝B，∴a≠0，则必有0，即b＝0， 此时两集合为A＝{a，0，1}，集合Q＝{a2，a，0}，∴a2＝1，∴a＝﹣1或1， 当a＝1时，集合为P＝{1，0，1}，集合Q＝{1，1，0}，不满足集合元素的互异性． 当a＝﹣1时，P＝{﹣1，0，1}，集合Q＝{1，﹣1，0}，满足条件，故a＝﹣1，b＝0． 三．解答题（共2小题） 10．已知集合A＝{a，a﹣1}，B＝{2，y}，C＝{x|1＜x﹣1＜4}． （1）若A＝B，求y的值；（2）若A C，求a的取值范围． 【解答】解：（1）若a＝2，则A＝{1，2}，∴y＝1． 若a﹣1＝2，则a＝3，A＝{2，3}，∴y＝3．综上，y的值为1或3． （2）∵C＝{x|1＜x﹣1＜4}＝{x|2＜x＜5}，集合A＝{a，a﹣1}，A C， ∴，解得3＜a＜5．∴a的取值范围是（3，5）． 11．已知集合A＝{x|﹣3≤x≤4}，B＝{x|2m﹣1＜x＜m+1}，且B A．求实数m的取值范围． 【解答】解：集合A＝{x|﹣3≤x≤4}，B＝{x|2m﹣1＜x＜m+1}，且B A ①B＝Φ时，2m﹣1≥m+1，故m≥2 ②B≠Φ时，m＜2 且 故﹣1≤m＜2． 综上，实数m的取值范围：m≥﹣1．