不等式与不等关系
知识梳理：
1. 对称性： .
2. 传递性： .
3. 加法性质： （1） .（2）
4. 乘法性质： （1） .（2）
（3） .
5. 乘方性质： .
6. 开方性质： .
题型探究：
1. 判断下面命题的真假：
（1）若＞，则＜；（2）若＜，＜，则＜；（3）若＞，则＞；
（4）若＞，且∈，则＞；（5）若＞，＞，则＞.
2.（1）已知＜＜，＜＜，求与的取值范围；
（2）已知＜，试求的范围；
（3）已知＜＜＜，＜＜，求的取值范围。
3. 已知＞＞，＜＜，＜。求证：＞.
4. 已知且，求的取值范围。
5. 已知＜，比较与的大小关系。
小练习：
1．若实数，，满足，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．设，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
5．下列说法正确的序号为（ ）
①若，则； ②若，则；
③若a>b，c>d，则； ④若，c<0，则
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
6．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
7．已知a<-1
A． B．
C． D．
8．若a、，且，，则的最大值是______，最小值是______．
9．设a，b是非零实数，若a①a210．若a、b∈R，则下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a5＋b5＞a3b2＋a2b3；④a＋≥2中一定成立的是__________．(填序号)
11．若且，则的最大值是____________．
12．已知，，，求证：
（1）； （2）.不等式与不等关系
一、单选题
1．若实数，，满足，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
直接利用不等式的性质，进一步利用作差法和赋值法的应用判断、、、的结论．
【详解】
解：实数，，满足，
所以对于：当，，时，不成立，故错误；
对于：当，，时，，故错误；
对于：由于，所以，故，故正确；
对于：当，，时，无意义，故错误．
故选：．
2．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先求的范围，再根据不等式的性质，求的范围.
【详解】
因为，所以，
由，得.
故选：A.
3．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】
利用不等式的基本性质判断.
【详解】
A.当时，满足，但，故错误；
B. 当时，满足，但，故错误；
C. 当时，满足，但，故错误；
D. 因为，所以，则，故正确.
故选：D
4．设，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】
利用作差比较法，得到，即可求解.
【详解】
由，
则，
所以.
故选：A.
5．下列说法正确的序号为（ ）
①若，则；
②若，则；
③若a>b，c>d，则；
④若，c<0，则
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
【分析】
①④通过不等式的性质判断，②③可举反例判断.
【详解】
对于①若，即，则，正确；
对于②若，则，错误；
对于③若，则，错误；
对于④若，则，由于，则，正确.
故①④正确.
故选：C.
6．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】B
【分析】
取特殊值可判断ACD，根据不等式的性质，分类讨论可判断B.
【详解】
取，则，故A错误；
若，因为，所以，若，因为，所以，
所以，综上，时，成立，故B正确；
取，则，故C错误；
取，则，故D错误.
故选：B
7．已知a<-1A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据作差法以及所给条件分析求解.
【详解】
解：由题意得：
即
，即；
，即
故综上所述：
故选：D
二、双空题
8．若a、，且，，则的最大值是______，最小值是______．
【答案】7 0
【分析】
根据不等式的性质可得，即可求出.
【详解】
因为，所以，因为，所以，
所以，则，
即的最大值是7，最小值是0.
故答案为：7；0.
三、填空题
9．设a，b是非零实数，若a①a2【答案】③
【分析】
通过举反例和作差法可得结论.
【详解】
当a<0时，a2因为ab2－a2b＝ab(b－a)，b－a>0，ab符号不确定，
所以ab2与a2b的大小不能确定，故②错．
因为－＝，
所以，故③正确．
④若，则,所以④不成立 ,
故答案为：③.
10．若a、b∈R，则下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a5＋b5＞a3b2＋a2b3；④a＋≥2中一定成立的是__________．(填序号)
【答案】①②
【分析】
利用作差法及不等式性质，即可作出判断.
【详解】
①a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，正确；
②a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，正确；
③a5－a3b2＋b5－a2b3＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2)，
若a＝b，则上式＝0，不正确；
④若a＜0，则a＋＜0不正确.
∴①②一定成立.
故答案为：①②
11．若且，则的最大值是____________．
【答案】7
【分析】
把表达为与的线性关系，结合与求出最大值.
【详解】
，则，解得：
即，因为且，所以，故，故的最大值为7
故答案为：7
四、解答题
12．已知，，，求证：
（1）；
（2）.
【答案】
（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】
（1）根据不等式的性质证明即可；
（2）结合（1）和不等式的性质求解.
（1）
证明：因为，，
所以
所以；
（2）
证明：由（1）得，
又，所以.