人教新课标A版高中数学必修4 第三章三角恒等变换 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 同步测试
一、单选题
1．sin75°=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=
故选B
【分析】把sin75°转换成sin（30°+45°）利用两角和公式求得答案．
2．的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】根据题意可知，根据两角和的余弦公式可知，=，故选A.
3．设sin（+θ）=，则sin2θ=（ ）
A．- B．- C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：由sin（+θ）=sincosθ+cossinθ=（sinθ+cosθ）=，
两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，
则sin2θ=2sinθcosθ=﹣．
故选A
【分析】根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件，然后两边平方利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可sin2θ的值．
4．（人教新课标A版必修4数学3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步检测）若 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】解答：由 所以 .故选C.
分析：由题观察所给条件直接利用和角公式展开解方程即可得到所求角的正切.
5．若α是第二象限角，tan(+α)=，则cos(+α)=（ ）
A．- B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：∵α是第二象限角，tan(+α)==，∴+α为第三项象限角．
∵=1，sin（+α）＜0，cos（+α）＜0，
求得 cos(+α)=﹣，
故选：A．
【分析】由条件利用同角三角的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，求得cos(+α的值．
6．已知tanα＝4，cotβ＝，则tan（α＋β）等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】∵tana=4，cotβ=，
∴tanβ=3
∴tan（a+β)===-
故选B
【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中β角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出β角的正切值是解答本题的关键．
7．已知tan(α+β) = ， tan(β－ )= ，那么tan(α + )为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【解答】根据题意，由于tan(α+β) = ， tan(β－ )= ， α +， 则可之tan(α+ )=tan= =，选A.
【分析】主要是考查了三角函数的 正切公式的运用，属于基础题
8．（人教新课标A版必修4数学3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步检测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】解答：∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ .
分析：由题观察所给条件，运用同角三角函数对应直接求解得到对应角的正切，然后运用正切的差角公式计算.
9．（人教新课标A版必修4数学3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步检测）已知 ，都是锐角， cos=，cos ，则 cos 的值为( )
A．- B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】因为 为锐角，所以 ，
因为， 都是锐角，所以 ，所以 .
.故B正确.
【分析】由题根据所求角与所给条件进行恰当的角的凑配，然后结合所给角的范围求解对应的三角函数值，然后运用差角公式计算即可.
10．已知tan，则sin2α等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】
∴tanα=2，
则sin2α=
故选C
【分析】利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，整理后求出tanα的值，然后将所求的式子分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化为sin2α+cos2α，分子利用二倍角的正弦函数公式化简，然后分子分母同时除以cos2α，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanα的值代入即可求出值。
11．已知＜α＜π，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式
【解析】【解答】∵＜α＜π，3sin2α=2cosα，
∴sinα=，cosα=﹣．
∴cos（α﹣π）=﹣cosα=﹣（﹣）=，
故选：C．
【分析】由条件求得sinα 和cosα 的值，再根据cos（α﹣π）=﹣cosα求得结果。
12．已知sin（-x）=则cos（x+）等于（ ）
A．- B．- C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：cos（x+）=sin[﹣（x+）]=sin（﹣x）=．
故选：D．
【分析】由诱导公式化简后即可求值．
13．已知tanα=﹣，且tan（α+β）=1，则tanβ的值为（ ）
A．-7 B．7 C．- D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：∵tanα=﹣，且tan（α+β）=1，
可知tan（α+β）==1，
即=1，
解得tanβ=7．
故选：B．
【分析】直接利用两角和的正切函数公式求解即可．
14．（2016高一下·福建期末）已知sin（α+ ）+cosα= ，则cos（α﹣ ）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：∵sin（α+ ）+cosα= sinα+ cosα= sin（α+ ）= ，
∴sin（α+ ）= =cos[ ﹣（α+ ）]=cos（ ﹣α）=cos（α﹣ ），
即 cos（α﹣ ）= ，
故选：A．
【分析】利用诱导公式、两角和差的正弦公式化简所给的式子求得sin（α+ ）= ，再利用诱导公式求得cos（α﹣ ）的值．
15．（2016高一下·肇庆期末）若α∈[0， ]，sin（α﹣ ）= ，则cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：∵α∈[0， ]，sin（α﹣ ）= ，则cos（α﹣ ）= = ，
∴cosα=cos[（α﹣ ）+ ]=cos（α﹣ ） cos ﹣sin（α﹣ ）sin = ﹣ = ，
故选：B．
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cos（α﹣ ），再利用两角差的余弦公式求得cosα=cos[（α﹣ ）+ ]的值．
二、填空题
16．（人教新课标A版必修4数学3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步检测）计算： ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】因为
.
【分析】由题观察所给式子之间逆用三角函数差角公式计算即可，难度不大，属于基础题目.
17．已知，则tan=
【答案】-7
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：∵
∴
∴．
故答案为﹣7．
【分析】利用三角函数的平方关系和商数关系即可得到tanα，再利用两角和的正切公式即可得出．
18．已知函数f(x)=sinx+cosx，则f（x）的最大值为
【答案】2
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】∵函数f(x)=sinx+cosx=2sin（x+），
∴f（x）的最大值为2，
故答案为：2．
【分析】由条件利用两角和的正弦公式，正弦函数的值域，求得函数的最大值．
19．（人教新课标A版必修4数学3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步检测） △ABC中，若 sin（π-A）= ， tan（π+B）= ，则cosC ．
【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】由 sin（π-A）= 得sinA= ，由 tan（π+B）= 得tanB= ，所以B为锐角，且 sinB=，cosB= ，又sinA＜sinB 。所以 也为锐角cosA= ，故cosC=-cos（A+B）=-cosA+sinAsinB= .
【分析】由题根据所给条件结合角的范围分别计算其对应的正弦、余弦，然后根据角的范围得到对应的三角函数值，结合三角形内角和性质运用和角公式计算即可.
20．（人教新课标A版必修4数学3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步检测）已知 是方程 的两根，则 = .
【答案】1
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由题
.
【分析】本题考查两角和的正切公式， ，而 与 可由韦达定理得．
三、解答题
21．已知cosα=﹣，α为第三象限角．
求sinα，tanα的值；
【答案】解：∵，α为第三象限角，
∴，
∴．
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，从而求得tanα的值．
22．已知cosx=，0＜x＜，求sinx与sin2x的值．
【答案】解：∵cosx=，0＜x＜，
∴sinx=
∴sin2x=2sinxcosx=2×x=．
【知识点】二倍角的正弦公式
【解析】【分析】根据已知，由同角函数关系式可求得sinx的值，由倍角公式即可求得sin2x的值。
23．已知sinα=，sinβ=，且α、β为锐角，求α+β的值．
【答案】解：∵α、β为锐角，
∴0＜α＜，0＜β＜，
∴0＜α+β＜π，
∵sinα=，sinβ=，
∴cosα=，cosβ=，
则cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ═×﹣×=，
则α+β=．
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【分析】利用两角和差的余弦公式，先求cos（α+β）的值，即可得到结论．
24．已知sin（α﹣β）sinβ﹣cos（α﹣β）cosβ=，且α是第二象限的角，求tan（+α）的值．
【答案】解：∵sin（α﹣β）sinβ﹣cos（α﹣β）cosβ=，
∴cosα=﹣，
又∵α 是第二象限角，∴sinα=，
则tanα=﹣．
∴tan（α+）===．
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【分析】由两角和与差的余弦函数公式化简已知等式可得cosα，结合α 是第二象限角，可求sinα，tanα，利用两角和的正切函数公式即可得解．
25．已知α，β都是锐角，sinα=，cos（α+β）=．
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求sinβ的值．
【答案】解：（Ⅰ）∵α∈（0，），sinα=，
∴=
∴tanα==
∴tan2α=．
（Ⅱ）∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），cos（α+β）=
∴sin（α+β）=
∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα
=x-x
=．
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【分析】（Ⅰ）由已知和同角三角函数关系式可先求cosα，tanα的值，由二倍角的正切公式即可求tan2α的值．
（Ⅱ）由已知先求得sin（α+β）的值，根据sinβ=sin[（α+β）﹣α]，由两角差的正弦公式展开代入即可求值。
1 / 1人教新课标A版高中数学必修4 第三章三角恒等变换 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 同步测试
一、单选题
1．sin75°=（ ）
A． B． C． D．
2．的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．
3．设sin（+θ）=，则sin2θ=（ ）
A．- B．- C． D．
4．（人教新课标A版必修4数学3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步检测）若 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
5．若α是第二象限角，tan(+α)=，则cos(+α)=（ ）
A．- B． C． D．
6．已知tanα＝4，cotβ＝，则tan（α＋β）等于 （ ）
A． B． C． D．
7．已知tan(α+β) = ， tan(β－ )= ，那么tan(α + )为（ ）
A． B． C． D．
8．（人教新课标A版必修4数学3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步检测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（人教新课标A版必修4数学3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步检测）已知 ，都是锐角， cos=，cos ，则 cos 的值为( )
A．- B． C． D．
10．已知tan，则sin2α等于（ ）
A． B． C． D．
11．已知＜α＜π，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）等于（ ）
A． B． C． D．
12．已知sin（-x）=则cos（x+）等于（ ）
A．- B．- C． D．
13．已知tanα=﹣，且tan（α+β）=1，则tanβ的值为（ ）
A．-7 B．7 C．- D．
14．（2016高一下·福建期末）已知sin（α+ ）+cosα= ，则cos（α﹣ ）的值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2016高一下·肇庆期末）若α∈[0， ]，sin（α﹣ ）= ，则cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（人教新课标A版必修4数学3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步检测）计算： ．
17．已知，则tan=
18．已知函数f(x)=sinx+cosx，则f（x）的最大值为
19．（人教新课标A版必修4数学3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步检测） △ABC中，若 sin（π-A）= ， tan（π+B）= ，则cosC ．
20．（人教新课标A版必修4数学3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步检测）已知 是方程 的两根，则 = .
三、解答题
21．已知cosα=﹣，α为第三象限角．
求sinα，tanα的值；
22．已知cosx=，0＜x＜，求sinx与sin2x的值．
23．已知sinα=，sinβ=，且α、β为锐角，求α+β的值．
24．已知sin（α﹣β）sinβ﹣cos（α﹣β）cosβ=，且α是第二象限的角，求tan（+α）的值．
25．已知α，β都是锐角，sinα=，cos（α+β）=．
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求sinβ的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=
故选B
【分析】把sin75°转换成sin（30°+45°）利用两角和公式求得答案．
2．【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】根据题意可知，根据两角和的余弦公式可知，=，故选A.
3．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：由sin（+θ）=sincosθ+cossinθ=（sinθ+cosθ）=，
两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，
则sin2θ=2sinθcosθ=﹣．
故选A
【分析】根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件，然后两边平方利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可sin2θ的值．
4．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】解答：由 所以 .故选C.
分析：由题观察所给条件直接利用和角公式展开解方程即可得到所求角的正切.
5．【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：∵α是第二象限角，tan(+α)==，∴+α为第三项象限角．
∵=1，sin（+α）＜0，cos（+α）＜0，
求得 cos(+α)=﹣，
故选：A．
【分析】由条件利用同角三角的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，求得cos(+α的值．
6．【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】∵tana=4，cotβ=，
∴tanβ=3
∴tan（a+β)===-
故选B
【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中β角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出β角的正切值是解答本题的关键．
7．【答案】A
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【解答】根据题意，由于tan(α+β) = ， tan(β－ )= ， α +， 则可之tan(α+ )=tan= =，选A.
【分析】主要是考查了三角函数的 正切公式的运用，属于基础题
8．【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】解答：∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ .
分析：由题观察所给条件，运用同角三角函数对应直接求解得到对应角的正切，然后运用正切的差角公式计算.
9．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】因为 为锐角，所以 ，
因为， 都是锐角，所以 ，所以 .
.故B正确.
【分析】由题根据所求角与所给条件进行恰当的角的凑配，然后结合所给角的范围求解对应的三角函数值，然后运用差角公式计算即可.
10．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】
∴tanα=2，
则sin2α=
故选C
【分析】利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，整理后求出tanα的值，然后将所求的式子分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化为sin2α+cos2α，分子利用二倍角的正弦函数公式化简，然后分子分母同时除以cos2α，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanα的值代入即可求出值。
11．【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式
【解析】【解答】∵＜α＜π，3sin2α=2cosα，
∴sinα=，cosα=﹣．
∴cos（α﹣π）=﹣cosα=﹣（﹣）=，
故选：C．
【分析】由条件求得sinα 和cosα 的值，再根据cos（α﹣π）=﹣cosα求得结果。
12．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：cos（x+）=sin[﹣（x+）]=sin（﹣x）=．
故选：D．
【分析】由诱导公式化简后即可求值．
13．【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：∵tanα=﹣，且tan（α+β）=1，
可知tan（α+β）==1，
即=1，
解得tanβ=7．
故选：B．
【分析】直接利用两角和的正切函数公式求解即可．
14．【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：∵sin（α+ ）+cosα= sinα+ cosα= sin（α+ ）= ，
∴sin（α+ ）= =cos[ ﹣（α+ ）]=cos（ ﹣α）=cos（α﹣ ），
即 cos（α﹣ ）= ，
故选：A．
【分析】利用诱导公式、两角和差的正弦公式化简所给的式子求得sin（α+ ）= ，再利用诱导公式求得cos（α﹣ ）的值．
15．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：∵α∈[0， ]，sin（α﹣ ）= ，则cos（α﹣ ）= = ，
∴cosα=cos[（α﹣ ）+ ]=cos（α﹣ ） cos ﹣sin（α﹣ ）sin = ﹣ = ，
故选：B．
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cos（α﹣ ），再利用两角差的余弦公式求得cosα=cos[（α﹣ ）+ ]的值．
16．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】因为
.
【分析】由题观察所给式子之间逆用三角函数差角公式计算即可，难度不大，属于基础题目.
17．【答案】-7
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：∵
∴
∴．
故答案为﹣7．
【分析】利用三角函数的平方关系和商数关系即可得到tanα，再利用两角和的正切公式即可得出．
18．【答案】2
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】∵函数f(x)=sinx+cosx=2sin（x+），
∴f（x）的最大值为2，
故答案为：2．
【分析】由条件利用两角和的正弦公式，正弦函数的值域，求得函数的最大值．
19．【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】由 sin（π-A）= 得sinA= ，由 tan（π+B）= 得tanB= ，所以B为锐角，且 sinB=，cosB= ，又sinA＜sinB 。所以 也为锐角cosA= ，故cosC=-cos（A+B）=-cosA+sinAsinB= .
【分析】由题根据所给条件结合角的范围分别计算其对应的正弦、余弦，然后根据角的范围得到对应的三角函数值，结合三角形内角和性质运用和角公式计算即可.
20．【答案】1
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由题
.
【分析】本题考查两角和的正切公式， ，而 与 可由韦达定理得．
21．【答案】解：∵，α为第三象限角，
∴，
∴．
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，从而求得tanα的值．
22．【答案】解：∵cosx=，0＜x＜，
∴sinx=
∴sin2x=2sinxcosx=2×x=．
【知识点】二倍角的正弦公式
【解析】【分析】根据已知，由同角函数关系式可求得sinx的值，由倍角公式即可求得sin2x的值。
23．【答案】解：∵α、β为锐角，
∴0＜α＜，0＜β＜，
∴0＜α+β＜π，
∵sinα=，sinβ=，
∴cosα=，cosβ=，
则cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ═×﹣×=，
则α+β=．
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【分析】利用两角和差的余弦公式，先求cos（α+β）的值，即可得到结论．
24．【答案】解：∵sin（α﹣β）sinβ﹣cos（α﹣β）cosβ=，
∴cosα=﹣，
又∵α 是第二象限角，∴sinα=，
则tanα=﹣．
∴tan（α+）===．
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【分析】由两角和与差的余弦函数公式化简已知等式可得cosα，结合α 是第二象限角，可求sinα，tanα，利用两角和的正切函数公式即可得解．
25．【答案】解：（Ⅰ）∵α∈（0，），sinα=，
∴=
∴tanα==
∴tan2α=．
（Ⅱ）∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），cos（α+β）=
∴sin（α+β）=
∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα
=x-x
=．
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【分析】（Ⅰ）由已知和同角三角函数关系式可先求cosα，tanα的值，由二倍角的正切公式即可求tan2α的值．
（Ⅱ）由已知先求得sin（α+β）的值，根据sinβ=sin[（α+β）﹣α]，由两角差的正弦公式展开代入即可求值。
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