人教新课标A版 高中数学必修2 第四章 圆与方程 4.1圆的方程
一、单选题
1．已知圆心在点P(－2，3)，并且与y轴相切，则该圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的图形是( )
A．以(1，-2)为圆心，11为半径的圆；
B．以(1，2)为圆心，11为半径的圆；
C．以(-1，-2)为圆心，11为半径的圆；
D．以(-1，2)为圆心，11为半径的圆
3．以点和为直径两端点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则以为直径的圆的方程是( )
A． B．
C． D．
5．已知圆C经过两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是( )
A． B．
C． D．
6．圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． B． C． D．
7．经过圆的圆心且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆C经过A（5，2），B（﹣1，4）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是（ ）
A． B． C． D．
9．圆x2+y2﹣2x+2y=0的周长是（ ）
A．2π B．2π C．π D．4π
10．方程（x2﹣4）2+（y2﹣4）2=0表示的图形是（ ）
A．两个点 B．四个点 C．两条直线 D．四条直线
11．方程x2+y2+2x+4y+6=0表示的图形是（ ）
A．点 B．两条直线 C．圆 D．没有图形
12．方程x2+y2+x+y﹣m=0表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣，+∞） B．（﹣∞，﹣）
C．（﹣∞，﹣] D．[﹣，+∞）
13．若方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，则m的取值范围是（ ）
A．m≥5 B．m≤5 C．m＞5 D．m＜5
14．圆心为（1，﹣2），半径为4的圆的方程是（ ）
A．（x+1）2+（y﹣2）2=16 B．（x﹣1）2+（y+2）2=16
C．（x+1）2+（y﹣2）2=4 D．（x﹣1）2+（y+2）2=4
15．过点A（0，2），B（﹣2，2），且圆心在直线x﹣y﹣2=0上的圆的方程是（ ）
A．=26 B．=26
C．=26 D．=26
二、填空题
16．点A（2，1）到圆C：x2+（y﹣1）2=1上一点的距离的最大值为
17．若圆C与圆（x+2）2+（y﹣1）2=1关于原点对称，则圆C的标准方程是
18．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是
19．已知两圆C1：（x+1）2+y2=1与C2：（x﹣1）2+y2=25，动圆M与这两个圆都内切，则动圆的圆心M的轨迹方程为
20．若关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是
三、解答题
21．若圆过A（2，0），B（4，0），C（0，2）三点，求这个圆的方程．
22．已知圆C过点A（1，4），B（3，2），且圆心在x轴上，求圆C的方程．
23．求过两点A（1，4）、B（3，2），且圆心在直线y=0上的圆的标准方程．并判断点M1（2，3），M2（2，4）与圆的位置关系．
24．设圆C满足三个条件①过原点；②圆心在y=x上；③截y轴所得的弦长为4，求圆C的方程．
25．已知圆心为C的圆经过点 A（1，1）和B（2，﹣2），且圆心C在 直线L：x﹣y+1=0上，求圆C的标准方程．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】因为圆心点P（-2，3)到y轴的距离为|-2|=2，且圆与y轴相切，
所以圆的半径为2，
则该圆的标准方程为：（x+2)2+（y-3)2=4．
故选B
2．【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】配方得(x+1)2+(y-2)2=11，所以方程表示以(-1，2)为圆心，为半径的圆.选D
【点评】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，当时，表示圆的方程；当时，表示点；当时，不表示任何图形。
3．【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】∵（1，1)和（2，-2)为一条直径的两个端点，∴两点的中点为（)，且两点的距离为d=，半径为，故所求的方程为，选B.
【分析】由已知的两点为直径的两端点，可得连接两点的线段的中点为圆心，连接两点线段长度的一半为圆的半径，故由中点坐标公式求出两点的中点，即为圆心坐标，利用两点间的距离公式求出两点间的距离，求出距离的一半即为圆的半径，根据求出的圆心坐标和半径写出圆的方程即可.
4．【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】圆心为AB的中点，为。直径为，半径为，所以所求的圆的方程是。故选A。
5．【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】根据题意，由于圆C经过两点，圆心在x轴上，那么圆心在线段AB的垂直平分线上，可中点为(2，3)，斜率为3，则方程为y-3=3(x-2).可知，3x-y-3=0，同时令y=0，x=1，故可知圆心为（1，0），半径为，因此可知方程为，选D.
6．【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】圆的方程化为，则其圆心和半径分别为。故选B。
7．【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】圆方程化为：，圆心坐标为（1，0），直线的斜率为，所以，所求直线方程为：，化为：.选A.
8．【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】∵圆心在x轴上，∴设圆心坐标为C（a，0），
又∵圆C经过A（5，2），B（﹣1，4）两点
∴半径r=|AC|=|BC|，可得
解之得a=1，可得半径r=
∴圆C的方程是（x﹣1）2+y2=20，
故选：D
【分析】根据题意设圆心坐标为C（a，0），由|AC|=|BC|建立关于a的方程，解之可得a=1，从而得到圆心为C（1，0）且半径r=2，可得圆C的标准方程．
9．【答案】A
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解：x2+y2﹣2x+2y=0即（x﹣1）2+（y+1）2=2
所以圆的半径为，故周长为2π
故选A
【分析】由配方法化为标准式，求出圆的半径，再求周长即可．
10．【答案】B
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解：方程（x2﹣4）2+（y2﹣4）2=0
则x2﹣4=0并且y2﹣4=0，
即，
解得：
得到4个点．
故选：B．
【分析】通过已知表达式，列出关系式，求出交点即可．
11．【答案】D
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解：方程x2+y2+2x+4y+6=0可化为（x+1）2+（y+2）2=﹣1，
因为r2=﹣1＜0，
所以该方程不表示任何图形．
故选：D．
【分析】把方程x2+y2+2x+4y+6=0化为标准方程，即可判断该方程表示什么图形．
12．【答案】A
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】∵方程x2+y2+x+y﹣m=0表示一个圆，
∴1+1+4m＞0，
解得：m＞﹣，
则m的取值范围是（﹣，+∞），
故选：A．
【分析】根据二元二次方程构成圆的条件求出m的范围即可。
13．【答案】D
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆时，应有4+16﹣4m＞0，解得 m＜5，
故选：D．
【分析】根据圆的一般式方程x2+y2 +dx+ey+f=0（ d2+e2﹣4f＞0），列出不等式4+16﹣4m＞0，求m的取值范围。
14．【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：圆心为（1，﹣2），半径为4的圆的方程是（x﹣1）2+（y+2）2=16，
故选：B．
【分析】根据已知圆心坐标和半径，可得答案．
15．【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由题意可得AB的中点为（﹣1，2），AB的斜率k=0，
∴AB的垂直平分线的方程为x=﹣1，
联立即圆心为（﹣1，﹣3），
∴半径r=
∴所求圆的方程为（x+1）2+（y+3）2=26
故选：B
【分析】由题意可得AB的垂直平分线的方程，可得圆心，再由距离公式可得半径，可得圆的方程．
16．【答案】3
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】圆C：x2+（y﹣1）2=1的圆心C（0，1），半径r=1，|AC|=2，
∴点A（2，1）到圆C：x2+（y﹣1）2=1上一点的距离的最大值：
d=|AC|+r=1+2=3．
故答案为：3．
【分析】点A（2，1）到圆C：x2+y2+2y=0上一点的距离的最大值d=|AC|+r．（r是圆半径）。
17．【答案】（x﹣2）2+（y+1）2=1
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】设圆C上任意一点P的坐标为（x，y），
根据题意可得P关于原点对称的点P'在圆（x+2）2+（y﹣1）2=1上，
∵P（x，y）与P'关于原点对称，得P'（﹣x，﹣y），
∴由点P'在圆（x+2）2+（y﹣1）2=1上，可得（﹣x+2）2+（﹣y﹣1）2=1．
化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1，即为圆C的方程．
故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2=1
【分析】根据题意，求出圆C上一点P（x，y）关于原点的对称点P'的坐标，将P'的坐标代入已知圆的方程，化简整理即可得到圆C的标准方程。
18．【答案】（x﹣2）2+（y﹣1）2=1
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】∵圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，
∴半径是1，圆心的纵坐标也是1，设圆心坐标（a，1），
则1=，又 a＞0，∴a=2，
∴该圆的标准方程是 （x﹣2）2+（y﹣1）2=1；
故答案为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．
【分析】依据条件确定圆心纵坐标为1，又已知半径是1，通过与直线4x﹣3y=0相切，圆心到直线的距离等于半径求出圆心横坐标，写出圆的标准方程。
19．【答案】
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设圆（x+1）2+y2=1的圆心O1（﹣1，0），半径r1=1；圆（x﹣1）2+y2=25的圆心O2（1，0），半径r2=5．
设动圆C的圆心C（x，y），半径R．
∵动圆C与圆（x+1）2+y2=1及圆（x﹣1）2+y2=25都内切，
∴|O1C|=R﹣1，|O2C|=5﹣R．
∴|O1C|+|O2C|=5﹣1=4＞|O1O2|=2，
因此动点C的轨迹是椭圆，2a=4，2c=2，解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3．
因此动圆圆心C的轨迹方程是．
故答案为：．
【分析】设圆（x+1）2+y2=1的圆心O1（﹣1，0），半径r1=1；圆（x﹣1）2+y2=25的圆心O2（1，0），半径r2=5．设动圆C的圆心C（x，y），半径R．由于动圆C与圆（x+1）2+y2=1及圆（x﹣1）2+y2=25都内切，可得|O1C|=R﹣1，|O2C|=5﹣R．于是|O1C|+|O2C|=5﹣1=4＞|O1O2|=2，利用椭圆的定义可知：动点C的轨迹是椭圆．求出即可。
20．【答案】（﹣∞，5）
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解：关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆时，应有4+16﹣4m＞0，解得 m＜5，
故答案为：（﹣∞，5）．
【分析】根据圆的一般式方程x2+y2 +dx+ey+f=0（ d2+e2﹣4f＞0），列出不等式4+16﹣4m＞0，求m的取值范围．
21．【答案】解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则有
②﹣①得：12+2D=0，∴D=﹣6
代入①得：4﹣12+F=0，∴F=8
代入③得：2E+8+4=0，∴E=﹣6
∴D=﹣6，E=﹣6，F=8
∴圆的方程是x2+y2﹣6x﹣6y+8=0
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A（2，0），B（4，0），C（0，2）三点代入，即可求得圆的方程。
22．【答案】解：设圆C：（x﹣a）2+y2=r2，
则
解得所以圆C的方程为（x+1）2+y2=20．
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】设圆C：（x﹣a）2+y2=r2，利用待定系数法能求出圆C的方程．
23．【答案】解：因为圆过A、B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上．由kAB==﹣1，
AB的中点为（2，3），
故AB的垂直平分线的方程为y﹣3=x﹣2，即x﹣y+1=0．
又圆心在直线y=0上，
因此圆心坐标是方程组的解，即圆心坐标为（﹣1，0）
．
半径r=，
所以得所求圆的标准方程为（x+1）2+y2=20．
因为M1到圆心C（﹣1，0）的距离为，|M1C|＜r，所以M1在圆C内；而点M2到圆心C的距离|M2C|=，所以M2在圆C外．
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】要求圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可，根据垂径定理可知圆心在线段AB的垂直平分线上，所以求出线段AB的中垂线方程与直线y=0联立即可求出圆心坐标，然后利用两点间的距离公式求出AO的长即为半径，然后分别求出M1和M2到圆心的距离与半径比较大小即可得到与圆的位置关系。
24．【答案】解：根据题意画出图形，如图所示：
当圆心C1在第一象限时，过C1作C1D垂直于x轴，C1B垂直于y轴，连接AC1，
由C1在直线y=x上，得到C1B=C1D，则四边形OBC1D为正方形，
∵与y轴截取的弦OA=4，∴OB=C1D=OD=C1B=2，即圆心C1（2，2），
在直角三角形ABC1中，根据勾股定理得：AC1=2，
则圆C1方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8；
当圆心C2在第三象限时，过C2作C2D垂直于x轴，C2B垂直于y轴，连接AC2，
由C2在直线y=x上，得到C2B=C2D，则四边形OB′C2D′为正方形，∵与y轴截取的弦OA′=4，∴OB′=C2D′，
=OD′=C2B′=2，即圆心C2（﹣2，﹣2），
在直角三角形A′B′C2中，根据勾股定理得：A′C2=2，
则圆C1方程为：（x+2）2+（y+2）2=8，
∴圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8或（x+2）2+（y+2）2=8．
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】分圆心C在第一象限和第三象限两种情况，当圆心C1在第一象限时，过C1分别作出与x轴和y轴的垂线，根据角平分线的性质得到四边形OBCD为正方形，连接C1A，由题意可知圆C与y轴截得的弦长为4，根据垂径定理即可求出正方形的边长即可得到圆心C的坐标，在直角三角形ABC中，利用勾股定理即可求出AC的长即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的方程；当圆心C在第三象限时，同理可得圆C的方程．
25．【答案】解：∵圆心在直线x﹣y+1=0上，
∴设圆心坐标为C（a，a+1），
根据点A（1，1）和B（2，﹣2）在圆上，可得，
解之得a=﹣3
∴圆心坐标为C（﹣3，﹣2），半径r=5
因此，此圆的标准方程是（x+3）2+（y+2）2=25．
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】设圆心坐标为C（a，a+1），根据A、B两点在圆上利用两点的距离公式建立关于a的方程，解出a值．从而算出圆C的圆心和半径，可得圆C的方程。
1 / 1人教新课标A版 高中数学必修2 第四章 圆与方程 4.1圆的方程
一、单选题
1．已知圆心在点P(－2，3)，并且与y轴相切，则该圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】因为圆心点P（-2，3)到y轴的距离为|-2|=2，且圆与y轴相切，
所以圆的半径为2，
则该圆的标准方程为：（x+2)2+（y-3)2=4．
故选B
2．方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的图形是( )
A．以(1，-2)为圆心，11为半径的圆；
B．以(1，2)为圆心，11为半径的圆；
C．以(-1，-2)为圆心，11为半径的圆；
D．以(-1，2)为圆心，11为半径的圆
【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】配方得(x+1)2+(y-2)2=11，所以方程表示以(-1，2)为圆心，为半径的圆.选D
【点评】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，当时，表示圆的方程；当时，表示点；当时，不表示任何图形。
3．以点和为直径两端点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】∵（1，1)和（2，-2)为一条直径的两个端点，∴两点的中点为（)，且两点的距离为d=，半径为，故所求的方程为，选B.
【分析】由已知的两点为直径的两端点，可得连接两点的线段的中点为圆心，连接两点线段长度的一半为圆的半径，故由中点坐标公式求出两点的中点，即为圆心坐标，利用两点间的距离公式求出两点间的距离，求出距离的一半即为圆的半径，根据求出的圆心坐标和半径写出圆的方程即可.
4．已知，则以为直径的圆的方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】圆心为AB的中点，为。直径为，半径为，所以所求的圆的方程是。故选A。
5．已知圆C经过两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】根据题意，由于圆C经过两点，圆心在x轴上，那么圆心在线段AB的垂直平分线上，可中点为(2，3)，斜率为3，则方程为y-3=3(x-2).可知，3x-y-3=0，同时令y=0，x=1，故可知圆心为（1，0），半径为，因此可知方程为，选D.
6．圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】圆的方程化为，则其圆心和半径分别为。故选B。
7．经过圆的圆心且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】圆方程化为：，圆心坐标为（1，0），直线的斜率为，所以，所求直线方程为：，化为：.选A.
8．已知圆C经过A（5，2），B（﹣1，4）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】∵圆心在x轴上，∴设圆心坐标为C（a，0），
又∵圆C经过A（5，2），B（﹣1，4）两点
∴半径r=|AC|=|BC|，可得
解之得a=1，可得半径r=
∴圆C的方程是（x﹣1）2+y2=20，
故选：D
【分析】根据题意设圆心坐标为C（a，0），由|AC|=|BC|建立关于a的方程，解之可得a=1，从而得到圆心为C（1，0）且半径r=2，可得圆C的标准方程．
9．圆x2+y2﹣2x+2y=0的周长是（ ）
A．2π B．2π C．π D．4π
【答案】A
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解：x2+y2﹣2x+2y=0即（x﹣1）2+（y+1）2=2
所以圆的半径为，故周长为2π
故选A
【分析】由配方法化为标准式，求出圆的半径，再求周长即可．
10．方程（x2﹣4）2+（y2﹣4）2=0表示的图形是（ ）
A．两个点 B．四个点 C．两条直线 D．四条直线
【答案】B
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解：方程（x2﹣4）2+（y2﹣4）2=0
则x2﹣4=0并且y2﹣4=0，
即，
解得：
得到4个点．
故选：B．
【分析】通过已知表达式，列出关系式，求出交点即可．
11．方程x2+y2+2x+4y+6=0表示的图形是（ ）
A．点 B．两条直线 C．圆 D．没有图形
【答案】D
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解：方程x2+y2+2x+4y+6=0可化为（x+1）2+（y+2）2=﹣1，
因为r2=﹣1＜0，
所以该方程不表示任何图形．
故选：D．
【分析】把方程x2+y2+2x+4y+6=0化为标准方程，即可判断该方程表示什么图形．
12．方程x2+y2+x+y﹣m=0表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣，+∞） B．（﹣∞，﹣）
C．（﹣∞，﹣] D．[﹣，+∞）
【答案】A
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】∵方程x2+y2+x+y﹣m=0表示一个圆，
∴1+1+4m＞0，
解得：m＞﹣，
则m的取值范围是（﹣，+∞），
故选：A．
【分析】根据二元二次方程构成圆的条件求出m的范围即可。
13．若方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，则m的取值范围是（ ）
A．m≥5 B．m≤5 C．m＞5 D．m＜5
【答案】D
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆时，应有4+16﹣4m＞0，解得 m＜5，
故选：D．
【分析】根据圆的一般式方程x2+y2 +dx+ey+f=0（ d2+e2﹣4f＞0），列出不等式4+16﹣4m＞0，求m的取值范围。
14．圆心为（1，﹣2），半径为4的圆的方程是（ ）
A．（x+1）2+（y﹣2）2=16 B．（x﹣1）2+（y+2）2=16
C．（x+1）2+（y﹣2）2=4 D．（x﹣1）2+（y+2）2=4
【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：圆心为（1，﹣2），半径为4的圆的方程是（x﹣1）2+（y+2）2=16，
故选：B．
【分析】根据已知圆心坐标和半径，可得答案．
15．过点A（0，2），B（﹣2，2），且圆心在直线x﹣y﹣2=0上的圆的方程是（ ）
A．=26 B．=26
C．=26 D．=26
【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由题意可得AB的中点为（﹣1，2），AB的斜率k=0，
∴AB的垂直平分线的方程为x=﹣1，
联立即圆心为（﹣1，﹣3），
∴半径r=
∴所求圆的方程为（x+1）2+（y+3）2=26
故选：B
【分析】由题意可得AB的垂直平分线的方程，可得圆心，再由距离公式可得半径，可得圆的方程．
二、填空题
16．点A（2，1）到圆C：x2+（y﹣1）2=1上一点的距离的最大值为
【答案】3
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】圆C：x2+（y﹣1）2=1的圆心C（0，1），半径r=1，|AC|=2，
∴点A（2，1）到圆C：x2+（y﹣1）2=1上一点的距离的最大值：
d=|AC|+r=1+2=3．
故答案为：3．
【分析】点A（2，1）到圆C：x2+y2+2y=0上一点的距离的最大值d=|AC|+r．（r是圆半径）。
17．若圆C与圆（x+2）2+（y﹣1）2=1关于原点对称，则圆C的标准方程是
【答案】（x﹣2）2+（y+1）2=1
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】设圆C上任意一点P的坐标为（x，y），
根据题意可得P关于原点对称的点P'在圆（x+2）2+（y﹣1）2=1上，
∵P（x，y）与P'关于原点对称，得P'（﹣x，﹣y），
∴由点P'在圆（x+2）2+（y﹣1）2=1上，可得（﹣x+2）2+（﹣y﹣1）2=1．
化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1，即为圆C的方程．
故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2=1
【分析】根据题意，求出圆C上一点P（x，y）关于原点的对称点P'的坐标，将P'的坐标代入已知圆的方程，化简整理即可得到圆C的标准方程。
18．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是
【答案】（x﹣2）2+（y﹣1）2=1
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】∵圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，
∴半径是1，圆心的纵坐标也是1，设圆心坐标（a，1），
则1=，又 a＞0，∴a=2，
∴该圆的标准方程是 （x﹣2）2+（y﹣1）2=1；
故答案为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．
【分析】依据条件确定圆心纵坐标为1，又已知半径是1，通过与直线4x﹣3y=0相切，圆心到直线的距离等于半径求出圆心横坐标，写出圆的标准方程。
19．已知两圆C1：（x+1）2+y2=1与C2：（x﹣1）2+y2=25，动圆M与这两个圆都内切，则动圆的圆心M的轨迹方程为
【答案】
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设圆（x+1）2+y2=1的圆心O1（﹣1，0），半径r1=1；圆（x﹣1）2+y2=25的圆心O2（1，0），半径r2=5．
设动圆C的圆心C（x，y），半径R．
∵动圆C与圆（x+1）2+y2=1及圆（x﹣1）2+y2=25都内切，
∴|O1C|=R﹣1，|O2C|=5﹣R．
∴|O1C|+|O2C|=5﹣1=4＞|O1O2|=2，
因此动点C的轨迹是椭圆，2a=4，2c=2，解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3．
因此动圆圆心C的轨迹方程是．
故答案为：．
【分析】设圆（x+1）2+y2=1的圆心O1（﹣1，0），半径r1=1；圆（x﹣1）2+y2=25的圆心O2（1，0），半径r2=5．设动圆C的圆心C（x，y），半径R．由于动圆C与圆（x+1）2+y2=1及圆（x﹣1）2+y2=25都内切，可得|O1C|=R﹣1，|O2C|=5﹣R．于是|O1C|+|O2C|=5﹣1=4＞|O1O2|=2，利用椭圆的定义可知：动点C的轨迹是椭圆．求出即可。
20．若关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是
【答案】（﹣∞，5）
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解：关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆时，应有4+16﹣4m＞0，解得 m＜5，
故答案为：（﹣∞，5）．
【分析】根据圆的一般式方程x2+y2 +dx+ey+f=0（ d2+e2﹣4f＞0），列出不等式4+16﹣4m＞0，求m的取值范围．
三、解答题
21．若圆过A（2，0），B（4，0），C（0，2）三点，求这个圆的方程．
【答案】解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则有
②﹣①得：12+2D=0，∴D=﹣6
代入①得：4﹣12+F=0，∴F=8
代入③得：2E+8+4=0，∴E=﹣6
∴D=﹣6，E=﹣6，F=8
∴圆的方程是x2+y2﹣6x﹣6y+8=0
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A（2，0），B（4，0），C（0，2）三点代入，即可求得圆的方程。
22．已知圆C过点A（1，4），B（3，2），且圆心在x轴上，求圆C的方程．
【答案】解：设圆C：（x﹣a）2+y2=r2，
则
解得所以圆C的方程为（x+1）2+y2=20．
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】设圆C：（x﹣a）2+y2=r2，利用待定系数法能求出圆C的方程．
23．求过两点A（1，4）、B（3，2），且圆心在直线y=0上的圆的标准方程．并判断点M1（2，3），M2（2，4）与圆的位置关系．
【答案】解：因为圆过A、B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上．由kAB==﹣1，
AB的中点为（2，3），
故AB的垂直平分线的方程为y﹣3=x﹣2，即x﹣y+1=0．
又圆心在直线y=0上，
因此圆心坐标是方程组的解，即圆心坐标为（﹣1，0）
．
半径r=，
所以得所求圆的标准方程为（x+1）2+y2=20．
因为M1到圆心C（﹣1，0）的距离为，|M1C|＜r，所以M1在圆C内；而点M2到圆心C的距离|M2C|=，所以M2在圆C外．
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】要求圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可，根据垂径定理可知圆心在线段AB的垂直平分线上，所以求出线段AB的中垂线方程与直线y=0联立即可求出圆心坐标，然后利用两点间的距离公式求出AO的长即为半径，然后分别求出M1和M2到圆心的距离与半径比较大小即可得到与圆的位置关系。
24．设圆C满足三个条件①过原点；②圆心在y=x上；③截y轴所得的弦长为4，求圆C的方程．
【答案】解：根据题意画出图形，如图所示：
当圆心C1在第一象限时，过C1作C1D垂直于x轴，C1B垂直于y轴，连接AC1，
由C1在直线y=x上，得到C1B=C1D，则四边形OBC1D为正方形，
∵与y轴截取的弦OA=4，∴OB=C1D=OD=C1B=2，即圆心C1（2，2），
在直角三角形ABC1中，根据勾股定理得：AC1=2，
则圆C1方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8；
当圆心C2在第三象限时，过C2作C2D垂直于x轴，C2B垂直于y轴，连接AC2，
由C2在直线y=x上，得到C2B=C2D，则四边形OB′C2D′为正方形，∵与y轴截取的弦OA′=4，∴OB′=C2D′，
=OD′=C2B′=2，即圆心C2（﹣2，﹣2），
在直角三角形A′B′C2中，根据勾股定理得：A′C2=2，
则圆C1方程为：（x+2）2+（y+2）2=8，
∴圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8或（x+2）2+（y+2）2=8．
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】分圆心C在第一象限和第三象限两种情况，当圆心C1在第一象限时，过C1分别作出与x轴和y轴的垂线，根据角平分线的性质得到四边形OBCD为正方形，连接C1A，由题意可知圆C与y轴截得的弦长为4，根据垂径定理即可求出正方形的边长即可得到圆心C的坐标，在直角三角形ABC中，利用勾股定理即可求出AC的长即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的方程；当圆心C在第三象限时，同理可得圆C的方程．
25．已知圆心为C的圆经过点 A（1，1）和B（2，﹣2），且圆心C在 直线L：x﹣y+1=0上，求圆C的标准方程．
【答案】解：∵圆心在直线x﹣y+1=0上，
∴设圆心坐标为C（a，a+1），
根据点A（1，1）和B（2，﹣2）在圆上，可得，
解之得a=﹣3
∴圆心坐标为C（﹣3，﹣2），半径r=5
因此，此圆的标准方程是（x+3）2+（y+2）2=25．
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】设圆心坐标为C（a，a+1），根据A、B两点在圆上利用两点的距离公式建立关于a的方程，解出a值．从而算出圆C的圆心和半径，可得圆C的方程。
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