人教新课标A版高中数学必修4 第二章平面向量 2.4平面向量的数量积 同步测试
一、单选题
1．向量=（1，﹣2），=（2，1），则（ ）
A．∥ B．⊥
C．与的夹角是60° D．与的夹角是30°
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】∵向量=（1，﹣2），=（2，1），
∴=1×2+（﹣2）×1=0，
∴，
故选B．
【分析】根据已知条件，利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的条件，得出结论。
2．若非零向量，满足||=||，(2+)=0，则，的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】∵
又∵
又由cosθ=
易得：cosθ=﹣
则θ=120°
故选：C.
【分析】由(2+)=0，化简得到，结合条件||=||，将化简式变为再结合cosθ=，易求出与的夹角θ．
3．已知则与的数量积为 （ ）
A．(-6，4) B．(-1，5) C．-2 D．0
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】。选C。
【点评】此题考查基本公式，基础题.
4．若=（1，2），=（4，k），=，则（ ） =（ ）
A．0 B． C．4+2k D．8+k
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵
故选：B
【分析】计算结果表示一个数字与零向量的乘积，故表示零向量．
5．已知向量，则= （ ）
A． B． C．5 D．25
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】因为，所以，所以，所以=5.选C
【点评】向量的平方就等于模的平方是一条非常重要的性质，考试中经常考到。此题的关键就是想到应用这条性质。一般情况下，题中若有向量的模都要先考虑这一条。
6．已知向量=(1，1，0)，=(-1，0，2)，且k+与2-互相垂直，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】因为与互相垂直，所以，所以，所以.选D
【点评】空间两个非零向量的垂直的条件：.
7．已知，，，则与的夹角是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】根据题意，由于，，，那么可知与的夹角是，因此可知其夹角为120，选C.
【分析】主要是考查了向量的数量积的基本运算，属于基础题。
8．已知向量，，，则向量的夹角为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】因为，，，所以，，所以.选B.
9．已知菱形的边长为， ，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为=
【分析】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题.
10．（人教新课标A版必修4数学2.3 平面向量的基本定理及坐标表示同步检测）设向量 、 ，满足| |=| |=1， =﹣ ，则| +2 |=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】解答： =3
∴
故选B
分析：利用向量模的平方等于向量的平方，求出模的平方，再开方即可．
11．若平面α的法向量为=（3，2，1），平面β的法向量为=（2，0，﹣1），则平面α与β夹角的余弦是（ ）
A． B． C．- D．-
【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】∵=（3，2，1），平面β的法向量为=（2，0，﹣1）
∴
=3×2+2×0+1×（﹣1）=5
因此，向量与的夹角θ满足cosθ=
又∵向量、分别为平面α和平面β的法向量
∴平面α与β夹角等于向量、的夹角，故平面α与β夹角的余弦值等于
故选：A
【分析】根据向量与的坐标，分别算出、的模和与的数量积，然后用向量的夹角公式算出它们夹角的余弦值，再根据两个平面所成角与它们法向量夹角之间的关系，即可得本题夹角的余弦值．
12．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且k+与2-互相垂直，则k的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：根据题意，易得k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），
2-=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2）．
∵两向量垂直，
∴3（k﹣1）+2k﹣2×2=0．
∴k=，
故选D．
【分析】根据题意，易得k+，2-的坐标，结合向量垂直的性质，可得3（k﹣1）+2k﹣2×2=0，解可得k的值，即可得答案．
13．正四面体ABCD边长为a，点E、F分别是BC、AD的中点，则的值为（ ）
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示，
=（a2cos60°+a2cos60°）
=a2．
故选：C．
【分析】如图所示，利用数量积运算性质即可得出．
14．（2016高一下·福建期末）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量 在 方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解： ， ，
则向量 方向上的投影为：
cos＜ ＞= = = = ，
故选A．
【分析】先求出向量 、 ，根据投影定义即可求得答案．
15．（2016高一下·安徽期中）已知向量 ， 均为单位向量，它们的夹角为60°，则|2 ﹣3 |等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为向量 ， 均为单位向量，它们的夹角为60°，所以 ，
所以|2 ﹣3 |2= =4+9﹣6=7，
所以|2 ﹣3 |= ；
故选D．
【分析】将所求平方展开，转化为向量 ， 的运算解答．
二、解答题
16．已知点A（6，1）B（1，3）C（3，1），求向量在向量上的投影．
【答案】解：∵=（﹣5，2），=（2，﹣2），
∴||==，
∴ =﹣5×2+2×（﹣2）=﹣14；
∴向量在向量上的投影是
||cos∠ABC=||×
=
=﹣．
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【分析】求出向量、的坐标表示，根据向量在向量上的投影的定义，进行计算即可。
17．已知向量=（2，﹣1），=（1，x）．若⊥（+），求||的值.
【答案】解：依题意可得，+=（3，﹣1+x），
由⊥（+），可得， （+）=0，
即6+1﹣x=0，
解得x=7，即=（1，7），
所以||==5.
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【分析】由向量的加法和向量垂直的条件：数量积为0，可得x=7，再由向量的模的公式计算即可得到所求.
18．已知非零向量，满足|+|=|-|，求证：．
【答案】证明：∵|+|=|-| |+|2=|+|2 (+)2=(-)22+2+2=2-2+2=0
又∵，．为非零向量，
∴．
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【分析】把已知的等式两边平方，可得这两个非零向量的数量积等于零，从而得到两个非零向量垂直。
19．设向量，满足||=||=1及|3﹣2|=
求，夹角的大小；
【答案】解：设与夹角为θ，∵向量，满足||=||=1及|3﹣2|=，
∴92+42-12=7，∴9×1+4×1﹣12×1×1×cosθ=7，∴cosθ=．
又θ∈[0，π]，∴与夹角为．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】利用向量的数量积运算性质即可得出。
20．已知A（﹣1，2），B（2，8），若=，=﹣，求的坐标.
【答案】解：∵=（3，6），∴==（1，2），
=﹣=（﹣2，﹣4），
∴=-=（2，4）﹣（1，2）=（1，2）．
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【分析】利用向量的数乘运算、坐标运算、三角形法则即可得出．
三、填空题
21．已知向量=(1,2)，=(-2.-2)，则|-|的值为
【答案】5
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：-=（3，4），∴|-|==5．
故答案为：5．
【分析】求出-的坐标，再计算模长．
22．=（2，3），=（﹣3，5），则在方向上的投影为
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵=（2，3），=（﹣3，5），
∴
则
故答案为：．
【分析】通过已知向量的坐标求出，再代入投影公式即可得到答案．
23．已知=（2，1），=（﹣3，4），则与的数量积为
【答案】-2
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】=2×（﹣3）+1×4=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】利用数量积的坐标运算即可得出。
24．已知向量=（3，1），=（1，3），=（t，2），若（﹣）⊥，则实数t的值为
【答案】0
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】∵=（3，1），=（1，3），=（t，2），
∴﹣=（3﹣t，﹣1）
∵（﹣）⊥
∴=3﹣t﹣3=0
∴t=0
故答案为：0
【分析】由已知可知=0，然后结合向量的数量积的坐标表示可求t.
25．四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD=60°，则|+|=
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD=60°，
∴∠ADC=120°，
在△ACD中，由余弦定理得：|AC|=
∴=．
故答案为：．
【分析】利用平面几何知识求出|AC|，则．
1 / 1人教新课标A版高中数学必修4 第二章平面向量 2.4平面向量的数量积 同步测试
一、单选题
1．向量=（1，﹣2），=（2，1），则（ ）
A．∥ B．⊥
C．与的夹角是60° D．与的夹角是30°
2．若非零向量，满足||=||，(2+)=0，则，的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．已知则与的数量积为 （ ）
A．(-6，4) B．(-1，5) C．-2 D．0
4．若=（1，2），=（4，k），=，则（ ） =（ ）
A．0 B． C．4+2k D．8+k
5．已知向量，则= （ ）
A． B． C．5 D．25
6．已知向量=(1，1，0)，=(-1，0，2)，且k+与2-互相垂直，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．已知，，，则与的夹角是( )
A． B． C． D．
8．已知向量，，，则向量的夹角为( )
A． B． C． D．
9．已知菱形的边长为， ，则=（ ）
A． B． C． D．
10．（人教新课标A版必修4数学2.3 平面向量的基本定理及坐标表示同步检测）设向量 、 ，满足| |=| |=1， =﹣ ，则| +2 |=（ ）
A． B． C． D．
11．若平面α的法向量为=（3，2，1），平面β的法向量为=（2，0，﹣1），则平面α与β夹角的余弦是（ ）
A． B． C．- D．-
12．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且k+与2-互相垂直，则k的值是（ ）
A．1 B． C． D．
13．正四面体ABCD边长为a，点E、F分别是BC、AD的中点，则的值为（ ）
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
14．（2016高一下·福建期末）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量 在 方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
15．（2016高一下·安徽期中）已知向量 ， 均为单位向量，它们的夹角为60°，则|2 ﹣3 |等于（ ）
A．1 B． C． D．
二、解答题
16．已知点A（6，1）B（1，3）C（3，1），求向量在向量上的投影．
17．已知向量=（2，﹣1），=（1，x）．若⊥（+），求||的值.
18．已知非零向量，满足|+|=|-|，求证：．
19．设向量，满足||=||=1及|3﹣2|=
求，夹角的大小；
20．已知A（﹣1，2），B（2，8），若=，=﹣，求的坐标.
三、填空题
21．已知向量=(1,2)，=(-2.-2)，则|-|的值为
22．=（2，3），=（﹣3，5），则在方向上的投影为
23．已知=（2，1），=（﹣3，4），则与的数量积为
24．已知向量=（3，1），=（1，3），=（t，2），若（﹣）⊥，则实数t的值为
25．四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD=60°，则|+|=
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】∵向量=（1，﹣2），=（2，1），
∴=1×2+（﹣2）×1=0，
∴，
故选B．
【分析】根据已知条件，利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的条件，得出结论。
2．【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】∵
又∵
又由cosθ=
易得：cosθ=﹣
则θ=120°
故选：C.
【分析】由(2+)=0，化简得到，结合条件||=||，将化简式变为再结合cosθ=，易求出与的夹角θ．
3．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】。选C。
【点评】此题考查基本公式，基础题.
4．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵
故选：B
【分析】计算结果表示一个数字与零向量的乘积，故表示零向量．
5．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】因为，所以，所以，所以=5.选C
【点评】向量的平方就等于模的平方是一条非常重要的性质，考试中经常考到。此题的关键就是想到应用这条性质。一般情况下，题中若有向量的模都要先考虑这一条。
6．【答案】D
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】因为与互相垂直，所以，所以，所以.选D
【点评】空间两个非零向量的垂直的条件：.
7．【答案】C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】根据题意，由于，，，那么可知与的夹角是，因此可知其夹角为120，选C.
【分析】主要是考查了向量的数量积的基本运算，属于基础题。
8．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】因为，，，所以，，所以.选B.
9．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为=
【分析】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题.
10．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】解答： =3
∴
故选B
分析：利用向量模的平方等于向量的平方，求出模的平方，再开方即可．
11．【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】∵=（3，2，1），平面β的法向量为=（2，0，﹣1）
∴
=3×2+2×0+1×（﹣1）=5
因此，向量与的夹角θ满足cosθ=
又∵向量、分别为平面α和平面β的法向量
∴平面α与β夹角等于向量、的夹角，故平面α与β夹角的余弦值等于
故选：A
【分析】根据向量与的坐标，分别算出、的模和与的数量积，然后用向量的夹角公式算出它们夹角的余弦值，再根据两个平面所成角与它们法向量夹角之间的关系，即可得本题夹角的余弦值．
12．【答案】D
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：根据题意，易得k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），
2-=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2）．
∵两向量垂直，
∴3（k﹣1）+2k﹣2×2=0．
∴k=，
故选D．
【分析】根据题意，易得k+，2-的坐标，结合向量垂直的性质，可得3（k﹣1）+2k﹣2×2=0，解可得k的值，即可得答案．
13．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示，
=（a2cos60°+a2cos60°）
=a2．
故选：C．
【分析】如图所示，利用数量积运算性质即可得出．
14．【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解： ， ，
则向量 方向上的投影为：
cos＜ ＞= = = = ，
故选A．
【分析】先求出向量 、 ，根据投影定义即可求得答案．
15．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为向量 ， 均为单位向量，它们的夹角为60°，所以 ，
所以|2 ﹣3 |2= =4+9﹣6=7，
所以|2 ﹣3 |= ；
故选D．
【分析】将所求平方展开，转化为向量 ， 的运算解答．
16．【答案】解：∵=（﹣5，2），=（2，﹣2），
∴||==，
∴ =﹣5×2+2×（﹣2）=﹣14；
∴向量在向量上的投影是
||cos∠ABC=||×
=
=﹣．
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【分析】求出向量、的坐标表示，根据向量在向量上的投影的定义，进行计算即可。
17．【答案】解：依题意可得，+=（3，﹣1+x），
由⊥（+），可得， （+）=0，
即6+1﹣x=0，
解得x=7，即=（1，7），
所以||==5.
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【分析】由向量的加法和向量垂直的条件：数量积为0，可得x=7，再由向量的模的公式计算即可得到所求.
18．【答案】证明：∵|+|=|-| |+|2=|+|2 (+)2=(-)22+2+2=2-2+2=0
又∵，．为非零向量，
∴．
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【分析】把已知的等式两边平方，可得这两个非零向量的数量积等于零，从而得到两个非零向量垂直。
19．【答案】解：设与夹角为θ，∵向量，满足||=||=1及|3﹣2|=，
∴92+42-12=7，∴9×1+4×1﹣12×1×1×cosθ=7，∴cosθ=．
又θ∈[0，π]，∴与夹角为．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】利用向量的数量积运算性质即可得出。
20．【答案】解：∵=（3，6），∴==（1，2），
=﹣=（﹣2，﹣4），
∴=-=（2，4）﹣（1，2）=（1，2）．
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【分析】利用向量的数乘运算、坐标运算、三角形法则即可得出．
21．【答案】5
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：-=（3，4），∴|-|==5．
故答案为：5．
【分析】求出-的坐标，再计算模长．
22．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵=（2，3），=（﹣3，5），
∴
则
故答案为：．
【分析】通过已知向量的坐标求出，再代入投影公式即可得到答案．
23．【答案】-2
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】=2×（﹣3）+1×4=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】利用数量积的坐标运算即可得出。
24．【答案】0
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】∵=（3，1），=（1，3），=（t，2），
∴﹣=（3﹣t，﹣1）
∵（﹣）⊥
∴=3﹣t﹣3=0
∴t=0
故答案为：0
【分析】由已知可知=0，然后结合向量的数量积的坐标表示可求t.
25．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD=60°，
∴∠ADC=120°，
在△ACD中，由余弦定理得：|AC|=
∴=．
故答案为：．
【分析】利用平面几何知识求出|AC|，则．
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