人教版2019必修一 4.2 指数函数同步练习
一、单选题
1．（2020高一上·公主岭期末）函数 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
2．（2020高一上·池州期末）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2020高一上·北京期中）函数 和函数 的图象关于（ ）对称.
A．原点 B． C． 轴 D． 轴
4．（2020高一上·娄底期中）函数 图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020高一上·启东期中）若 ， ， ，则（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c
6．（2020高一上·北京期中）已知函数 ，则函数 （ ）
A．是奇函数，且在 上单增 B．是奇函数，且在 上单减
C．是偶函数，且在 上单增 D．是偶函数，且在 上单减
7．（2020高一上·黄陵期中）若函数 是实数集 上的增函数，则实数 的取值范围为( )
A． B． C． D．
8．（2020高一上·吉安期中）若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020高一上·福州期中）下列判断正确的是（ ）
A．
B． 是定义域上的减函数
C． 是不等式 成立的充分不必要条件
D．函数 过定点
10．（2019高一上·南京期中）若指数函数 在区间 上的最大值和最小值的和为 ，则 的值可能是（ ）.
A． B． C． D．
11．（2020高一上·宁波期末）如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积 与时间t(月)的关系为： .有以下几个判断，正确的是（ ）
A．
B．浮萍从 蔓延到 只需要经过1.5个月
C．在第6个月，浮萍面积超过
D．若浮萍蔓延到 所经过的时间分别为 ，则
三、填空题
12．（2020高一上·无锡期中）函数y= 的定义域是 ．
13．（2020高一上·漳州期末）函数 的单调递增区间为 .
14．（2020高一上·池州期末）已知函数 （m为常数），当 时， ，若 ，则t的取值范围为 ．
15．（2019高一上·浙江期中）若 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题
16．（2020高一上·宁波期末）已知全集 ，集合 ，集合 .
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，且 ，求实数 的值.
17．（2020高一上·唐山期中）已知函数f(x)＝ ，a为常数，且函数的图象过点(－1，2).
（1）求a的值；
（2）若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值.
18．（2020高一上·河北期中）已知函数 是奇函数，其中 是常数.
（1）求函数 的定义域和 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
19．（2019高一上·丰台期中）已知函数 ， （ 且 ）， ．
（1）求函数 和 的解析式；
（2）在同一坐标系中画出函数 和 的图象；
（3）如果 ，请直接写出 的取值范围．
20．（2020高一上·赣县月考）定义在 上的奇函数 ，已知当 时， ．
（1）求 在 上的解析式；
（2）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
21．某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y=k at（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．
（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后在过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】由题意知： ，即 ，
此时 ，
所以函数恒过定点 ，
故答案为：B
【分析】由整体思想结合指数函数的图象计算出结果即可。
2．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：在同一坐标系内分别作出 以及 的图象，因为 ，所以 ．
故答案为：A
【分析】由题意利用指数函数的单调性和特殊点得出结论。
3．【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为 ， ，所以 和 的图象关于 轴对称.
故答案为：C.
【分析】由函数 与 关于 轴对称，结合 ， ，可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】根据指数函数的性质可得 递增函数，
函数 的图象是 的图象去掉 轴左侧图象，把右侧图象关于 轴对称即可.
故答案为：A
【分析】根据指数函数的图象和性质进行翻折判断即可．
5．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 为单调减函数，所以
因为 为单调减函数，所以 ，即
故答案为：C
【分析】首先由指数函数的单调性即可判断出a、b的大小关系，再由指数函数的特殊点的函数值判断c的大小进而得出结果。
6．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题意，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
因为 ，所以函数 为奇函数，
又由 ，
根据指数函数的图象与性质，可得函数 和 都是增函数，
所以函数 是增函数.
故答案为：A
【分析】根据函数的奇偶性的定义及指数函数的图象与性质，进行判断，即可得到答案。
7．【答案】B
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】由题意知，此函数为指数函数，且为实数集 上的增函数，所以底数 ，解得 . 故答案为：B.
【分析】根据指数函数的单调性与底数之间的关系，确定底数的取值范围，即可求出 实数 的取值范围 。
8．【答案】B
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：不等式 恒成立，即 ，即 恒成立，即 恒成立，所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据指数函数的性质，将不等式恒成立转化为 恒成立，利用判别式 ，从而求得实数 的取值范围.
9．【答案】C,D
【知识点】元素与集合的关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的判断与证明；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】对于A，因为 ，A不符合题意；
对于B，因为 ，根据反比例函数图象可知，在定义域上不是递减函数，B不符合题意；
对于C， 不等式
解得： 或
由 可以推出 ，
故 是不等式 成立的充分条件
由 不能推出 ，
故 是不等式 成立的不必要条件
C符合题意；
对于D，因为函数 过定点 ，D符合题意.
综上所述，正确的是： CD.
故答案为：CD.
【分析】根据函数和集合相关知识，逐项判断，即可求得答案.
10．【答案】A,B
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】当 时，指数函数 单调递增，所以在区间 上的最大值 ，最小值 。所以 ，求得 或者 （舍）；
当 时，指数函数 单调递减，所以在区间 上的最大值 ，
，所以所以 ，求得 （舍）或者 .
综上所述： 或者 .
故答案为：AB
【分析】分别讨论 单增和 单减两种不同的情况即可较易求解
11．【答案】A,C,D
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为函数图象经过 点，所以 ，所以 ，A符合题意；
当 ，得 ，当 ，得 ，
所以 ，所以B不符合题意；
当 ，所以C符合题意；
当 ，得 ，当 ，得 ，当 ，得 ，所以 ，所以D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】由已知图像结合指数函数模型逐一分析四个选项的答案。
12．【答案】[0，+∞）
【知识点】函数的定义域及其求法；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：由题意可得 ，
解不等式可得
所以函数的定义域是[0，+∞），
故答案为：[0，+∞）
【分析】根据偶次方根的被开方数大于等于零，得到不等式，再根据指数函数的性质解不等式即可得函数的定义域．
13．【答案】（0，+∞）（或写成[0,+∞））
【知识点】复合函数的单调性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】二次函数 开口向下，且对称轴为直线 ，且 ，
∴函数 的单调递增区间为（0，+∞）.
故答案为：（0，+∞）．
【分析】根据题意由复合函数的单调性结合二次函数的图象和指数函数的图象和性质即可得出答案。
14．【答案】[32,+∞)
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由 ，把 代入，可得 ，解得 ，
由 ，得 ，即 ．
故答案为:
【分析】根据条件求出m的值，再根据 求得t的范围。
15．【答案】
【知识点】指数函数单调性的应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】令 ，∵ ，∴ ，
∵ 恒成立，∴ 恒成立，
∵ ，当且仅当 时，即 时，表达式取得最小值，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】设 ，将原不等式转化成 恒成立，从而求出 的范围．
16．【答案】（1）解：因为 ， 在 上单调递减，由定义域可得a>0, 则 ；
若 ，则 ，所以 或 ，
因此
（2）解：因为 ，所以 ；又 ，所以 ，因此 ，
所以有 ，解得 ，又因为a>0，
则实数 的值为
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)首先指数函数的单调性求出集合A再由函数的单调性即可求出集合B，结合补集与交集的定义即可得出结果。
(2)根据题意由集合之间的关系以及已知条件即可得到求解出a的值即可。
17．【答案】（1）解：由已知得 ，
解得a＝1.
（2）解：由（1）知 ，
又g(x)＝f(x)，
则4－x－2＝ ，
，
令 ，
则t>0，t2－t－2＝0，
即(t－2)(t＋1)＝0，
又t>0，故t＝2，即 ，
解得x＝－1，
故满足条件的x的值为－1.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；指数函数综合题
【解析】【分析】(1)把点的坐标代入到函数的解析式求出a的值即可。
(2)由已知条件得到方程利用整体思想令求解出结果进而得到x的值。
18．【答案】（1）解：由 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，
又因为 是奇函数，
所以 ，
解得 .
（2）解：由（1）知 ，
由 ，即
当 时， ， 不成立，
当 时， ，解得 ，
所以实数x的取值范围是 .
【知识点】函数的定义域及其求法；奇函数与偶函数的性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)由函数定义域的求法以及指数函数的单调性即可求出其定义域，再由函数的奇偶性代入数值求出a的值即可。
(2)根据题意得到关于x的不等式再对x分情况讨论结合指数函数的单调性求出x的取值范围即可。
19．【答案】（1）解：∵f（﹣1） ．
∴ ．
∴a＝2，
所以f（x）＝2x，g（x）＝（ ）x
（2）解：两个函数在同一坐标系的图象如图：
（3）解：由图象知当x＝0时，f（x）＝g（x），
若f（x）＜g（x），则x＜0，
即不等式的解集为（﹣∞，0）
【知识点】指数函数的概念与表示；指数函数的图象与性质；指数函数单调性的应用
【解析】【分析】（1）利用条件建立方程求出a的值即可求出函数的解析式（2）结合指数函数的图象和性质进行作图即可（3）结合图象，利用数形结合进行求解
20．【答案】（1）解：由题意，函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，解得 ，
又由当 时， ，
当 时，则 ，可得 ，
又 是奇函数，所以 ，
所以当 时， ．
（2）解：因为 ， 恒成立，
即 在 恒成立，可得 在 时恒成立，
因为 ，所以 ，
设函数 ，根据基本初等函数的性质，可得函数 在 上单调递减，
因为 时，所以函数 的最大值为 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 ．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；奇函数与偶函数的性质；指数函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）由函数 是奇函数，求得 ，再结合函数的奇偶性，即可求解函数 在 上的解析式；（2）把 ，不等式 恒成立，转化为 ，构造新函数 ，结合基本初等函数的性质，求得函数的最值，即可求解．
21．【答案】解：（1）当0≤t＜1时，y=8t；
当t≥1时，把A（1，8）、B（7，1）代入y=kat，得，解得，
故
（2）设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则，解得t=5，即第一次服药后5h后服第二次药，也即上午11：00服药；
（3）第二次服药3h后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：
含第二次服药量为：
所以此时两次服药剩余的量为
故该病人每毫升血液中的含药量为4.7μg
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由图象知，0≤t＜1时函数的解析式是一个线段，再结合函数y=k at（t≥1，a＞0，k，a是常数）即可得到函数的解析式；
（2）根据（1）中所求出的解析式建立不等式y≥2，解此不等式计算出第二次吃药的时间即可；
（3）根据所求出的函数解析式分别计算出两次吃药的剩余量，两者的和即为病人血液中的含药量．
1 / 1人教版2019必修一 4.2 指数函数同步练习
一、单选题
1．（2020高一上·公主岭期末）函数 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】由题意知： ，即 ，
此时 ，
所以函数恒过定点 ，
故答案为：B
【分析】由整体思想结合指数函数的图象计算出结果即可。
2．（2020高一上·池州期末）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：在同一坐标系内分别作出 以及 的图象，因为 ，所以 ．
故答案为：A
【分析】由题意利用指数函数的单调性和特殊点得出结论。
3．（2020高一上·北京期中）函数 和函数 的图象关于（ ）对称.
A．原点 B． C． 轴 D． 轴
【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为 ， ，所以 和 的图象关于 轴对称.
故答案为：C.
【分析】由函数 与 关于 轴对称，结合 ， ，可得出答案.
4．（2020高一上·娄底期中）函数 图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】根据指数函数的性质可得 递增函数，
函数 的图象是 的图象去掉 轴左侧图象，把右侧图象关于 轴对称即可.
故答案为：A
【分析】根据指数函数的图象和性质进行翻折判断即可．
5．（2020高一上·启东期中）若 ， ， ，则（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 为单调减函数，所以
因为 为单调减函数，所以 ，即
故答案为：C
【分析】首先由指数函数的单调性即可判断出a、b的大小关系，再由指数函数的特殊点的函数值判断c的大小进而得出结果。
6．（2020高一上·北京期中）已知函数 ，则函数 （ ）
A．是奇函数，且在 上单增 B．是奇函数，且在 上单减
C．是偶函数，且在 上单增 D．是偶函数，且在 上单减
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题意，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
因为 ，所以函数 为奇函数，
又由 ，
根据指数函数的图象与性质，可得函数 和 都是增函数，
所以函数 是增函数.
故答案为：A
【分析】根据函数的奇偶性的定义及指数函数的图象与性质，进行判断，即可得到答案。
7．（2020高一上·黄陵期中）若函数 是实数集 上的增函数，则实数 的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】由题意知，此函数为指数函数，且为实数集 上的增函数，所以底数 ，解得 . 故答案为：B.
【分析】根据指数函数的单调性与底数之间的关系，确定底数的取值范围，即可求出 实数 的取值范围 。
8．（2020高一上·吉安期中）若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：不等式 恒成立，即 ，即 恒成立，即 恒成立，所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据指数函数的性质，将不等式恒成立转化为 恒成立，利用判别式 ，从而求得实数 的取值范围.
二、多选题
9．（2020高一上·福州期中）下列判断正确的是（ ）
A．
B． 是定义域上的减函数
C． 是不等式 成立的充分不必要条件
D．函数 过定点
【答案】C,D
【知识点】元素与集合的关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的判断与证明；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】对于A，因为 ，A不符合题意；
对于B，因为 ，根据反比例函数图象可知，在定义域上不是递减函数，B不符合题意；
对于C， 不等式
解得： 或
由 可以推出 ，
故 是不等式 成立的充分条件
由 不能推出 ，
故 是不等式 成立的不必要条件
C符合题意；
对于D，因为函数 过定点 ，D符合题意.
综上所述，正确的是： CD.
故答案为：CD.
【分析】根据函数和集合相关知识，逐项判断，即可求得答案.
10．（2019高一上·南京期中）若指数函数 在区间 上的最大值和最小值的和为 ，则 的值可能是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A,B
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】当 时，指数函数 单调递增，所以在区间 上的最大值 ，最小值 。所以 ，求得 或者 （舍）；
当 时，指数函数 单调递减，所以在区间 上的最大值 ，
，所以所以 ，求得 （舍）或者 .
综上所述： 或者 .
故答案为：AB
【分析】分别讨论 单增和 单减两种不同的情况即可较易求解
11．（2020高一上·宁波期末）如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积 与时间t(月)的关系为： .有以下几个判断，正确的是（ ）
A．
B．浮萍从 蔓延到 只需要经过1.5个月
C．在第6个月，浮萍面积超过
D．若浮萍蔓延到 所经过的时间分别为 ，则
【答案】A,C,D
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为函数图象经过 点，所以 ，所以 ，A符合题意；
当 ，得 ，当 ，得 ，
所以 ，所以B不符合题意；
当 ，所以C符合题意；
当 ，得 ，当 ，得 ，当 ，得 ，所以 ，所以D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】由已知图像结合指数函数模型逐一分析四个选项的答案。
三、填空题
12．（2020高一上·无锡期中）函数y= 的定义域是 ．
【答案】[0，+∞）
【知识点】函数的定义域及其求法；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：由题意可得 ，
解不等式可得
所以函数的定义域是[0，+∞），
故答案为：[0，+∞）
【分析】根据偶次方根的被开方数大于等于零，得到不等式，再根据指数函数的性质解不等式即可得函数的定义域．
13．（2020高一上·漳州期末）函数 的单调递增区间为 .
【答案】（0，+∞）（或写成[0,+∞））
【知识点】复合函数的单调性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】二次函数 开口向下，且对称轴为直线 ，且 ，
∴函数 的单调递增区间为（0，+∞）.
故答案为：（0，+∞）．
【分析】根据题意由复合函数的单调性结合二次函数的图象和指数函数的图象和性质即可得出答案。
14．（2020高一上·池州期末）已知函数 （m为常数），当 时， ，若 ，则t的取值范围为 ．
【答案】[32,+∞)
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由 ，把 代入，可得 ，解得 ，
由 ，得 ，即 ．
故答案为:
【分析】根据条件求出m的值，再根据 求得t的范围。
15．（2019高一上·浙江期中）若 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】指数函数单调性的应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】令 ，∵ ，∴ ，
∵ 恒成立，∴ 恒成立，
∵ ，当且仅当 时，即 时，表达式取得最小值，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】设 ，将原不等式转化成 恒成立，从而求出 的范围．
四、解答题
16．（2020高一上·宁波期末）已知全集 ，集合 ，集合 .
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，且 ，求实数 的值.
【答案】（1）解：因为 ， 在 上单调递减，由定义域可得a>0, 则 ；
若 ，则 ，所以 或 ，
因此
（2）解：因为 ，所以 ；又 ，所以 ，因此 ，
所以有 ，解得 ，又因为a>0，
则实数 的值为
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)首先指数函数的单调性求出集合A再由函数的单调性即可求出集合B，结合补集与交集的定义即可得出结果。
(2)根据题意由集合之间的关系以及已知条件即可得到求解出a的值即可。
17．（2020高一上·唐山期中）已知函数f(x)＝ ，a为常数，且函数的图象过点(－1，2).
（1）求a的值；
（2）若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值.
【答案】（1）解：由已知得 ，
解得a＝1.
（2）解：由（1）知 ，
又g(x)＝f(x)，
则4－x－2＝ ，
，
令 ，
则t>0，t2－t－2＝0，
即(t－2)(t＋1)＝0，
又t>0，故t＝2，即 ，
解得x＝－1，
故满足条件的x的值为－1.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；指数函数综合题
【解析】【分析】(1)把点的坐标代入到函数的解析式求出a的值即可。
(2)由已知条件得到方程利用整体思想令求解出结果进而得到x的值。
18．（2020高一上·河北期中）已知函数 是奇函数，其中 是常数.
（1）求函数 的定义域和 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：由 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，
又因为 是奇函数，
所以 ，
解得 .
（2）解：由（1）知 ，
由 ，即
当 时， ， 不成立，
当 时， ，解得 ，
所以实数x的取值范围是 .
【知识点】函数的定义域及其求法；奇函数与偶函数的性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)由函数定义域的求法以及指数函数的单调性即可求出其定义域，再由函数的奇偶性代入数值求出a的值即可。
(2)根据题意得到关于x的不等式再对x分情况讨论结合指数函数的单调性求出x的取值范围即可。
19．（2019高一上·丰台期中）已知函数 ， （ 且 ）， ．
（1）求函数 和 的解析式；
（2）在同一坐标系中画出函数 和 的图象；
（3）如果 ，请直接写出 的取值范围．
【答案】（1）解：∵f（﹣1） ．
∴ ．
∴a＝2，
所以f（x）＝2x，g（x）＝（ ）x
（2）解：两个函数在同一坐标系的图象如图：
（3）解：由图象知当x＝0时，f（x）＝g（x），
若f（x）＜g（x），则x＜0，
即不等式的解集为（﹣∞，0）
【知识点】指数函数的概念与表示；指数函数的图象与性质；指数函数单调性的应用
【解析】【分析】（1）利用条件建立方程求出a的值即可求出函数的解析式（2）结合指数函数的图象和性质进行作图即可（3）结合图象，利用数形结合进行求解
20．（2020高一上·赣县月考）定义在 上的奇函数 ，已知当 时， ．
（1）求 在 上的解析式；
（2）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）解：由题意，函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，解得 ，
又由当 时， ，
当 时，则 ，可得 ，
又 是奇函数，所以 ，
所以当 时， ．
（2）解：因为 ， 恒成立，
即 在 恒成立，可得 在 时恒成立，
因为 ，所以 ，
设函数 ，根据基本初等函数的性质，可得函数 在 上单调递减，
因为 时，所以函数 的最大值为 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 ．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；奇函数与偶函数的性质；指数函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）由函数 是奇函数，求得 ，再结合函数的奇偶性，即可求解函数 在 上的解析式；（2）把 ，不等式 恒成立，转化为 ，构造新函数 ，结合基本初等函数的性质，求得函数的最值，即可求解．
21．某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y=k at（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．
（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后在过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）
【答案】解：（1）当0≤t＜1时，y=8t；
当t≥1时，把A（1，8）、B（7，1）代入y=kat，得，解得，
故
（2）设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则，解得t=5，即第一次服药后5h后服第二次药，也即上午11：00服药；
（3）第二次服药3h后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：
含第二次服药量为：
所以此时两次服药剩余的量为
故该病人每毫升血液中的含药量为4.7μg
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由图象知，0≤t＜1时函数的解析式是一个线段，再结合函数y=k at（t≥1，a＞0，k，a是常数）即可得到函数的解析式；
（2）根据（1）中所求出的解析式建立不等式y≥2，解此不等式计算出第二次吃药的时间即可；
（3）根据所求出的函数解析式分别计算出两次吃药的剩余量，两者的和即为病人血液中的含药量．
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