人教新课标A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.2直线、平面平行的判定及其性质 同步测试
一、单选题
1．若直线l不平行于平面α，且l α，则（ ）
A．α内存在直线与l异面 B．α内存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行 D．α内的直线与l都相交
【答案】A
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】直线l不平行于平面α，且l α，
则l与α相交
l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行
故B，C，D错误
故选A
【分析】根据线面关系的定义，我们根据已知中直线l不平行于平面α，且l α，判断出直线l与α的关系，利用直线与平面相交的定义，我们逐一分析四个答案，即可得到结论．
2．满足下面哪一个条件时，可以判定两个不重合的平面α与β平行（ ）
A．α内有无数个点到平面β的距离相等
B．α内的△ABC与β内的△A'B'C'全等，且AA'∥BB'∥CC'
C．α，β都与异面直线a，b平行
D．直线l分别与α，β两平面平行
【答案】C
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】解答A错，若α∩β=a，b α，a∥b，α内直线b上有无数个点到平面β的距离相等，则不能断定α∥β；B错，若α内的△ABC与β内的△A'B'C'全等，如图，在正三棱柱中构造△ABC与△A'B'C'全等，但不能断定α∥β；C正确，因为分别过异面直线a，b作平面与平面α，β相交，可得出交线相互平行，从而根据面面垂直的判定定理即可得出平面α与β平行；D错，若直线l分别与α，β两相交平面的交线平行，则不能断定α∥β；
故选C．
【分析】排除法，逐一检验答案，把不能推出α∥β的答案排除掉．排除时，可借助于立体几何中常见的几何体模型．
3．已知直线l及两个平面α、β，下列命题正确的是（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l∥β，则α⊥β
C．若l⊥α，l⊥β，则α∥β D．若l⊥α，l⊥β，则α⊥β
【答案】C
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】因为平行与同一直线的两个平面可以是相交的也可以是平行的，故A，B错．
又因为垂直与同一直线的两个平面平行，故C对，D错．
故选 C．
【分析】因为平行与同一直线的两个平面可以是相交的也可以是平行的，故A，B错．再利用垂直与同一直线的两个平面平行可得结论C对，D错．即可得到答案．
4．下列条件中，能判断两个平面平行的是（ ）
A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面
【答案】D
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：对于A，一个平面内的一条直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交．
对于B，一个平面内的两条直线平行于另一个平面，如果这两条直线平行，则这两个平面可能相交．
对于C，一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，如果这无数条直线平行，则这两个平面可能相交．
对于D，一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，满足平面与平面平行的判定定理，所以正确．
故选：D．
【分析】利用两个平面平行的判定定理判断即可．
5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥λ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
【答案】D
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】A 不正确．因为m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线．
B 不正确．因为α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行．
C 不正确．因为α，β平行与同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行．
D正确．因为垂直于同一个平面的两条直线平行．
故选 D．
【分析】由平行于同一个平面的两条直线可能相交，可能平行，也可能是异面直线，可知A 不正确．利用垂直于同一个平面的两个平面可能相交，可能平行，可知B 不正确．因为平行与同一条直线 的两个平面可能相交，可能平行，C 不正确．D正确．因为垂直于同一个平面的两条直线平行．
6．给出下列命题：
（1）平行于同一直线的两个平面平行
（2）平行于同一平面的两个平面平行
（3）垂直于同一直线的两直线平行
（4）垂直于同一平面的两直线平行
其中正确命题的序号为（ ）
A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（4） D．（1）（3）
【答案】C
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：（1）平行于同一直线的两个平面平行或相交，故（1）不正确；
（2）根据面面平行的定义，可知平行于同一平面的两个平面平行，故（2）正确；
（3）垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，故（3）不正确；
（4）根据线面平行的性质，可知垂直于同一平面的两直线平行，故（4）正确．
所以正确命题的序号为（2）（4）．
故选C．
【分析】（1）平行于同一直线的两个平面平行或相交；
（2）根据面面平行的定义，可知平行于同一平面的两个平面平行；
（3）垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面；
（4）根据线面平行的性质，可知垂直于同一平面的两直线平行．
7．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为( )
A．梯形
B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形
D．不确定
【答案】B
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】因为，长方体中相对的平面互相平行，所以，被平面截后，EF，GH平行且相等，GF，EH平行且相等，故四边形的形状为平行四边形，选B。
【分析】简单题，两平行平面被第三个平面所截，交线互相平行。
8．若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】解答：依题意，BB1的长度即A1C1到底面ABCD的距离，
∠B1AB=60°，BB1=1×tan60°= ，
故选D．
分析：画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可．
9．已知a，b是空间中两不同直线，α，β是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若直线a∥b，b α，则a∥α
B．若平面α⊥β，a⊥α，则a∥β
C．若平面α∥β，a α，b β，则a∥b
D．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β
【答案】D
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：若直线a∥b，b α，则a∥α或a α，故A不对；
若平面α⊥β，a⊥α，则a∥β或a β，故B不对；
若平面α∥β，a α，b β，则a∥b或a、b是异面直线，故C不对；
根据垂直于同一条直线的两个平面平行，可得D正确，
故选：D．
【分析】由条件利用直线和平面平行的判定定理、性质定理，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
10．如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：对于①，该正方体的对角面ADBC∥平面MNP，得出直线AB∥平面MNP；
对于②，直线AB和平面MNP不平行，因此直线AB与平面MNP相交；
对于③，易知平面PMN与正方体的侧面AB相交，得出AB与平面MNP相交；
对于④，直线AB与平面MNP内的一条直线NP平行，且直线AB 平面MNP，∴直线AB∥平面MNP；
综上，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是①④．
故选：D．
【分析】根据直线与平面平行的判定方法，得出图①④中AB∥平面MNP．
11．若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是（ ）
A．MN∥β B．MN与β相交或MN β
C．MN∥β或MN β D．MN∥β或MN与β相交或MN β
【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：∵MN是△ABC的中位线，
∴MN∥BC，
∵平面β过直线BC，
∴若平面β过直线MN，符合要求；
若平面β不过直线MN，由线线平行的判定定理MN∥β．
故选：C．
【分析】由中位线性质得MN∥BC，由此得到平面β过直线MN或MN∥β．
12．点 E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH是（ ）
A．菱形 B．梯形 C．正方形 D．平行四边形
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：如图，∵E，F，G，H分别是四边形的边AB，BC，CD，AD的中点，
∴EF∥AC，且EF=AC，GH∥AC，且GH=AC，
FG∥BD，且FG=BD，EH∥BD，且EH=BD，
∴EFGH是平行四边形．
故选：D．
【分析】由题设条件，利用三角形的中位线定理，能判断出四边形EFGH的形状．
13．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA=6，AC=9，PD=8，则BD的长为（ ）
A． B． C．或24 D．或12
【答案】C
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：连接AB、CD；
①当点P在CA的延长线上，即P在平面α与平面β的同侧时，如图1；
∵α∥β，平面PCD∩α=AB，平面PCD∩β=CD，
∴AB∥CD，∴=；
∵PA=6，AC=9，PD=8，
∴=，解得BD=；
②当点P在线段CA上，即P在平面α与平面β之间时，如图2；
类似①的方法，可得=，
∵PA=6，PC=AC﹣PA=9﹣6=3，PD=8，
∴=，解得PB=16；
∴BD=PB+PD=24；
综上，BD的长为或24．
故选：C．
【分析】根据题意，画出图形，结合图形进行分析，有点P在CA的延长线上和点P在线段CA上两种情况，分别求出BD的长即可．
14．A是平面BCD外一点，E，F，G分别是BD，DC，CA的中点，设过这三点的平面为α，则在直线AB，AC，AD，BC，BD，DC中，与平面α平行的直线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：取AB的中点H，连接HE、EF、FG、GH
∴平面HEFG为平面α
其中AB、BD、CD、AC都与平面α相交
∵E、F是BD、CD的中点
∴EF∥BC，
而EF α，BC α
∴BC∥平面α
同理可证AD∥平面α
故选C
【分析】取AB的中点H，连接HE、EF、FG、GH，根据题意可知平面HEFG为平面α，然后根据线面平行的判定定理进行证明即可．
15．已知平面α∥平面β，直线m α，直线n β，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（ ）
A．b≤a≤c B．a≤c≤b C．c≤a≤b D．c≤b≤a
【答案】D
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】由于平面α∥平面β，直线m和n又分别是两平面的直线，则c即是平面之间的最短距离．
而由于两直线不一定在同一平面内，则b一定大于c，判断a和b时，
因为B是n上任意一点，则a大于b．
故选D．
【分析】此题根据平面与平面平行的判断性质，判断c最小，再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a最大．
二、填空题
16．如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件 时，四边形EFGH为菱形．
【答案】AC=BD
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：在三棱锥A﹣BCD中，
∵E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，
∴EHBD，FGBD，∴EHFG，
EFAC，HGAC，∴EFHG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形EFGH为菱形，∴EF=EH，∴AC=BD，
∴当AC，BD满足条件AC=BD时，四边形EFGH为菱形．
故答案为：AC=BD．
【分析】由已知EHBDFG，EFACHG，从而四边形EFGH为平行四边形，由四边形EFGH为菱形，得EF=EH，由此得到AC=BD．
17．如图四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为SA上的点，当E满足条件： 时，SC∥面EBD．
【答案】SE=AE（填其它能表述E为SA中点的条件也得分）
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：∵SC∥平面EBD，SC 平面SAC，平面SAC∩平面EBD=OE，
∴SC∥OE，
又∵底面ABCD为平行四边形，O为对角线AC与BD的交点，
故O为AC的中点，
∴E为SA的中点，
故当E满足条件：SE=AE时，SC∥面EBD．
故答案为：SE=AE（填其它能表述E为SA中点的条件也得分）
【分析】由线面平行的性质定理可得SC∥OE，进而根据O为AC的中点，可得：E为SA的中点，进而得到答案．
18．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m α，n β，m∥n，则α∥β；
④若m、n是异面直线，m α，m∥β，n β，n∥α，则α∥β
上面四个命题中，其中真命题有 ．
【答案】①④
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；垂直同一条直线的两个平面平行，正确．
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；可能平面α和β相交，不正确．
③若m α，n β，m∥n，则α∥β；可能平面α和β相交，不正确．
④若m、n是异面直线，m α，m∥β，n β，n∥α，则α∥β，满足两个平面平行的判断，正确．
故答案为：①④
【分析】利用直线与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，对选项逐一判断即可．
19．如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP= ，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ= ．
【答案】 a
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，MN 平面ABCD
∴MN∥平面A1B1C1D1，又PQ=面PMN∩平面A1B1C1D1，
∴MN∥PQ．
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点
∴MN∥A1C1∥AC，
∴PQ∥AC，又AP= ，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，
∴CQ= ，从而DP=DQ= ，
∴PQ= = = a．
故答案为： a
【分析】由题设PQ在直角三角形PDQ中，故需要求出PD，QD的长度，用勾股定理在直角三角形PDQ中求PQ的长度．
20．空间四边形PABC的各边及对角线长度都相等，D、E、F、G分别是AB、BC、CA、AP的中点，下列四个结论中成立的是
①BC∥平面PDF
②DF⊥平面PAE
③平面GDF∥平面PBC
④平面PAE⊥平面ABC．
【答案】①②
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：∵空间四边形PABC的各边及对角线长度都相等，
D、E、F、G分别是AB、BC、CA、AP的中点，
∴BC∥DF，又BC不包含于平面PDF，DF 平面PDF，
∴BC∥平面PDF，故①正确；
∵DE⊥BC，AE⊥BC，DE∩AE=E，
∴BC⊥平面PAE，
∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故②正确；
∵DG∥PB，GF∥PC，DG∩GF=G，DG，GF 平面GDF，
∴平面GDF∥平面PBC，故③正确；
∵BC⊥平面PAE，BC 平面ABC，
∴平面PAE⊥平面ABC，故④正确．
故答案为：①②③④．
【分析】由BC∥DF，得BC∥平面PDF；由DE⊥BC，AE⊥BC，得BC⊥平面PAE，由DF∥BC，得到DF⊥平面PAE；由 DG∥PB，GF∥PC，DG∩GF=G，DG，GF 平面GDF，得平面GDF∥平面PBC；由BC⊥平面PAE，BC 平面ABC，得平面PAE⊥平 面ABC．
三、解答题
21．如图所示，在棱长为2cm的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作出与截面PBC1平行的截面，简单证明截面形状，并求该截面的面积．
【答案】解：取AB、C1D1的中点M、N，连结A1M、MC、CN、NA1．
由于A1N∥PC1∥MC且A1N=PC1=MC，
∴四边形A1MCN是平行四边形．
又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，A1N∩A1M=A1，
PC1∩BP=P，
∴平面A1MCN∥平面PBC1
因此，过A1点作与截面PBC1平行的截面是平行四边形．
又连结MN，作A1H⊥MN于H，由于A1M=A1N=，MN=2，
则AH=．
∴
故 S平行四边形A1MCN=2=2（cm2）．
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【分析】根据线面平行的定义和性质可以证明与截面PBC1平行的截面是平行四边形．然后求平行四边形的面积即可．
22．求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．
【答案】解：已知：如图，α∥β，AB∥CD，
且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求证：AB=CD．
证明：∵AB∥CD，
可过AB，CD可作平面γ，且平面γ与平面α和β
分别相交与AC和BD．
∵α∥β，∴BD∥AC．
∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB=CD．
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【分析】过AB，CD可作平面γ，且平面γ与平面α和β 分别相交与AC和BD，由两个平面平行的性质定理可得BD∥AC，从而得到
四边形ABCD是平行四边形，结论得证．
23．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥B1C；
（Ⅱ）求证：AC1∥平面B1CD
【答案】证明：（Ⅰ）在△ABC中，因为AB=5，AC=4，BC=3，
所以AC⊥BC．
因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以，CC1⊥AC．
因为BC∩AC=C，所以AC⊥平面BB1C1C．
所以AC⊥B1C．
（Ⅱ）连接BC1，交B1C于E．
因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，
所以侧面BB1C1C为矩形，且E为B1C中点．
又D是AB中点，所以DE为△ABC1的中位线，所以DE∥AC1．
因为DE 平面B1CD，AC1 平面B1CD，
所以，AC1∥平面B1CD．
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（Ⅰ） 利用勾股定理可得AC⊥BC，由直三棱柱的性质可得CC1⊥AC，从而得到AC⊥平面BB1C1C，进而得到AC⊥B1C．
（Ⅱ） 取B1C中点E，得到 DE为△ABC1的中位线，得到DE∥AC1，由线面平行的判定定理证得AC1∥平面B1CD．
24．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，E、F分别在线段B1C1和AC上，B1E=3EC1，AC=BC=CC1=4
（1）求证：BC⊥AC1；
（2）试探究满足EF∥平面A1ABB1的点F的位置，并给出证明．
【答案】证明：（1）∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC，
又∵AC⊥BC，AA1∩AC=A，
∴BC⊥平面AA1C1C，
∴BC⊥AC1．
（2）解法一：当AF=3FC时，EF∥平面AA1B1B．
证明如下：在平A1B1C1内过E作EG∥A1C1交A1B1于G，连接AG．
∵B1E=3EC1，∴，
又AF∥A1C1且
∴AF∥EG且AF=EG，
∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥GA，
又∵EF 面AA1B1B，AG 平面AA1B1B，
∴EF∥平面AA1B1B．
解法二：当AF=3FC时，FE∥平面A1ABB1．
证明：在平面ABC内过E作EG∥BB1交BC于G，连接FG．
∵EG∥BB1，EG A1ABB1，BB1 平面A1ABB1，
∴EG∥平面A1ABB1．
∵B1E=3EC1，∴BG=3GC．
∴FG∥AB，
又AB 平面A1ABB1，FG 平面A1ABB1．
∴FG∥平面A1ABB1．
又EG∩FG=F，
∴平面EFG∥平面A1ABB1．
∴EF∥平面A1ABB1．
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）证法一：利用线面平行的判定定理即可证明；证法二：利用面面平行的判定定理．
25．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点，求证：
（1）PQ∥平面DCC1D1
（2）EF∥平面BB1D1D．
【答案】证明：（1）连结AC、D1C，
∵ABCD是正方形，∴Q是AC的中点，
又P是AD1的中点，∴PQ∥D1C，
∵PQ 平面DCC1D1，D1C 平面DCC1D1，
∴PQ∥平面DCC1D1．
（2）证明：取CD中点G，连结EG、FG，
∵E，F分别是BC，C1D1的中点，
∴FG∥D1D，EG∥BD，
又FG∩EG=G，∴平面FGE∥平面BB1D1D，
∵EF 平面FGE，∴EF∥平面BB1D1D
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）连结AC、D1C，Q是AC的中点，从而PQ∥D1C，由此能证明PQ∥平面DCC1D1．
（2）取CD中点G，连结EG、FG，由已知得平面FGE∥平面BB1D1D，由此能证明EF∥平面BB1D1D．
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一、单选题
1．若直线l不平行于平面α，且l α，则（ ）
A．α内存在直线与l异面 B．α内存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行 D．α内的直线与l都相交
2．满足下面哪一个条件时，可以判定两个不重合的平面α与β平行（ ）
A．α内有无数个点到平面β的距离相等
B．α内的△ABC与β内的△A'B'C'全等，且AA'∥BB'∥CC'
C．α，β都与异面直线a，b平行
D．直线l分别与α，β两平面平行
3．已知直线l及两个平面α、β，下列命题正确的是（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l∥β，则α⊥β
C．若l⊥α，l⊥β，则α∥β D．若l⊥α，l⊥β，则α⊥β
4．下列条件中，能判断两个平面平行的是（ ）
A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面
5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥λ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
6．给出下列命题：
（1）平行于同一直线的两个平面平行
（2）平行于同一平面的两个平面平行
（3）垂直于同一直线的两直线平行
（4）垂直于同一平面的两直线平行
其中正确命题的序号为（ ）
A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（4） D．（1）（3）
7．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为( )
A．梯形
B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形
D．不确定
8．若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
9．已知a，b是空间中两不同直线，α，β是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若直线a∥b，b α，则a∥α
B．若平面α⊥β，a⊥α，则a∥β
C．若平面α∥β，a α，b β，则a∥b
D．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β
10．如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
11．若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是（ ）
A．MN∥β B．MN与β相交或MN β
C．MN∥β或MN β D．MN∥β或MN与β相交或MN β
12．点 E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH是（ ）
A．菱形 B．梯形 C．正方形 D．平行四边形
13．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA=6，AC=9，PD=8，则BD的长为（ ）
A． B． C．或24 D．或12
14．A是平面BCD外一点，E，F，G分别是BD，DC，CA的中点，设过这三点的平面为α，则在直线AB，AC，AD，BC，BD，DC中，与平面α平行的直线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
15．已知平面α∥平面β，直线m α，直线n β，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（ ）
A．b≤a≤c B．a≤c≤b C．c≤a≤b D．c≤b≤a
二、填空题
16．如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件 时，四边形EFGH为菱形．
17．如图四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为SA上的点，当E满足条件： 时，SC∥面EBD．
18．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m α，n β，m∥n，则α∥β；
④若m、n是异面直线，m α，m∥β，n β，n∥α，则α∥β
上面四个命题中，其中真命题有 ．
19．如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP= ，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ= ．
20．空间四边形PABC的各边及对角线长度都相等，D、E、F、G分别是AB、BC、CA、AP的中点，下列四个结论中成立的是
①BC∥平面PDF
②DF⊥平面PAE
③平面GDF∥平面PBC
④平面PAE⊥平面ABC．
三、解答题
21．如图所示，在棱长为2cm的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作出与截面PBC1平行的截面，简单证明截面形状，并求该截面的面积．
22．求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．
23．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥B1C；
（Ⅱ）求证：AC1∥平面B1CD
24．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，E、F分别在线段B1C1和AC上，B1E=3EC1，AC=BC=CC1=4
（1）求证：BC⊥AC1；
（2）试探究满足EF∥平面A1ABB1的点F的位置，并给出证明．
25．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点，求证：
（1）PQ∥平面DCC1D1
（2）EF∥平面BB1D1D．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】直线l不平行于平面α，且l α，
则l与α相交
l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行
故B，C，D错误
故选A
【分析】根据线面关系的定义，我们根据已知中直线l不平行于平面α，且l α，判断出直线l与α的关系，利用直线与平面相交的定义，我们逐一分析四个答案，即可得到结论．
2．【答案】C
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】解答A错，若α∩β=a，b α，a∥b，α内直线b上有无数个点到平面β的距离相等，则不能断定α∥β；B错，若α内的△ABC与β内的△A'B'C'全等，如图，在正三棱柱中构造△ABC与△A'B'C'全等，但不能断定α∥β；C正确，因为分别过异面直线a，b作平面与平面α，β相交，可得出交线相互平行，从而根据面面垂直的判定定理即可得出平面α与β平行；D错，若直线l分别与α，β两相交平面的交线平行，则不能断定α∥β；
故选C．
【分析】排除法，逐一检验答案，把不能推出α∥β的答案排除掉．排除时，可借助于立体几何中常见的几何体模型．
3．【答案】C
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】因为平行与同一直线的两个平面可以是相交的也可以是平行的，故A，B错．
又因为垂直与同一直线的两个平面平行，故C对，D错．
故选 C．
【分析】因为平行与同一直线的两个平面可以是相交的也可以是平行的，故A，B错．再利用垂直与同一直线的两个平面平行可得结论C对，D错．即可得到答案．
4．【答案】D
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：对于A，一个平面内的一条直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交．
对于B，一个平面内的两条直线平行于另一个平面，如果这两条直线平行，则这两个平面可能相交．
对于C，一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，如果这无数条直线平行，则这两个平面可能相交．
对于D，一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，满足平面与平面平行的判定定理，所以正确．
故选：D．
【分析】利用两个平面平行的判定定理判断即可．
5．【答案】D
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】A 不正确．因为m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线．
B 不正确．因为α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行．
C 不正确．因为α，β平行与同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行．
D正确．因为垂直于同一个平面的两条直线平行．
故选 D．
【分析】由平行于同一个平面的两条直线可能相交，可能平行，也可能是异面直线，可知A 不正确．利用垂直于同一个平面的两个平面可能相交，可能平行，可知B 不正确．因为平行与同一条直线 的两个平面可能相交，可能平行，C 不正确．D正确．因为垂直于同一个平面的两条直线平行．
6．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：（1）平行于同一直线的两个平面平行或相交，故（1）不正确；
（2）根据面面平行的定义，可知平行于同一平面的两个平面平行，故（2）正确；
（3）垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，故（3）不正确；
（4）根据线面平行的性质，可知垂直于同一平面的两直线平行，故（4）正确．
所以正确命题的序号为（2）（4）．
故选C．
【分析】（1）平行于同一直线的两个平面平行或相交；
（2）根据面面平行的定义，可知平行于同一平面的两个平面平行；
（3）垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面；
（4）根据线面平行的性质，可知垂直于同一平面的两直线平行．
7．【答案】B
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】因为，长方体中相对的平面互相平行，所以，被平面截后，EF，GH平行且相等，GF，EH平行且相等，故四边形的形状为平行四边形，选B。
【分析】简单题，两平行平面被第三个平面所截，交线互相平行。
8．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】解答：依题意，BB1的长度即A1C1到底面ABCD的距离，
∠B1AB=60°，BB1=1×tan60°= ，
故选D．
分析：画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可．
9．【答案】D
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：若直线a∥b，b α，则a∥α或a α，故A不对；
若平面α⊥β，a⊥α，则a∥β或a β，故B不对；
若平面α∥β，a α，b β，则a∥b或a、b是异面直线，故C不对；
根据垂直于同一条直线的两个平面平行，可得D正确，
故选：D．
【分析】由条件利用直线和平面平行的判定定理、性质定理，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
10．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：对于①，该正方体的对角面ADBC∥平面MNP，得出直线AB∥平面MNP；
对于②，直线AB和平面MNP不平行，因此直线AB与平面MNP相交；
对于③，易知平面PMN与正方体的侧面AB相交，得出AB与平面MNP相交；
对于④，直线AB与平面MNP内的一条直线NP平行，且直线AB 平面MNP，∴直线AB∥平面MNP；
综上，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是①④．
故选：D．
【分析】根据直线与平面平行的判定方法，得出图①④中AB∥平面MNP．
11．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：∵MN是△ABC的中位线，
∴MN∥BC，
∵平面β过直线BC，
∴若平面β过直线MN，符合要求；
若平面β不过直线MN，由线线平行的判定定理MN∥β．
故选：C．
【分析】由中位线性质得MN∥BC，由此得到平面β过直线MN或MN∥β．
12．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：如图，∵E，F，G，H分别是四边形的边AB，BC，CD，AD的中点，
∴EF∥AC，且EF=AC，GH∥AC，且GH=AC，
FG∥BD，且FG=BD，EH∥BD，且EH=BD，
∴EFGH是平行四边形．
故选：D．
【分析】由题设条件，利用三角形的中位线定理，能判断出四边形EFGH的形状．
13．【答案】C
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：连接AB、CD；
①当点P在CA的延长线上，即P在平面α与平面β的同侧时，如图1；
∵α∥β，平面PCD∩α=AB，平面PCD∩β=CD，
∴AB∥CD，∴=；
∵PA=6，AC=9，PD=8，
∴=，解得BD=；
②当点P在线段CA上，即P在平面α与平面β之间时，如图2；
类似①的方法，可得=，
∵PA=6，PC=AC﹣PA=9﹣6=3，PD=8，
∴=，解得PB=16；
∴BD=PB+PD=24；
综上，BD的长为或24．
故选：C．
【分析】根据题意，画出图形，结合图形进行分析，有点P在CA的延长线上和点P在线段CA上两种情况，分别求出BD的长即可．
14．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：取AB的中点H，连接HE、EF、FG、GH
∴平面HEFG为平面α
其中AB、BD、CD、AC都与平面α相交
∵E、F是BD、CD的中点
∴EF∥BC，
而EF α，BC α
∴BC∥平面α
同理可证AD∥平面α
故选C
【分析】取AB的中点H，连接HE、EF、FG、GH，根据题意可知平面HEFG为平面α，然后根据线面平行的判定定理进行证明即可．
15．【答案】D
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】由于平面α∥平面β，直线m和n又分别是两平面的直线，则c即是平面之间的最短距离．
而由于两直线不一定在同一平面内，则b一定大于c，判断a和b时，
因为B是n上任意一点，则a大于b．
故选D．
【分析】此题根据平面与平面平行的判断性质，判断c最小，再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a最大．
16．【答案】AC=BD
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：在三棱锥A﹣BCD中，
∵E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，
∴EHBD，FGBD，∴EHFG，
EFAC，HGAC，∴EFHG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形EFGH为菱形，∴EF=EH，∴AC=BD，
∴当AC，BD满足条件AC=BD时，四边形EFGH为菱形．
故答案为：AC=BD．
【分析】由已知EHBDFG，EFACHG，从而四边形EFGH为平行四边形，由四边形EFGH为菱形，得EF=EH，由此得到AC=BD．
17．【答案】SE=AE（填其它能表述E为SA中点的条件也得分）
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：∵SC∥平面EBD，SC 平面SAC，平面SAC∩平面EBD=OE，
∴SC∥OE，
又∵底面ABCD为平行四边形，O为对角线AC与BD的交点，
故O为AC的中点，
∴E为SA的中点，
故当E满足条件：SE=AE时，SC∥面EBD．
故答案为：SE=AE（填其它能表述E为SA中点的条件也得分）
【分析】由线面平行的性质定理可得SC∥OE，进而根据O为AC的中点，可得：E为SA的中点，进而得到答案．
18．【答案】①④
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；垂直同一条直线的两个平面平行，正确．
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；可能平面α和β相交，不正确．
③若m α，n β，m∥n，则α∥β；可能平面α和β相交，不正确．
④若m、n是异面直线，m α，m∥β，n β，n∥α，则α∥β，满足两个平面平行的判断，正确．
故答案为：①④
【分析】利用直线与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，对选项逐一判断即可．
19．【答案】 a
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，MN 平面ABCD
∴MN∥平面A1B1C1D1，又PQ=面PMN∩平面A1B1C1D1，
∴MN∥PQ．
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点
∴MN∥A1C1∥AC，
∴PQ∥AC，又AP= ，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，
∴CQ= ，从而DP=DQ= ，
∴PQ= = = a．
故答案为： a
【分析】由题设PQ在直角三角形PDQ中，故需要求出PD，QD的长度，用勾股定理在直角三角形PDQ中求PQ的长度．
20．【答案】①②
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：∵空间四边形PABC的各边及对角线长度都相等，
D、E、F、G分别是AB、BC、CA、AP的中点，
∴BC∥DF，又BC不包含于平面PDF，DF 平面PDF，
∴BC∥平面PDF，故①正确；
∵DE⊥BC，AE⊥BC，DE∩AE=E，
∴BC⊥平面PAE，
∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故②正确；
∵DG∥PB，GF∥PC，DG∩GF=G，DG，GF 平面GDF，
∴平面GDF∥平面PBC，故③正确；
∵BC⊥平面PAE，BC 平面ABC，
∴平面PAE⊥平面ABC，故④正确．
故答案为：①②③④．
【分析】由BC∥DF，得BC∥平面PDF；由DE⊥BC，AE⊥BC，得BC⊥平面PAE，由DF∥BC，得到DF⊥平面PAE；由 DG∥PB，GF∥PC，DG∩GF=G，DG，GF 平面GDF，得平面GDF∥平面PBC；由BC⊥平面PAE，BC 平面ABC，得平面PAE⊥平 面ABC．
21．【答案】解：取AB、C1D1的中点M、N，连结A1M、MC、CN、NA1．
由于A1N∥PC1∥MC且A1N=PC1=MC，
∴四边形A1MCN是平行四边形．
又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，A1N∩A1M=A1，
PC1∩BP=P，
∴平面A1MCN∥平面PBC1
因此，过A1点作与截面PBC1平行的截面是平行四边形．
又连结MN，作A1H⊥MN于H，由于A1M=A1N=，MN=2，
则AH=．
∴
故 S平行四边形A1MCN=2=2（cm2）．
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【分析】根据线面平行的定义和性质可以证明与截面PBC1平行的截面是平行四边形．然后求平行四边形的面积即可．
22．【答案】解：已知：如图，α∥β，AB∥CD，
且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求证：AB=CD．
证明：∵AB∥CD，
可过AB，CD可作平面γ，且平面γ与平面α和β
分别相交与AC和BD．
∵α∥β，∴BD∥AC．
∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB=CD．
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【分析】过AB，CD可作平面γ，且平面γ与平面α和β 分别相交与AC和BD，由两个平面平行的性质定理可得BD∥AC，从而得到
四边形ABCD是平行四边形，结论得证．
23．【答案】证明：（Ⅰ）在△ABC中，因为AB=5，AC=4，BC=3，
所以AC⊥BC．
因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以，CC1⊥AC．
因为BC∩AC=C，所以AC⊥平面BB1C1C．
所以AC⊥B1C．
（Ⅱ）连接BC1，交B1C于E．
因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，
所以侧面BB1C1C为矩形，且E为B1C中点．
又D是AB中点，所以DE为△ABC1的中位线，所以DE∥AC1．
因为DE 平面B1CD，AC1 平面B1CD，
所以，AC1∥平面B1CD．
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（Ⅰ） 利用勾股定理可得AC⊥BC，由直三棱柱的性质可得CC1⊥AC，从而得到AC⊥平面BB1C1C，进而得到AC⊥B1C．
（Ⅱ） 取B1C中点E，得到 DE为△ABC1的中位线，得到DE∥AC1，由线面平行的判定定理证得AC1∥平面B1CD．
24．【答案】证明：（1）∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC，
又∵AC⊥BC，AA1∩AC=A，
∴BC⊥平面AA1C1C，
∴BC⊥AC1．
（2）解法一：当AF=3FC时，EF∥平面AA1B1B．
证明如下：在平A1B1C1内过E作EG∥A1C1交A1B1于G，连接AG．
∵B1E=3EC1，∴，
又AF∥A1C1且
∴AF∥EG且AF=EG，
∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥GA，
又∵EF 面AA1B1B，AG 平面AA1B1B，
∴EF∥平面AA1B1B．
解法二：当AF=3FC时，FE∥平面A1ABB1．
证明：在平面ABC内过E作EG∥BB1交BC于G，连接FG．
∵EG∥BB1，EG A1ABB1，BB1 平面A1ABB1，
∴EG∥平面A1ABB1．
∵B1E=3EC1，∴BG=3GC．
∴FG∥AB，
又AB 平面A1ABB1，FG 平面A1ABB1．
∴FG∥平面A1ABB1．
又EG∩FG=F，
∴平面EFG∥平面A1ABB1．
∴EF∥平面A1ABB1．
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）证法一：利用线面平行的判定定理即可证明；证法二：利用面面平行的判定定理．
25．【答案】证明：（1）连结AC、D1C，
∵ABCD是正方形，∴Q是AC的中点，
又P是AD1的中点，∴PQ∥D1C，
∵PQ 平面DCC1D1，D1C 平面DCC1D1，
∴PQ∥平面DCC1D1．
（2）证明：取CD中点G，连结EG、FG，
∵E，F分别是BC，C1D1的中点，
∴FG∥D1D，EG∥BD，
又FG∩EG=G，∴平面FGE∥平面BB1D1D，
∵EF 平面FGE，∴EF∥平面BB1D1D
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）连结AC、D1C，Q是AC的中点，从而PQ∥D1C，由此能证明PQ∥平面DCC1D1．
（2）取CD中点G，连结EG、FG，由已知得平面FGE∥平面BB1D1D，由此能证明EF∥平面BB1D1D．
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