人教新课标A版高中数学必修5 第二章数列 2.1数列的概念与简单表示法 同步测试
一、单选题
1．数列2，5，11，20，x，47......中的x等于 （ ）
A．28 B．32 C．33 D．27
2．无穷数列1，3，6，10……的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
3．数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列则21是这个数列的( )
A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第21项
5．数列的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2019高二上·吉林期中）下列四个数中，哪一个是数列{n(n+1)}中的一项（ ）
A．380 B．39 C．35 D．23
7．下列可作为数列的通项公式的是 （ ）
A． B． C． D．
8．已知数列对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10＝( )
A．－165 B．－33 C．－30 D．－21
9．已知数列{an}中，an＝(n∈N*)，则在数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是( )
A．a1，a50 B．a1，a8 C．a8，a9 D．a9，a50
10．数列的通项公式是，若前n项和为10，则项数n为( )
A．120 B．99 C．11 D．121
11．（人教新课标A版必修5数学2.1数列的概念与简单表示法同步检测）下列有关数列的说法正确的是（ ）
①同一数列的任意两项均不可能相同；
②数列－1，0，1与数列1，0，－1是同一个数列；
③数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② B．①③ C．②③ D．③
12．已知数列{an}中，a1=3，a2=6，an+2=an+1﹣an，则a2009=（ ）
A．6 B．-6 C．3 D．-3
13．在{}中，，，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
14．已知数列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，则数列{an}的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则k的值为（ ）
A．1006 B．1007 C．1008 D．1009
二、填空题
16．（人教新课标A版必修5数学2.1数列的概念与简单表示法同步检测）数列 ……的一个通项公式为
17．数列的一个通项公式为an=
18．（人教新课标A版必修5数学2.1数列的概念与简单表示法同步检测）数列 ，3， ， ， ，…，则9是这个数列的第 项．
19．数列{an}中，an+1=an+2﹣an，a1=2，a2=5，则a5为
20．（2016高二下·昌平期中）已知数列{an}的每一项均为正数，a1=1，a2n+1=an2+1（n=1，2…），试归纳成数列{an}的一个通项公式为 ．
三、解答题
21．已知数列{an}满足a1=4，an+1﹣an=3，试写出这个数列的前6项并猜想该数列的一个通项公式．
22．数列{an}的通项公式是an=n2﹣7n+6．
（1）这个数列的第4项是多少？
（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
（3）该数列从第几项开始各项都是正数？
23．已知数列{an}的前n项和为sn且sn=2n2﹣30n．
（1）求出它的通项公式；
（2）求使得sn最小的序号n的值．
24．已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+3，求这个数列的通项公式．
四、综合题
25．（人教新课标A版必修5数学2.1数列的概念与简单表示法同步检测）一列火车从重庆驶往北京，沿途有n个车站（包括起点站重庆和终点站北京）．车上有一邮政车厢，每停靠一站便要卸下火车已经过的各站发往该站的邮袋各1个，同时又要装上该站发往以后各站的邮袋各1个，设从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋ak个（k=1，2，…，n）．
（1）求数列{ak}的通项公式；
（2）当k为何值时，ak的值最大，求出ak的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【分析】通过观察可知，由于该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是3的一倍，二倍，三倍…，故由此递推下去即可求出第五项x的值．
【解答】∵5-2=3=1×3，11-5=6=2×3，20-11=9=3×3，
∴x-20=4×3=12，47-x=5×3=15，
∴x=32
故答案为32
2．【答案】C
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】法一：(排除法)：分别可排除A，B，D，所以选C.
法二：（累加法）：
分别相加可得
3．【答案】A
【知识点】数列的函数特性
【解析】【分析】数列中正负（先正后负）项间隔出现，必有，而数列1，3，5，7，9，……的一个通项公式为，所以数列的一个通项公式为，故选A.
4．【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】根据数列前几项，可判断数列的通项公式为，假设21为数列的第n项，则，解得，n=11。故选B。
【分析】本题考查了不完全归纳法求数列的通项公式，做题时要认真观察，找到规律．
5．【答案】D
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【分析】因为数列中变形为可知分母中为奇数3，5，7，9..2n+1分子中为(n+1)2-1=n2+2n，即为22-1，32-1，42-1，…，那么项前面有正负项交替出现，则有一个摆动数列（-1)n，根据这个规律可知其通项公式为，选D.
【点评】解决该试题的关键是观察数列的前几项的分子和分母的特点进而得到解析式。
6．【答案】A
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】由n（n+1)=380，有n=19．所以A正确； n（n+1)=39，n（n+1)=35，n（n+1)=23均无整数解，则B、C、D都不正确．故选A．
【分析】分别让选项中的数值等于n（n+1)，求出n是自然数时的这一项，就是符合要求的选项．
7．【答案】C
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【分析】由数列的项的变化规律可以看出，1，0交错出现，由此规律去对四个选项进行验证即可得出正确答案
【解答】A选项不正确，数列第二项不是1；
B选项不正确，其对应的首项是0；
C选项正确，验证知恰好能表示这个数列；
D选项不正确，其对应的第二项为1，不合题意．
故选C
【点评】本题考查数列的概念及数列表示法，求解的关键是从数列的前几项中发现数列各项变化的规律，利用此规律去验证四个选项．
8．【答案】C
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【分析】根据题目所给的恒成立的式子ap+q=ap+aq，给任意的p，q∈N*，我们可以先算出a4，再算出a8，最后算出a10，也可以用其他的赋值过程，但解题的原理是一样的．
【解答】∵a4=a2+a2=-12，
∴a8=a4+a4=-24，
∴a10=a8+a2=-30，
故选C
9．【答案】C
【知识点】数列的函数特性
【解析】【分析】令an= =1+，根据＞，8＜＜9，我们易判断数列各项的符号及单调性，进而得到答案．
【解答】∵an= =1+ ，（n∈N+)，
∵＞，8＜＜9
∴数列的前8项小于1且递减，从第9项开始大于1且递减
故数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是a8，a9
故选C
10．【答案】A
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】根据已知条件，由于数列的通项公式是，则可知
由于前项和为，则可知，故选A.
【分析】解决该试题的关键是能利用数列的通项公式，进行化简变形，运用有理化的思想得到裂项求和来得到求和，属于基础题。
11．【答案】D
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】①是错误的，例如无穷个7构成的常数列7，7，7，…的各项都是7；②是错误的，数列－1，0，1与数列1，0，－1各项的顺序不同，即表示不同的数列；③是正确的，数列中的每一项都与它的序号有关。故选：D．
【分析】数列的分类，按项数分：项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列；按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，摆动数列，常数列．
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列；
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列；
常数列：各项都相等的数列．
12．【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】由条件an+2=an+1﹣an可得：an+6=an+5﹣an+4
=（an+4﹣an+3）﹣an+4=﹣an+3=﹣（an+2﹣an+1）
=﹣[（an+1﹣an）﹣an+1]=an，
于是可知数列{an}的周期为6，
∴a2009=a5，又a1=3，a2=6，
∴a3=a2﹣a1=3，a4=a3﹣a2=﹣3，
故a2009=a5=a4﹣a3=﹣6．
故选B．
【分析】由已知条件变形可得数列{an}的周期为6，可得a2009=a5，在由已知条件求得a5即可
13．【答案】C
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】， ．
∴n=23．则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是和，选C
【分析】考查数列的项的符号问题，关键是对于数列的通项公式的求解，属于基础题。
14．【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】∵2nan+1=（n+1）an，
∴，
∴数列{}是等比数列，首项，公比为．
∴=，
∴．
故选：B．
【分析】由2nan+1=（n+1）an，变形为，利用等比数列的通项公式即可得出
15．【答案】C
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】由等差数列的求和公式和性质可得S2014
==1007（a1007+a1008）＞0，
∴a1007+a1008＞0
同理由S2015＜0可得2015a1008＜0，可得a1008＜0，
∴a1007＞0，a1008＜0，且|a1007|＞|a1008|
∵对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，
∴k的值为1008
故选：C．
【分析】由等差数列的求和公式和性质可得a1007＞0，a1008＜0，且|a1007|＞|a1008|，由题意易得结论．
16．【答案】
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】数列中正负（先正后负）项间隔出现，必有 ，而数列1，3，5，7，9，……的一个通项公式为 ，所以数列 的一个通项公式为 ，故选答案为： ．
【分析】本题主要考查了数字变化的规律，根据数字之间的联系，能够掌握其内在规律，求出通项公式即可
17．【答案】
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】根据题意，所给数列的各项分母依次为2、3、4、5…，为n+1，
而各项的分子依次为3、5、7、9…，为2n+2，
则各项可以用表示，即一个通项公式为，
故答案为：．
【分析】根据题意，分析数列的各项的分母与分母的变化规律，进而用含有n的式子表示出来，即可得答案．
18．【答案】14
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】 由数列的前五项可归纳出数列的通项公式为：
令 ，化为： ，得 ，所以，9是这个数列的第14项，
故答案为14．
【分析】本题主要考查了数字变化的规律，根据数字之间的联系，能够掌握其内在规律，求出通项公式即可．
19．【答案】19
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：∵an+1=an+2﹣an，a1=2，a2=5，
∴an+2=an+1+an，
即a3=a2+a1=2+5=7，
a4=a3+a2=7+5=12，
a5=a4+a3=12+5=19，
故答案为；19．
【分析】利用递推数列，直接进行递推即可得到结论．
20．【答案】an=
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：∵a1=1，an+12=an2+1，即an+12﹣an2=1，
∴数列{ }是等差数列，公差为1，首项为1．
∴ ，an＞0，
∴an= ．
故答案为：an= ．
【分析】由a1=2，an+12=an2+1，即an+12﹣an2=1，可得数列{ }是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出结论．
21．【答案】【解答】由已知，得a1=4，an+1=an+3，
∴a2=a1+3=4+3=7，
a3=a2+3=7+3=10，
a4=a3+3=10+3=13，
a5=a4+3=13+3=16，
a6=a5+3=16+3=19．
由以上各项猜测数列的通项公式是an=3n+1．
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【分析】利用数列{an}满足a1=4，an+1﹣an=3，代入计算，可得这个数列的前6项，从而猜想该数列的一个通项公式．
22．【答案】【解答】（1）∵an=n2﹣7n+6，∴=﹣6．∴这个数列的第4项是﹣6．（2）解方程n2﹣7n+6=150，得n=16，或n=﹣9，∵n∈N*，∴150是这个数列的项，它是第16项．（3）由an=n2﹣7n+6≥0，得n≤1，或n≥6．∴数列从第7项开始各项都是正数．
【知识点】数列的函数特性
【解析】【分析】数列{an}的通项公式是an=n2﹣7n+6求解．
23．【答案】【解答】（1）当n=1时，a1=S1=2﹣30=﹣28；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣30n﹣[2（n﹣1）2﹣30（n﹣1）]=4n﹣32．当n=1时，上式成立．∴an=4n﹣32．（2）Sn=2n2﹣30n=．∴当n=7或8时，Sn取得最小值．
【知识点】数列的函数特性
【解析】【分析】（1）利用“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1”即可得出；
（2）配方利用二次函数的单调性即可得出．
24．【答案】【解答】（1）当n=1时，a1=S1=，（2）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n+3﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+3]=n+．经检验，a1=，不满足上式．所以这个数列的通项公式an=．
【知识点】数列的函数特性
【解析】【分析】根据数列项和前n项和之间的关系进行求解即可．
25．【答案】（1）解：a1=n﹣1，考察相邻两站ak，ak﹣1之间的关系，
由题意知 k= k﹣1﹣（k﹣1）+（n﹣k），∴k﹣ k﹣1=（n+1）﹣2k（k≥2）．
依次让k取2，3，4，…，k得k﹣1个等式，将这k﹣1个等式相加，得
k=nk﹣k2（n，k∈N+，1≤k≤n）．
（2）解： ，当n为偶数时，取k= ，ak取得最大值 ；当n为奇数时，取k= 或 ， ak取得最大值 ．
【知识点】数列的函数特性
【解析】【分析】本题考查二次函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列的性质和应用．
1 / 1人教新课标A版高中数学必修5 第二章数列 2.1数列的概念与简单表示法 同步测试
一、单选题
1．数列2，5，11，20，x，47......中的x等于 （ ）
A．28 B．32 C．33 D．27
【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【分析】通过观察可知，由于该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是3的一倍，二倍，三倍…，故由此递推下去即可求出第五项x的值．
【解答】∵5-2=3=1×3，11-5=6=2×3，20-11=9=3×3，
∴x-20=4×3=12，47-x=5×3=15，
∴x=32
故答案为32
2．无穷数列1，3，6，10……的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】法一：(排除法)：分别可排除A，B，D，所以选C.
法二：（累加法）：
分别相加可得
3．数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数列的函数特性
【解析】【分析】数列中正负（先正后负）项间隔出现，必有，而数列1，3，5，7，9，……的一个通项公式为，所以数列的一个通项公式为，故选A.
4．已知数列则21是这个数列的( )
A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第21项
【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】根据数列前几项，可判断数列的通项公式为，假设21为数列的第n项，则，解得，n=11。故选B。
【分析】本题考查了不完全归纳法求数列的通项公式，做题时要认真观察，找到规律．
5．数列的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【分析】因为数列中变形为可知分母中为奇数3，5，7，9..2n+1分子中为(n+1)2-1=n2+2n，即为22-1，32-1，42-1，…，那么项前面有正负项交替出现，则有一个摆动数列（-1)n，根据这个规律可知其通项公式为，选D.
【点评】解决该试题的关键是观察数列的前几项的分子和分母的特点进而得到解析式。
6．（2019高二上·吉林期中）下列四个数中，哪一个是数列{n(n+1)}中的一项（ ）
A．380 B．39 C．35 D．23
【答案】A
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】由n（n+1)=380，有n=19．所以A正确； n（n+1)=39，n（n+1)=35，n（n+1)=23均无整数解，则B、C、D都不正确．故选A．
【分析】分别让选项中的数值等于n（n+1)，求出n是自然数时的这一项，就是符合要求的选项．
7．下列可作为数列的通项公式的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【分析】由数列的项的变化规律可以看出，1，0交错出现，由此规律去对四个选项进行验证即可得出正确答案
【解答】A选项不正确，数列第二项不是1；
B选项不正确，其对应的首项是0；
C选项正确，验证知恰好能表示这个数列；
D选项不正确，其对应的第二项为1，不合题意．
故选C
【点评】本题考查数列的概念及数列表示法，求解的关键是从数列的前几项中发现数列各项变化的规律，利用此规律去验证四个选项．
8．已知数列对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10＝( )
A．－165 B．－33 C．－30 D．－21
【答案】C
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【分析】根据题目所给的恒成立的式子ap+q=ap+aq，给任意的p，q∈N*，我们可以先算出a4，再算出a8，最后算出a10，也可以用其他的赋值过程，但解题的原理是一样的．
【解答】∵a4=a2+a2=-12，
∴a8=a4+a4=-24，
∴a10=a8+a2=-30，
故选C
9．已知数列{an}中，an＝(n∈N*)，则在数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是( )
A．a1，a50 B．a1，a8 C．a8，a9 D．a9，a50
【答案】C
【知识点】数列的函数特性
【解析】【分析】令an= =1+，根据＞，8＜＜9，我们易判断数列各项的符号及单调性，进而得到答案．
【解答】∵an= =1+ ，（n∈N+)，
∵＞，8＜＜9
∴数列的前8项小于1且递减，从第9项开始大于1且递减
故数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是a8，a9
故选C
10．数列的通项公式是，若前n项和为10，则项数n为( )
A．120 B．99 C．11 D．121
【答案】A
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】根据已知条件，由于数列的通项公式是，则可知
由于前项和为，则可知，故选A.
【分析】解决该试题的关键是能利用数列的通项公式，进行化简变形，运用有理化的思想得到裂项求和来得到求和，属于基础题。
11．（人教新课标A版必修5数学2.1数列的概念与简单表示法同步检测）下列有关数列的说法正确的是（ ）
①同一数列的任意两项均不可能相同；
②数列－1，0，1与数列1，0，－1是同一个数列；
③数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② B．①③ C．②③ D．③
【答案】D
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】①是错误的，例如无穷个7构成的常数列7，7，7，…的各项都是7；②是错误的，数列－1，0，1与数列1，0，－1各项的顺序不同，即表示不同的数列；③是正确的，数列中的每一项都与它的序号有关。故选：D．
【分析】数列的分类，按项数分：项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列；按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，摆动数列，常数列．
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列；
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列；
常数列：各项都相等的数列．
12．已知数列{an}中，a1=3，a2=6，an+2=an+1﹣an，则a2009=（ ）
A．6 B．-6 C．3 D．-3
【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】由条件an+2=an+1﹣an可得：an+6=an+5﹣an+4
=（an+4﹣an+3）﹣an+4=﹣an+3=﹣（an+2﹣an+1）
=﹣[（an+1﹣an）﹣an+1]=an，
于是可知数列{an}的周期为6，
∴a2009=a5，又a1=3，a2=6，
∴a3=a2﹣a1=3，a4=a3﹣a2=﹣3，
故a2009=a5=a4﹣a3=﹣6．
故选B．
【分析】由已知条件变形可得数列{an}的周期为6，可得a2009=a5，在由已知条件求得a5即可
13．在{}中，，，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】C
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】， ．
∴n=23．则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是和，选C
【分析】考查数列的项的符号问题，关键是对于数列的通项公式的求解，属于基础题。
14．已知数列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，则数列{an}的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】∵2nan+1=（n+1）an，
∴，
∴数列{}是等比数列，首项，公比为．
∴=，
∴．
故选：B．
【分析】由2nan+1=（n+1）an，变形为，利用等比数列的通项公式即可得出
15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则k的值为（ ）
A．1006 B．1007 C．1008 D．1009
【答案】C
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】由等差数列的求和公式和性质可得S2014
==1007（a1007+a1008）＞0，
∴a1007+a1008＞0
同理由S2015＜0可得2015a1008＜0，可得a1008＜0，
∴a1007＞0，a1008＜0，且|a1007|＞|a1008|
∵对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，
∴k的值为1008
故选：C．
【分析】由等差数列的求和公式和性质可得a1007＞0，a1008＜0，且|a1007|＞|a1008|，由题意易得结论．
二、填空题
16．（人教新课标A版必修5数学2.1数列的概念与简单表示法同步检测）数列 ……的一个通项公式为
【答案】
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】数列中正负（先正后负）项间隔出现，必有 ，而数列1，3，5，7，9，……的一个通项公式为 ，所以数列 的一个通项公式为 ，故选答案为： ．
【分析】本题主要考查了数字变化的规律，根据数字之间的联系，能够掌握其内在规律，求出通项公式即可
17．数列的一个通项公式为an=
【答案】
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】根据题意，所给数列的各项分母依次为2、3、4、5…，为n+1，
而各项的分子依次为3、5、7、9…，为2n+2，
则各项可以用表示，即一个通项公式为，
故答案为：．
【分析】根据题意，分析数列的各项的分母与分母的变化规律，进而用含有n的式子表示出来，即可得答案．
18．（人教新课标A版必修5数学2.1数列的概念与简单表示法同步检测）数列 ，3， ， ， ，…，则9是这个数列的第 项．
【答案】14
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】 由数列的前五项可归纳出数列的通项公式为：
令 ，化为： ，得 ，所以，9是这个数列的第14项，
故答案为14．
【分析】本题主要考查了数字变化的规律，根据数字之间的联系，能够掌握其内在规律，求出通项公式即可．
19．数列{an}中，an+1=an+2﹣an，a1=2，a2=5，则a5为
【答案】19
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：∵an+1=an+2﹣an，a1=2，a2=5，
∴an+2=an+1+an，
即a3=a2+a1=2+5=7，
a4=a3+a2=7+5=12，
a5=a4+a3=12+5=19，
故答案为；19．
【分析】利用递推数列，直接进行递推即可得到结论．
20．（2016高二下·昌平期中）已知数列{an}的每一项均为正数，a1=1，a2n+1=an2+1（n=1，2…），试归纳成数列{an}的一个通项公式为 ．
【答案】an=
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：∵a1=1，an+12=an2+1，即an+12﹣an2=1，
∴数列{ }是等差数列，公差为1，首项为1．
∴ ，an＞0，
∴an= ．
故答案为：an= ．
【分析】由a1=2，an+12=an2+1，即an+12﹣an2=1，可得数列{ }是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出结论．
三、解答题
21．已知数列{an}满足a1=4，an+1﹣an=3，试写出这个数列的前6项并猜想该数列的一个通项公式．
【答案】【解答】由已知，得a1=4，an+1=an+3，
∴a2=a1+3=4+3=7，
a3=a2+3=7+3=10，
a4=a3+3=10+3=13，
a5=a4+3=13+3=16，
a6=a5+3=16+3=19．
由以上各项猜测数列的通项公式是an=3n+1．
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【分析】利用数列{an}满足a1=4，an+1﹣an=3，代入计算，可得这个数列的前6项，从而猜想该数列的一个通项公式．
22．数列{an}的通项公式是an=n2﹣7n+6．
（1）这个数列的第4项是多少？
（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
（3）该数列从第几项开始各项都是正数？
【答案】【解答】（1）∵an=n2﹣7n+6，∴=﹣6．∴这个数列的第4项是﹣6．（2）解方程n2﹣7n+6=150，得n=16，或n=﹣9，∵n∈N*，∴150是这个数列的项，它是第16项．（3）由an=n2﹣7n+6≥0，得n≤1，或n≥6．∴数列从第7项开始各项都是正数．
【知识点】数列的函数特性
【解析】【分析】数列{an}的通项公式是an=n2﹣7n+6求解．
23．已知数列{an}的前n项和为sn且sn=2n2﹣30n．
（1）求出它的通项公式；
（2）求使得sn最小的序号n的值．
【答案】【解答】（1）当n=1时，a1=S1=2﹣30=﹣28；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣30n﹣[2（n﹣1）2﹣30（n﹣1）]=4n﹣32．当n=1时，上式成立．∴an=4n﹣32．（2）Sn=2n2﹣30n=．∴当n=7或8时，Sn取得最小值．
【知识点】数列的函数特性
【解析】【分析】（1）利用“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1”即可得出；
（2）配方利用二次函数的单调性即可得出．
24．已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+3，求这个数列的通项公式．
【答案】【解答】（1）当n=1时，a1=S1=，（2）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n+3﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+3]=n+．经检验，a1=，不满足上式．所以这个数列的通项公式an=．
【知识点】数列的函数特性
【解析】【分析】根据数列项和前n项和之间的关系进行求解即可．
四、综合题
25．（人教新课标A版必修5数学2.1数列的概念与简单表示法同步检测）一列火车从重庆驶往北京，沿途有n个车站（包括起点站重庆和终点站北京）．车上有一邮政车厢，每停靠一站便要卸下火车已经过的各站发往该站的邮袋各1个，同时又要装上该站发往以后各站的邮袋各1个，设从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋ak个（k=1，2，…，n）．
（1）求数列{ak}的通项公式；
（2）当k为何值时，ak的值最大，求出ak的最大值．
【答案】（1）解：a1=n﹣1，考察相邻两站ak，ak﹣1之间的关系，
由题意知 k= k﹣1﹣（k﹣1）+（n﹣k），∴k﹣ k﹣1=（n+1）﹣2k（k≥2）．
依次让k取2，3，4，…，k得k﹣1个等式，将这k﹣1个等式相加，得
k=nk﹣k2（n，k∈N+，1≤k≤n）．
（2）解： ，当n为偶数时，取k= ，ak取得最大值 ；当n为奇数时，取k= 或 ， ak取得最大值 ．
【知识点】数列的函数特性
【解析】【分析】本题考查二次函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列的性质和应用．
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