1.2 矩形的性质与判定(第2课时) 课件(共36张PPT)

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名称 1.2 矩形的性质与判定(第2课时) 课件(共36张PPT)
格式 pptx
文件大小 2.0MB
资源类型 试卷
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2022-07-30 19:38:44

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文档简介

(共36张PPT)
九上数学同步优质课件
北师大版九年级上册
北师大版九年级上册数学教学课件
第一章 特殊平行四边形
1.2 矩形的性质与判定(第2课时)
精品教学课件
1.理解并掌握矩形的判定方法.(重点)
2.能应用矩形的判定解决几何证明题和计算题.(难点)
学习目标
矩形的性质
轴对称 中心对称图形,轴对称图形
边 对边平行且相等
角 四个角都是直角
对角线 相等 且互相平分
直角三角形斜边上中线的性质 :
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
一、复习回顾
A
D
C
B
A
B
C
O
矩形判定的定理及其证明
考点一
活动1: 利用一个活动的平行四边形教具演示,拉动一对不相邻的顶点时, 注意观察两条对角线的长度.
问题1:我们会看到对角线会随着∠α变化而变化,当两条对角线长度相等时,平行四边形有什么特征?
α
讲授新课
已知:如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.
求证:□ABCD是矩形.
证明:∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC = ∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC + ∠DCB = 180°,
∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形(矩形的定义).
猜想:当对角线相等时,该平行四边形可能是矩形.
A
B
C
D
对角线相等的平行四边形是矩形.
定理
活动2: 李芳同学通过画“边-直角、边-直角、边-直角、边”这样四步画出一个四边形.




问题2:李芳觉得按照以上步骤可以得到一个矩形?你认为她的判断正确吗?如果正确,你能证明吗?
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证:四边形ABCD是矩形.
猜想:当三个角都是直角,该四边形可能是矩形.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
有三个角是直角的四边形是矩形.
定理
例1:如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O , △ABO是等边三角形, AB=4,求□ABCD的面积.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA= OC,OB = OD.
又∵△ABO是等边三角形,
∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°.
∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8.
定理的应用
考点二
典例精析
A
B
C
D
O
∴□ABCD是矩形 (对角线相等的平行四边形是矩形).
∴∠ABC=90°(矩形的四个角都是直角) .
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB2 + BC2 =AC2 ,
∴BC= .
∴S□ABCD=AB·BC=4× =
A
B
C
D
O
例2:如图,在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点,以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD , EC.
(1)求证:△ADC≌△ECD;
(2)若BD=CD,求证:四边形ADCE是矩形.
证明:(1)∵△ABC是等腰三角形,
∴∠B=∠ACB.
又∵四边形ABDE是平行四边形,
∴∠B=∠EDC,AB=DE,
∴∠ACB=∠EDC,
∴△ADC≌△ECD.
A
D
C
E
B
(2)∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.
∵四边形ABDE是平行四边形,
∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC,
∴四边形ADCE是平行四边形.
而∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
A
D
C
E
B
1.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的角平分线,则四边形ABCD是( )
A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
C
当堂练习
2.如图,O是菱形ABCD对角线的交点,作BE∥AC,CE∥BD,BE、CE交于点E,四边形CEBO是矩形吗?说出你的理由.
D
A
B
C
E
O
解:四边形CEBO是矩形.
理由如下:已知四边形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
∴∠BOC=90°.
∵BE∥AC,CE∥BD,
∴四边形CEBO是平行四边形.
∴四边形CEBO是矩形(矩形的定义).
3、如图在□ABCD中,对角线AC和BD相较于点O,△ABO是等边三角形,AB=4,求□ABCD的面积.
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA= AC,
OB= BD.
∵ △ABO是等边三角形,
∴ OA=OB=AB=4,
∴ AC=BD=8,
∴四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°.
在Rt △ABOC中,由勾股定理,得
SABCD=BC·AB=
4、如图,在  ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=50°.求∠OAB的度数.
 
A 
B 
C 
D 
O
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC= AC,
OB=OD= BD.
又∵OA=OD,
∴AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°.
又∵∠OAD=50°,
∴∠OAB=40°.
5、如图,在□ ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,延长OA到N,使ON=OB,延长OC至M,使CM=AN.
求证:四边形NDMB为矩形.
证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AO=OC,OD=OB.
∵AN=CM, ∴ON=OM
∴四边形NDMB为平行四边形,
∵ ON=OB ,∴ 2ON=2OB
即MN=BD
∴平行四边形NDMB为矩形.
课后作业
1.下列说法正确的是( ).
A.有一个角是直角的四边形一定是矩形
B.有一组对角是直角的四边形一定是矩形
C.有三个角相等的四边形一定是矩形
D.对角互补的平行四边形是矩形
D
2.一个木匠要制作矩形踏板.他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次,就能得到矩形踏板.理由是: .
有三个角是直角的四边形是矩形.
3.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=5,BC=12,AC=13.
求证:四边形ABCD是矩形.
证明:∵AB∥CD,∠BAD=90°,
∴∠ADC=90°.
又∵△ABC中,AB=5,BC=12,AC=13,
满足132=52+122,即
∴△ABC是直角三角形,且∠B=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
4.如图,△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,AE是△BAC的外角平分线,DE∥AB交AE于点E,求证:四边形ADCE是矩形.
证明:∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠B=∠ACB,BD=DC.
∵AE是∠BAC的外角平分线,
∴∠FAC=2∠EAC
∵∠FAC=2∠B
∴∠B=∠EAC,
∴AE∥CD,又∵DE∥AB,
∴四边形AEDB是平行四边形,
∴AE ∥ BD, AE = BD,又∵BD=DC,
∴ AE ∥ DC, AE = DC,
故四边形ADCE是平行四边形.
又∵∠ADC=90°,
∴平行四边形ADCE是矩形.
5:如图,等腰△ABC中,AB=AC,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.
求证:四边形EDNM是矩形.
证明:∵D,E分别是AC,AB边上的中点,
∴ ED∥BC,ED= BC.
∵点M,N分别为线段BO和CO的中点,
∴MN∥BC,MN= BC. OM=BM,ON=CN,
∴ED∥MN,ED=MN.
∴四边形EDNM是平行四边形.
∴OE=ON,OD=OM.
∵AB=AC,BD,CE分别是AC,AB边上的中点∴BD=CE,即EO+ON+CN=BM+OM+OD.
∴3OE=3OM,即OE=OM.
又∵DM=2OM,EN=2OE,∴DM=EN.
∴四边形EDNM是矩形.
6:如图,四边形ABCD是矩形,把矩形沿AC折叠,点B落在点E处,AE与DC的交点为O,连接DE. 求证:(1)△ADE≌△CED;(2)DE∥AC.
解:(1)∵AB∥CD
∴∠CAB=∠DCA
由题意可知,∠CAB=∠CAE
∴∠CAE=∠DCA
即AO=CO
又∵AB=AE=CD
∴DO=EO即∠DEO=∠ODE
在△ADE和△CED中
∴△ADE≌△CED
(2)∵△ADE≌△CED,∴∠EDC=∠DEA.
又∵△ACE与△ACB关于AC所在直线对称,
∴∠OAC=∠CAB.
∵∠OCA=∠CAB,
∴∠OAC=∠OCA.
∵∠AOC=∠DOE,
即180°-2∠OAC=180°-2∠DEA,∴∠OAC=∠DEA.
∴DE∥AC.
7.如图,点D是△ABC的边AB上一点,CN∥AB,DN交AC于点M,MA=MC.
(1)证明四边形ADCN是平行四边形
(2)若∠AMD=2∠MCD,求证:四边形ADCN是矩形. 
解:(1)∵CN∥AB,MA=MC
∴易证△AMD≌△CMN
∴DM=NM
即可得到四边形ADCN是平行四边形;
(2)∵∠AMD=2∠MCD,
∠AMD=∠MCD+∠MDC,
∴∠MCD=∠MDC,
∴MD=MC,
由(1)知四边形ADCN是平行四边形,
∴MD=MN=MA=MC,
∴AC=DN,
∴四边形ADCN是矩形. 
8.如图,在△ABC中,D为BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系?请说明理由;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?并说明理由.
解:(1)BD=CD.理由如下:
∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DCE.
∵E是AD的中点,
∴AE=DE.
在△AEF和△DEC中,
∠AFE=∠DCE
AE=DE.
∠AEF=∠DEC
∴△AEF≌△DEC(AAS),
∴AF=DC.
∵AF=BD,
∴BD=DC;
(2)当△ABC满足AB=AC时,
四边形AFBD是矩形.理由如下:
∵AF∥BD,AF=BD,
∴四边形AFBD是平行四边形.
∴AB=AC,BD=DC,
∴∠ADB=90°.
∴四边形AFBD是矩形.
课堂小结
矩形的性质 矩形的判定方法
对称性 中心对称图形,轴对称图形 /
边 对边平行且相等 /
角 四个角都是直角 ①有一个角是直角的平行四边形是矩形
②有三个角是直角的四边形是矩形
对角线 相等 且互相平分 对角线相等的平行四边形是矩形
矩形的判定方法 几何语言
定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵□ABCD, ∠A=90°,
∴ 四边形ABCD是矩形
定理 对角线相等的平行四边形是矩形 ∵□ABCD, AC=BD,
∴ 四边形ABCD是矩形
定理 有三个角是直角的四边形是矩形 ∵四边形ABCD中,
∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形.
谢谢
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