1.1 菱形的性质与判定（第1课时） 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
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北师大版九年级上册
北师大版九年级上册数学教学课件
第一章 特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定（第1课时）
精品教学课件
1.掌握菱形的概念，分辨其与平行四边形的关系；
2.探究并掌握证明菱形的性质定理.（重点）
3.学会运用菱形的性质定理解决问题.（难点）
学习目标
课程回顾：观察下图，总结一下平行四边形的概念，它有哪些性质呢？
平行四边形的性质：
边：对边平行且相等.
对角线：相互平分.
角：对角相等,邻角互补.
新课导入
平行四边形的判定：
定义判定：两组对边平行
性质判定：一组对边平行且相等
对角线判定：对角线平分
活动: 观察下列图片， 找出你所熟悉的图形.
问题1: 观察上图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么 样的共同特征？
平行四边形
菱形
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
考点一 菱形的概念及其与平行四边形的关系
讲授新课
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形.
问题2: 菱形与平行四边形有什么关系？
归纳
平行四边形
菱形
平行四边形
1.做一做:请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：
问题1:菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称 轴？对称轴之间有什么位置关系？
问题2:菱形中有哪些相等的线段？
考点二 菱形的性质探究和证明
2.发现菱形的性质：
菱形是轴对称图形，有两条对称轴(对称轴直线AC和直线BD).
菱形四条边都相等(AB=BC=CD=AD).
菱形的对角线互相垂直(AC⊥BD).
A
B
C
O
D
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交 于点O.
求证:(1）AB = BC = CD =AD；
（2）AC⊥BD.
3.证明菱形性质:
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD;
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
（2）∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴OB = OD . （菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD,
∴AO⊥BD,
即AC⊥BD.
A
B
C
O
D
4.归纳结论
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直.
角：对角相等，邻角互补.
边：对边平行且相等.
对角线：相交并相互平分.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
考点三 菱形面积的计算
探究新知
问题1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢
能.过点A作AE⊥BC于点E,则S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
E
问题2 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
探究新知
(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；
(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；
(3)两条对角线长度乘积的一半．
归纳总结
菱形的面积计算方法：
O
C
B
D
A
┓
例：如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm，求：（1）对角线AC的长度；
解：∵四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点E，
∴AC=2AE=2×12=24(cm)（菱形的对角线互相平分）.
∴∠AED=90°（菱形的对角线互相垂直）,
DE= BD= ×10=5cm（菱形的对角线互相平分），
考点四 求线段长度
例： 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ， ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长
A
B
C
O
D
A
B
C
O
D
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD
OB= OD= BD= ×6=3
在等腰△ABD中， ∠BAD=60°
∴ △ABD是等边三角形
∴ AB=BD=6
在Rt△ABO中，由勾股定理得
∴AC＝2OA＝2× ＝
变式1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
AO = AC = ×6=3cm
BO = BD = ×12=6cm
在Rt△ABO中，由勾股定理得
∴C菱形＝4AB＝4×3 ＝12 (cm)．
当堂练习
1.下列说法不正确的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直
B．菱形的对角线平分各内角
C．菱形的对角线相等
D．菱形的对角线交点到各边等距离
C
A
B
C
O
D
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ， 已知AB=5cm，AO=4cm，则BD的长为 .
6cm
3.如图，在菱形ABCD中，AC是菱形的对角线，∠D=150°， 则∠1等于（ ）
A.30° B.25° C.20° D.15°
A
B
C
D
D
1
4.如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A.24 B.18 C.12 D.9
A
5. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°， 点E、F分别为AO和AB的中点，则EF的长度为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D.
D
7.如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
又∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF
在Rt △ACE和Rt △ ACF.
∵ CE＝CF ，AC＝AC，
∴ Rt △ACE≌ Rt △ACF（HL）.
∴AE＝AF.
8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长.
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD.
∴AE∥CD，∠AOB=90°.
∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，∴∠AOB=∠EDB.
∴DE∥AC.∴四边形ACDE是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AO=4，DO=3.
在Rt△ABO中，由勾股定理得
AD=CD= =5.
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE=CD=5，DE=AC=8.
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.
课后作业：
1、如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，DE∥AC，CE∥BD，求证：OE＝BC．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴DC＝OE，
∴OE＝BC．
2、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若BE＝8cm，DF＝4cm，求菱形ABCD的面积．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD是∠ABC的平分线，
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF．
（2）设AB＝AD＝xcm，则AE＝（8﹣x）cm，
∵∠E＝90°，DE＝DF＝4，
∴Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，
即（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴AB＝5cm，
∴菱形ABCD的面积＝AB×DE＝5×4＝20（cm2）．
3、如图，菱形ABCD的顶点A，D在直线l上，∠BAD＝60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′，B′C′交对角线AC于点M，C′D′交直线l于点N，连接MN，当MN∥B′D′时，解答下列问题：
（1）求证：△AB′M≌△AD′N；
（2）求α的大小．
【解答】证明：（1）∵四边形AB′C′D′是菱形，
∴AB′＝B′C′＝C′D′＝AD′，
∵∠B′AD′＝∠B′C′D′＝60°，
∴△AB′D′，△B′C′D′是等边三角形，
∵MN∥B′C′，
∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝60°，∠CNM＝∠C′D′B′＝60°，
∴△C′MN是等边三角形，
∴C′M＝C′N，
∴MB′＝ND′，
∵∠AB′M＝∠AD′N＝120°，AB′＝AD′，
∴△AB′M≌△AD′N（SAS）；
（2）由△AB′M≌△AD′N得：∠B′AM＝∠D′AN，
∵∠CAD＝∠BAD＝30°，
∴∠D′AN＝∠B′AM＝15°，
∴α＝15°．
平行四边形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
1.菱形是轴对称图形.
2.菱形的四条边相等.
3.菱形的对角线互相垂直平分.
菱形
定义
性质
课堂小结
谢谢
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