1.1 菱形的性质与判定（第2课时） 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
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北师大版九年级上册
北师大版九年级上册数学教学课件
第一章 特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定（第2课时）
精品教学课件
1.经历菱形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握菱形的判定定理（重点）
2.能应用菱形的判定解决简单的证明题和计算题（难点）
学习目标
问题：什么是菱形？菱形有哪些性质？
A
B
C
D
导入新课
菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱形的性质：
① 两条对角线互相垂直平分；
② 四条边都相等；
③ 每条对角线平分一组对角；
④ 菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形.
思考与动手:
1.在一张纸上用尺规作图作出边长为10cm的菱形;
2.想办法用一张长方形纸剪出一个菱形;
3.利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法？
请向同学们展示你的作品,全班交流.
做一做：先将一张长方形的纸对折,再对折,然后沿图中的虚线剪下,将纸展开,就得到了一个菱形.
(1)
(2)
(3)
(4)
你能说说这样做的道理吗
考点一 菱形判定定理
问题：根据菱形的定义,邻边相等的平行四边形是菱形.除此之外,你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形
1.小明的想法
平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆命题.受此启发,我猜想:四边相等的四边形是菱形,对角线垂直的平行四边形是菱形.
讲授新课
2.小颖的想法
我觉得,对角线互相垂直的平行四边形有可能是菱形.但“四边相等的平行四边形是菱形”实际上与“邻边
相等的平行四边形是菱形”一样.
你是怎么想的 你认为小明的想法如何
A
B
C
O
D
已知：右图中四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交 于点O ,AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
定理
定理运用格式：
∵四边形ABCD是平行四边形,
又∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形.
(对角线互相垂直的平行四边形为菱形)
A
B
C
O
D
小刚：分别以A、C为圆心,以大于
AC的长为半径作弧,两条 弧分别相较于点B , D,依次
连接A、B、C、D四点.
议一议：已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AB为菱形的一条对角线？
C
A
B
D
想一想：1.你是怎么做的,你认为小刚的作法对吗？
2.怎么验证四边形ABCD是菱形？
提示：AB = BC=CD =AD
证明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的判定）.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形 (菱形的定义).
A
B
C
D
已知：右图中四边形ABCD,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
定理
定理的运用格式
∵AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形
(四边相等的四边形为菱形).
A
B
C
D
考点二 利用菱形判定定理进行证明
例1:已知：如图，在□ ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形BCFD是菱形
B
A
D
C
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴ ∠ ABD= ∠BDC
∵ BD平分∠ABC
∴ ∠ ABD= ∠CBD
∴ ∠BDC= ∠CBD
∴AB=AD
∴四边形ABCD是菱形．
2
例2：已知：如图,在△ABC, AD是角平分线,点E、F分别在AB、
AD上,且AE=AC,EF = ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
A
C
B
E
D
F
证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,
∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
1
A
B
C
D
E
F
例3、如图，AD//BC，AB//CD，AE ⊥BC，AF ⊥CD，垂足分别为E，F，且AE =AF
求证：四边形ABCD是菱形
证明:∵ AD//BC，AB//CD
∴四边形ABCD是平行四边形，
S ABCD =BC· AE= CD· AF
∵ AE =AF
∴ BC= CD
∴四边形ABCD是菱形
例4. 如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm. 求：
（1）对角线AC的长度；
（2）菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
E
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,AC与BD相交于点E
∴∠AED=90°
DE= BD = ×10 = 5 (cm)
在Rt △ADE中，由勾股定理，得
∴AC=2AE=2×12=24 (cm)
(2)S菱形ABCD= BD ×AC
= ×10×24= 120(cm2).
A
B
C
D
E
1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）．
A. AC⊥BD ,AC与BD互相平分
B. AB=BC=CD=DA
C. AB=BC,AD=CD,AC ⊥BD
D. AB=CD,AD=BC,AC ⊥BD
A
B
C
O
D
C
当堂练习
2.如下图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥FC.
∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC,
∴AO = OC . ∴EO =FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形.
3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．
【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
∵
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝CD＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：设AF到CD的距离为h，
∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，
∴S菱形ADCF＝CD h＝BC h＝S△ABC
＝AB AC＝×12×16＝96．
4、已知：如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，过点A作AE∥DC交BC于点E．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若AB＝AE＝2，求四边形AECD的面积．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AD＝EC，
∵BC＝2AD，
∴BC＝2EC．
∴E为BC的中点
∵∠BAC＝90°，
∴BC＝2AE
∴AE＝EC，
∵四边形AECD为平行四边形，
∴四边形AECD为菱形；
（2）解：连接DE，
∵AB＝AE＝2，AE＝BE，
∴AB＝AE＝BE＝2，
∴△ABE是等边三角形,∴∠B＝60°．
∵AD＝BE，AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形,∴DE＝AB＝2，
∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，AB＝2，∴BC＝4．
∴AC= ．
∴SAECD＝2．
课后作业
1、如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，BE=2DE，延长DE至点F，使得EF=BE，连接CF.
（1）求证：四边形BCFE是菱形
(1)证明：∵D，E分别是AB和AC的中点，
∴DE∥BC，2DE=BC.
又∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC，EF∥BC.
∴四边形BCFE是平行四边形.
又∵BE=EF，
∴四边形BCFE是菱形.
(2)解：∵∠BEF=120°
∴∠EBC=60°.
∴△EBC是等边三角形.
∴BE=BC=CE=6.
过点E作EG⊥BC于点G，
根据勾股定理可，解得EG=3 .
∴S菱形BCFE=BC·EG=6×3 =18 .
1、如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，BE=2DE，延长DE至点F，使得EF=BE，连接CF.
（2）若CE=6，∠BEF=120°，求菱形BCFE的面积.
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和菱形的面积.
A
B
C
O
D
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
OB=OD= BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分)
在等腰△ABC中，∠BAD=60°
∴△ABD是等边三角形.
∴AB = BD = 6.
在RtΔAOB中，由勾股定理，得
∴OA = = =
∴AC=2OA= （菱形的对角线相互平分）
∴S菱形ABCD= BD ×AC = ×6× =
18 (cm2).
A
B
C
O
D
3.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，BA=BC，BD平分∠ABC.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC=5，BD=8，求四边形ABED的周长.
A
B
C
E
D
证明：∵AD//BC，∴ ∠DBC= ∠ADC
∵ BD平分∠ABC，∴∠ABD= ∠DBC
∴∠ABD =∠ADC，∴AB=AD
∵AB=BC， ∴ AD=BC
∴四边形ABCD 是平行四边形，
又∵AB=BC ，∴四边形ABCD是菱形
(2) ∵DE⊥BD ，
∴ ∠DBE+∠DEB=90°，∠BDC+∠CDE=90°
∵BC=CD，∴∠DBE=∠BDC ，∴DEB=∠CDE
∴BC=CD=CE，∴BE=2BC=10
∵BD=8， RtΔBDE中， ∴DE=6，
∴ C四边形ABED=AB+BE+DE+AD=26.
A
B
C
E
D
5. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.
求证：四边形ACFD是菱形．
证明：由平移得CF＝AD＝10cm，DF＝AC
∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm
∴四边形ACFD是菱形
6. 已知，如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠BAC = 60°，BC 的垂直平分线分别交 BC 和 AB 于点 D、E，点 F 在 DE 延长线上，且 AF = CE, 求证：四边形 ACEF 是菱形.
证明：由题意知，∠BCA=90°，∠BAC=60°.
又∵ DE 为 BC 垂直平分线，
∴ DF∥AC，∠ECD=∠B=30°，即∠ECA=60°，
∴CA = CE =AE.
又∵AF = CE，∴AF = AE.
∵∠FEA =∠EAC= 60°=∠F，∴ EF = AF = AE，
∴AF=EF=CE=CA，∴四边形 ACEF 是菱形.
7.已知：如图，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 AB 和 BC 上的点，且 BE = BF，
求证：(1)△ADE≌CDF； (2) ∠DEF=∠DFE.
证明: (1)在菱形ABCD中, ∠C=∠A,
AD = DC = BC = AB.
∵BE = BF ,∴AE = CF,
∴△ADE≌△CDF .
(2)由(1)可知, DE = DF.
∴∠DEF =∠DFE.
8.如图，将矩形纸片ABCD沿AC翻折，点B落在点E处，连接BD，BE、EN，若AE∥BD，
（1）求证：△BEC是等边三角形；
（2）求证：四边形ABNE是菱形．
【解答】（1）证明：如图所示：
∵将矩形纸片ABCD沿AC翻折，点B落在点E处，
∴∠2＝∠3，∠ABC＝∠E＝90°，AC垂直平分BE，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝EC，
∴AD∥BC，AC＝BD，AN＝AC，BN＝BD，
∴∠1＝∠CBN，AN＝BN，
∵∠1＝∠3，
∵AE∥BD，
∴∠BOC＝∠E＝90°，
∴∠CBN+∠2+∠3＝90°，
∴∠CBN＝∠2＝∠3＝30°，
∴∠BCE＝60°，
∴△BEC是等边三角形；
（2）证明：由折叠的性质得：AC垂直平分BE，
∴AB＝AE，BN＝EN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，AN＝AC，BN＝BD，
∴AN＝BN，
∵∠3＝30°，
∴∠BAN＝60°，
∴△ABN是等边三角形，
∴AB＝BN，
∴AB＝AE＝BN＝EN，
∴四边形ABNE是菱形．
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
定理1：对角线互相垂直的平行四边形
是菱形.
定理2：四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明.
菱形的判定
定义
定理
课堂小结
谢谢
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